الدالة العكسية

​الدالة العكسية (Inv​erse function) مفهوم أساسي في الرياضيات، لا سيما في دراسة العلاقات بين المتغيرات. إذا وُجِدت الدالة \(f\) التي تربط بين عناصر مجموعتين، فإن الدالة العكسية التي يُرمز لها عادة بالرمز \(f^{-1}\) تعكس هذه العلاقة، على النحو الذي إذا كانت فيه الدالة  \(f\) تأخذ عنصرًا من المجموعة الأولى إلى عنصر في المجموعة الثانية، فإن  \(f^{-1}\) تأخذ العنصر من المجموعة الثانية إلى العنصر المقابل في المجموعة الأولى.

تهدف الدالة العكسية عكس تأثير الدالة، بمعنى أنها تعيد المدخلات إلى قيمها الأصلية بعد تطبيق الدالة الأولى. على سبيل المثال، إذا كانت ثمة صيغة تحول درجة الحرارة من المقياس المئوي إلى المقياس الفهرنهايتي، فإن الدالة العكسية لتلك الصيغة ستكون تلك التي تحول درجة الحرارة من الفهرنهايت إلى المئوية. عندما يُطبَّق كل من الصيغتين بشكل متتابع، تُسترجع القيمة الأصلية للدرجة، ما يوضح دور الدالة العكسية في عكس العمليات الرياضي[1].

كلما قُدّمت دالة رياضية، يصبح أحد الأسئلة الجوهرية هي كيفية عكس هذه الدالة. إن هذا الأمر لا يقتصر على العمليات الحسابية البسيطة فقط، بل يشمل أيضًا العمليات الأكثر تعقيدًا، مثل الدوال المثلثية. نتيجة لذلك، ظهرت الدوال المثلثية العكسية (على سبيل المثال دوال الجيب العكسي {{الجيب العكسي: الدالة العكسية لدالة الجيب، ويرمز له بـ \(\arcsin (x)\)  أو \(\sin^{-1}(x)\). ويعيد الزاوية التي يكون جيبها عددًا معينًا بين -1 و1. مجال الدالة يقع ضمن الفترة الممتدة من -1 إلى 1، ويقع مداها من -π/2 إلى π/2 بالراديان.}}، وجيب التمام العكسي {{جيب التمام العكسي:الدالة العكسية لجيب التمام، يُرمز له بـ \( \arccos (x)\)  أو \(\cos^{-1}(x)\). ويُستخدم لإيجاد الزاوية التي يكون لها جيب تمام معين بين -1 و1. مجال الدالة يقع ضمن الفترة الممتدة من -1 إلى 1، ويقع مجالها المقابل من 0 إلى π بالراديان.}})، للتعامل مع المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية. هذه الدوال العكسية تتيح عكس تأثير الدوال المثلثية، ومن ثم حل المعادلات التي تحتوي على زوايا.​

تعريفها

إذا كانت الدالة \(f:X\rightarrow Y\)دالة واحد لواحد وغامرة (دالة تناظر أحادي)، فإن الدالة العكسية للدالة \(f\) يرمز لها بالرمز \(f^{-1}\) هي الدالة التي تعكس تأثير الدالة \(f\)، أي إن \(f^{-1}:Y\rightarrow X\) تحقق الآتي[2]:

إذا كان \(f\left(a\right)=b\) فإن \(f^{-1}\left(b\right)=a\).

يمكن كتابة الدالة \(f\) على شكل مجموعة جزئية من الضرب الديكارتي\(X\times Y\)، ومن ثم فإنه يمكن تعريف الدالة العكسية \(f^{-1}\) كما يأتي[3]:

\[f^{-1}=\left\{\left(y,x\right):\left(x,y\right)\in f\right\}\]

مثال: إذا كانت الدالة \(f={\left(1,a\right),\left(2,c\right),\left(3,b\right)}\)، إذ \(f:\left\{1,2,3\right\}\rightarrow {a,b,c}\)، فإن معكوسها هو: \(f^{-1}={\left(a,1\right),\left(b,3\right),(c,2)}\)، [الشكل 1].

​ملاحظة: من خلال التعريف يكون مجال \(f\) = مدى \(f^{-1}\)، ومدى \(f\) = مجال \(f^{-1} \)[4].

[الشكل 1] - الدالة\(f\) والدالة العكسية لها \(f^{-1}\)

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

شروط وجودها

لكي تكون لدالة ما دالة عكسية، يجب أن يُحقَّق شرطان أساسيان، وهما[5]:

1. ​أن تكون الدالة واحدًا لواحد (One-to-one function) أو دالة التباين (Injective function).

