المتجه

الموجز

المتجه (Vector) كمية رياضية تُحدَّد بمقدارٍ واتجاهٍ في فضاءٍ مُعيَّن، ويتميّز من الكميات القياسية (Scalars) بأنه لا يُعرف بالقيمة العددية وحدها بل بالاتجاه أيضًا. يُمثَّل المتجه هندسيًّا بسهمٍ يُشير إلی الاتجاه ويُحدِّد طولُه مقدار الكمية، في حين يُعبَّر عنه جبريًّا بمركّبات عددية مرتّبة في الفضاءات الإحداثية الحقيقية سواء أكانت ثنائية الأبعاد أم ثلاثية أم متعددة.

تتسم المتجهات بخصائص معينة؛ فالمتجهات المتكافئة تتساوى في المقدار والاتجاه بصرف النظر عن مواضع نقاط بدايتها ونهايتها، في حين ينعدم الطول والاتجاه المحدد في المتجه الصِّفري. وتخضع المتجهات لعمليات جبرية وهندسية رئيسة، تشمل: الجمع والطرح اللذين يُفسَّران هندسيًّا بقاعدتي "المثلث" و"متوازي الأضلاع"؛ والضرب في ثابت حقيقي يؤثر في طول المتجه واتجاهه؛ بالإضافة إلى الضرب النقطي (الداخلي) والضرب التقاطعي (الاتجاهي) المحصور في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يتسع مفهوم المتجه في الجبر الخطي ليشمل صياغة الفضاء المتجهي (Vector space)؛ وهو إطار تجريدي يضم عناصر مثل الدوال والمصفوفات المعرّفة تحت عشر بدهيات لعمليتي الجمع والضرب العددي. وترتبط به مفاهيم محورية كالاستقلال الخطي (Linear independence)، وتوليد الفضاء (Span)، وقاعدة الفضاء (Basis) وأبعاده (Dimensions) المبنية على عدد متجهات القاعدة.

تتعدد التطبيقات العلمية للمتجهات لتشمل وصف الحركة والقوى والتسارع في الفيزياء، وتمثيل الأشكال ثلاثية الأبعاد والمحاكاة في الهندسة والحوسبة الرسومية، وحل الأنظمة الخطية في الرياضيات، إلى جانب معالجة البيانات والذكاء الاصطناعي وتعلّم الآلة في علوم الحاسوب، وتحليل الأنظمة المعقدة في الاقتصاد وفضاء العلوم الحديثة.

تعريفه الرياضي

المتّجه كمية رياضية تحدد بمقدار واتجاه، ويُستخدَم لوصف الكميات الفيزيائية كالقوة والسرعة المتّجهة (Velocity). ويتميّز المتّجه عن الكميات القياسية (Scalars) بأنه لا يُعرَّف بالقيمة العددية وحدها، إذ يُعَبَّر عنه عادةً بحروف صغيرة مثل: \(u,v,z\)، أو أحيانًا بالترميز \(\hat{u}, \hat{v}, \hat{z}\). وهو في التمثيل الهندسي سهمٌ يصل بين نقطتَيْن في فضاء ثنائي الأبعاد {{الفضاء ثنائي الأبعاد: (Two-dimensional space) فضاء رياضي يُستخدم لوصف الأشكال التي تمتلك بُعدَيْن فقط، هما الطول والعرض، ويُمثَّل باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية، إذ تُحدَّد النقاط بناءً على الإحداثيَّيْن \((x,y)\).}} أو ثلاثي الأبعاد، تُسمّيان نقطة البداية (Initial point)، ونقطة النهاية (Terminal point) عند نهايته. أما المسافة بين هاتَيْن النقطتَيْن، فتُمثّل طول المتّجه (Length) أو مقداره (Magnitude). ويُرمَز لطول المتجه أو مقداره \(u\) بالرمز \(‖u‖\)، أو أحيانًا بالرمز \(\left|u\right|\). ويُحدِّد ترتيب هاتين النقطتين اتجاه المتجه[1].