إذا كان \(f:X\rightarrow Y\) دالة مجالها \(X\) ومجالها المقابل \(Y\)، فإن \(f\) يقال بأنه دالة واحد لواحد أو دالة التباينـ إذا كان لكل \(a,b\in X\) يحقق \(a\neq b\implies f\left(a\right)\neq f\left(b\right)\) والشرط الآتي المكافئ \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\implies a=b\).

2. أن تكون الدالة غامرة (Surjective function) أو شاملة (Onto function).

تُسمى الدالة \(f:X\rightarrow Y\) دالة شاملة (Onto functions) أو دالة غامرة (Surjection)، إذا كان كل عنصر في المجال المقابل \(Y\) يمتلك على الأقل صورة عكسية واحدة في المجال \(X\). بمعنى آخر، لكل \(y\in Y\)، يوجد على الأقل \(x\in X\)، إذ: \(f\left(x\right)=y\).

مما يُذكر، أنه لكي تمتلك الدالة \(f\) دالة عكسية \(f^{-1}\)، يجب أن تكون واحدًا لواحد (متباينة) وشاملة (غامرة)، أي إن كل عنصر في المجال المقابل {{المجال المقابل: (Codomain) مجموعة القيم التي يمكن أن تخرج من دالة معينة حسب تعريفها، حتى إن لم تأخذها فعليًا. يُختلف بينه وبين المدى (Range)، الذي هو القيم التي تخرج فعليًا عند تطبيق الدالة على مجالها.}} يجب أن يرتبط بعنصر وحيد في المجال. إذا لم تكن الدالة \(f\) واحدًا لواحد، فهذا يعني أن ثمة قيمتين مختلفتين على الأقل من \(x\)، تعطيان الدالة \(f(x)\) نفسها، ومن ثم لا يمكن تحديد صورة عكسية وحيدة لكل عنصر في المجال المقابل، ما يجعل الدالة \(f^{-1}\) مجرد علاقة وليست دالة. وإذا لم تكن الدالة \(f\) شاملة، فهذا يعني أن ثمة عناصر في المجال المقابل لا تمتلك صورًا في المجال {{المجال: (Domain) مجموعة القيم التي يمكن إدخالها في الدالة، على النحو الذي تكون معرفة عندها. بعبارة أخرى، هو جميع القيم المسموح بها للمتغير المستقل (عادةً \(x\)) التي تعطي ناتجًا معرفًا عند التعويض بها في الدالة.}}، ومن ثم، فإن \(f^{-1}\) لن تكون معرفة بشكل كامل على المجال المقابل، ما يجعل الدالة \(f^{-1}\) مجرد علاقة وليست دالة[6].

نتيجة: الدالة \(f^{-1}\) هي الدالة العكسية للدالة \(f\) إذا وفقط إذا كان لكل \(x\) في مجال \(f\) \(\).

\[\left(f∘f^{-1}\right)\left(x\right)=\left(f^{-1}∘f\right)\left(x\right)=x​\]

كيفية إيجادها

لإيجاد الدالة العكسية لدالة معينة، يجب اتباع الخطوات الآتية[8]:

1. تعريف \(y\) بدلالة \(x\):

\[f\left(x\right)=y\]

2. حل المعادلة لإيجاد \(x\) بدلالة \(y\).
3. تبديل \(x\) ب \(y\) في المعادلة الناتجة.
4. استبدال \(y\) للحصول على التعبير النهائي لـ \(f^{-1}(x)\).

المثال التالي يوضح الخطوات لإيجاد الدالة العكسية باستخدام الآلية السابقة.

مثال: إيجاد الدالة العكسية للدالة \(f\left(x\right)=2x^{3}-7\).

الحل: تُتّبع الخطوات كما هو مكتوب أعلاه:

1. تُكتب الدالة على شكل \(y=f(x)\)

\[y=2x^{3}-7\]

2. تُعاد كتابة المعادلة بجعل \(x\) معرفة بدلالة \(y\)

\[x=\sqrt[3]{\frac{y+7}{2}}\]

3. تبدل \(x\) ب \(y\) في المعادلة الناتجة

\[y=\sqrt[3]{\frac{x+7}{2}}\]

4. تكتب \(f^{-1}(x)\) بدل \(y\)

\(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x+7}{2}}\)

من الخصائص المهمة للدوال العكسية، التناظر حول الخط \(y=x\)، أي إنه إذا كانت \(f^{-1}\) دالة عكسية للدالة \(f\)، فإن الرسم البياني للدالة \(f^{-1}\) هو تناظر للدالة \(f\) حول الخط \(y=x\)[9].