على سبيل المثال، المتجه \(v\) (الشكل 1) يصل بين النقطتَيْن \(A\) و \(B\)، بحيث تكون \(A\) هي نقطة بداية المتجه، و \(B\) نقطة النهاية. وبما أن المتجه \(v\) واصل بين النقطتَيْن \(A,B\)، فيمكن كتابته بالشكل:

\[v=\hat{AB}\]

ويُلحظ أن الترميز \(\hat{AB}\) يبدأ بالنقطة \(A\) لأنها نقطة البداية، في حين \(B\) هي نقطة النهاية. أما الترميز \(\hat{BA}\) فهو غير صحيح لتمثيل المتجه نفسه، لأنه يُمثّل المتجه المعاكس تمامًا، أي إن \(\hat{BA}=-\hat{AB}\).

أما طول المتجه فهو:

\(‖v‖=‖\hat{AB}‖\)[2]

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

خصائصه

للمتجهات خصائص رياضية تميزها من غيرها من المفاهيم الرياضية، من أبرزها[3]:

1. تكافُؤ المتجهات(Equivalent vectors): تسمّى المتجهات التي تتساوى في الطول والاتجاه متجهات متكافِئة (Equivalent vectors)، ولا يشترط في ذلك أن تشترك في نقطتَي البداية والنهاية (الشكل 2). ويترتب على ذلك إمكان تمثيل المتجه في مواضع مختلفة من الفضاء مع الحفاظ على مقداره واتجاهه، مما يمنح كثيرًا من الخصائص الأخرى للمتّجهات.
   

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

2. المتجه الصفري(Zero vector): هو المتجه الذي تتساوى نقطة بدايته مع نقطة نهايته، ويكون طوله صفر وحدة طول. ولا يُنسب إلى المتجه الصفري اتجاه محدد، إذ لا يمكن استخلاص اتجاه من متجه مقداره صفر.
3. قاعدة متوازي الأضلاع لجمع المتجهات هندسيًّا(Parallelogram rule for vector addition): هي قاعدة تُساعد في معرفة شكل المتّجه الناتج هندسيًّا من عملية جمع متجهَيْن آخرَيْن. وتنصّ القاعدة على أنه إذا كان \(v,w\) متجهَيْن في فضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد، فإن المتّجه الناتج من جمعهما يُمثَّل بالمتّجه \(z\) بحيث:

\[z=v+w\]

وهو المتجه المنطلق من نقطة بداية المتجه الأول \(v\) إلى نهاية المتجه \(w\)، أو المتجه المنطلق من نقطة بداية المتجه \(w\) إلى نهاية المتجه \(v\).

تُنفَّذ عملية جمع المتّجهَيْن \(v,w\) هندسيًّا بتحريك المتجه \(w\)، بحيث تنطبق نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه الأول \(v\) (الشكل 3).

يُلحَظ أنه إذا أُعيد تمثيل العملية بتحريك المتجه \(v\) بحيث تنطبق نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتّجه \(w\)، فإن المتجه الناتج من عملية الجمع يبقى نفسه من حيث الطول والاتجاه، رغم اختلاف طريقة التمثيل الهندسي، إذ يؤدي ذلك إلى الوصول إلى المتجه نفسه (الشكل 4).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

سُمّيت القاعدة بهذا الاسم لأن المتجهَيْن يُشكّلان ضلعَيْن في متوازي أضلاع يُشكِّل قطرُه المتَّجهَ الناتج. أما الطريقة الأولى في حساب المتجه \(z\) (الشكل 3)، فتُعرف أحيانًا بـ"قاعدة المثلث لجمع المتجهات" (Triangle rule for vector addition). وتختلف القاعدتان في أسلوب التمثيل الهندسي، مع أنهما تؤديان إلى المتجه الناتج نفسه (الشكل 5).

4. الخاصية التبديلية(Commutativity property):

تُظهر قاعدة متوازي الأضلاع أن جمع المتجهات يحقق الخاصية التبديلية؛ أي إنه لأي متّجهَين \(u,v\)، فإن:

\[u+v=v+u\]

5. طرح المتجهات الهندسية(Vector subtraction): يُعرف سالب المتجه \(v\) (أو معكوس المتجه \(v\)) بأنه المتجه الذي له طول المتجه \(v\) نفسه، لكن بعكس إشارته، ويُرمز له بالرمز \(-v\) (الشكل 6).