مثلًا: الدالة \(f\left(x\right)=e^{x}\)، دالتها العكسية هي الدالة \(g\left(x\right)=\ln x\)، [الشكل 2].

[الشكل 2] - ​الدالة \(f\left(x\right)=e^{x}\) ودالتها العكسية \(g\left(x\right)=\ln x\)

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​تط​بيقاتها

تُعدَ الدوال العكسية من الأدوات الرياضية الأساسية، التي تُستخدم في كثير من المجالات التطبيقية، إذ تساعد في فك تشفير البيانات، وحل المعادلات الرياضية، وتحليل العلاقات بين المتغيرات في مختلف العلوم. فيما يلي أبرز التطبيقات العملية للدوال العكسية[10]:

1. التشفير وأمن المعلومات: تُستخدم الدوال العكسية في خوارزميات التشفير وفك التشفير، إذ تُشفَّر البيانات باستخدام دالة معينة، ويمكن استرجاع البيانات الأصلية من خلال تطبيق دالتها العكسية. تُستخدم هذه التقنية في أنظمة الأمان الرقمي، مثل تشفير RSA وتشفير المفتاح العام.
2. الفيزياء والهندسة: تؤدي الدوال العكسية دورًا مهمًا في تحويل الوحدات الفيزيائية، وحل المعادلات المتعلقة بالحركة والطاقة والموجات، فعلى سبيل المثال، في الديناميكا الحرارية، تُستخدم الدوال العكسية لتحويل درجات الحرارة بين مختلف الأنظمة، وفي علم الميكانيكا، تُستخدم لتحليل السرعة والتسارع.
3. الاقتصاد والإحصاء: في النماذج الاقتصادية، تُستخدم الدوال العكسية لتحليل العلاقات بين المتغيرات الاقتصادية، مثل الطلب والعرض، وتحديد تأثيرات الأسعار في الأسواق. كذلك تُستخدم في حسابات الفائدة المركبة وعوائد الاستثمارات.
4. حل المعادلات الرياضية: تُعدّ الدوال العكسية أداة أساسية في حل المعادلات التي تتضمن دالة معينة، إذ يمكن استخدام الدالة العكسية لعزل المتغير المطلوب وإيجاد الحل بسهولة. على سبيل المثال، إذا كان ثمة معادلة تتضمن دالة أسية مثل \(e^{x}=10\)، يمكن استخدام الدالة اللوغاريتمية العكسية \(\ln (10)=x\) لحلها.
5. المعادلات الهندسية والجبرية: في الجبر الهندسي، تُستخدم الدوال العكسية في تحويل الإحداثيات الهندسية، ما يسهل عمليات الرسم والتحليل الرياضي. كذلك تُستخدم في تحديد النقاط الحرجة والمواقع الهندسية ضمن المخططات البيانية.
6. الدوال المثلثية وتطبيقاتها: تُستخدم الدوال العكسية بشكل شائع في حساب المثلثات، إذ تساعد في تحديد الزوايا بناءً على القيم المثلثية. على سبيل المثال، تُستخدم الدالة العكسية للجيب \(\sin^{-1}(x)\) لحساب الزوايا بناءً على القيم الجيبية، ما يسهل حل مسائل الهندسة والمسائل الفيزيائية المرتبطة بالموجات والذبذبات.

بفضل هذه التطبيقات المتعددة، تُعدّ الدوال العكسية عنصرًا جوهريًا في كثير من المجالات العلمية والتقنية، إذ تسهم في تبسيط العمليات الحسابية وتحليل البيانات بدقة وكفاءة.

المراجع

Anton, Howard, I. Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012.

Jebril, Iqbal H., Hemen Dutta & Ilwoo Cho. Concise Introduction to Logic and Set Theory. Boca Raton, FL: CRC Press, 2021.

Smith, Douglas, Maurice Eggen & Richard St. Andre. A Transition to Advanced Mathematics. 8^th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2014.

[1] Iqbal H. Jebril, Hemen Dutta & Ilwoo Cho, Concise Introduction to Logic and Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2021), pp. 114-125.

[2] Ibid.

[3] Ibid.

[4] Douglas Smith, Maurice Eggen & Richard St. Andre, A Transition to Advanced Mathematics, 8th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2014), pp. 213-220.

[5] Ibid., pp. 205-220.

[6] Jebril, Dutta & Cho, op. cit.

[7] Ibid.

[8] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012), pp. 38-49.

[9] Ibid.

[10] Anton, Bivens & Davis, op. cit.