بحيث إن \(-\left(-v\right)=v\)

أما طرح المتجهَيْن \(w,v\) فيُرمز له بالرمز \(w-v\) ، ويُعرَف بأنه الجمع بين المتجه \(w\) وسالب المتجه \(v\)، أي إن:

\[w-v=w+\left(-v\right)\]

ويُمثّل كما يأتي (الشكل 7):

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

6. تمثيل المتجهات: يُمثِّل المتّجه الشعاع الواصل بين نقطتَيْن. وتُمثَّل المتجهات في الفضاءات الإحداثية كما يأتي:

إذا كانت \(A \left(a_{1},a_{2}\right), B (b_{1},b_{2})\) نقطتَيْن في فضاء ثنائي الأبعاد \(\mathbb{R}^{2}\)، فإن المتجه \(\hat{AB}\) الواصل من النقطة \(A\) إلى النقطة \(B\) يُعطى بالعلاقة:

\[\hat{AB}=\left(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2}\right)=(x,y)\]

بحيث تُسمّى \(x,y\) المركبات (Components) المكوّنة للمتجه، وبحيث: \(x=b_{1}-a_{1}, y=b_{2}-a_{2}\).

ويُسمّى هذا الترميز الصيغة المحددة بالفواصل (Comma-delimited)، ولا يقتصر تمثيل المتجهات على هذه الصيغة، فثمة صور أخرى لكتابة المتجه \(\hat{AB}\)، مثل:

• الأقواس الزاوية (Angle brackets):

\[\hat{AB}=〈b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2}〉=〈x,y〉\]

• متجه الصف (Row vector):

\[\hat{AB}=\left[b_{1}-a_{1} b_{2}-a_{2}\right]=\left[x y\right]\]

• متجه العمود (Column vector):

\[\hat{AB}=\begin{bmatrix} b_{1}-a_{1} \\ b_{2}-a_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

• متجهات الوحدة (Unit vectors): متجهات الوحدة الأساسية هي متجهات طولها واحد، وتُستخدم بوصفها أساسًا للفضاء \(\mathbb{R}^{n}\) فقط، ويُرمز لها عادةً بـ:

\[e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\]

بحيث يحتوي كل متجه العدد 1 في موضع واحد فقط، وصفرًا في بقية المواضع.

أما في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فيُرمز لمتجهات الوحدة القياسية بـ:

\[i=\left(1,0,0\right), j=\left(0,1,0\right),k=\left(0,0,1\right)\]

ويُكتب المتجه في الفضاء الثنائي أو الثلاثي باستخدام هذه المتجهات:

\[\hat{AB}=\left(x,y\right)=xi+yj\]

\[\hat{AB}=\left(x,y,z\right)=xi+yj+zk\]

ويُعمَّم المفهوم على أي نقطتَين \(A\left(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}\right), B(b_{1},b_{2}, \ldots , b_{n})\) في فضاء \(\mathbb{R}^{n}\)، ويكون المتجه \(\hat{AB}\) هو:

\[\hat{AB}=\left(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2},\ldots ,b_{n}-a_{n}\right)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\]

بحيث إن:

\[x_{1}=b_{1}-a_{1}, x_{2}=b_{2}-a_{2}, \ldots , x_{n}=b_{n}-a_{n}\]

كذلك يمكن كتابته بالصور الآتية:

\[\hat{AB}=〈x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}〉\]

\[\hat{AB}=\left[x_{1} x_{2} \ldots . x_{n}\right]\]

\[\hat{AB}=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ . \\ . \\ . \\ x_{n} \end{bmatrix}\]

وتجدر الإشارة إلى أن المتجه الصفري يكون بالشكل الآتي:

\[\hat{0}=(0,0,\ldots ,0)\]

ويكون عدد مركباته بحسب أبعاد الفضاء الذي يوجد فيه.

7. تساوي المتجهات:

يُقال إن المتجهَيْن:

\[u=\left(x_{1},y_{1}\right),v=(x_{2},y_{2})\]

متساويان في \(\mathbb{R}^{2}\) إذا وفقط إذا:

\[x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2}\]

ويُعمَّم إلى الفضاء \(\mathbb{R}^{n}\)، ليصبح:

\[u=\left(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}\right), v=(b_{1},b_{2}, \ldots , b_{n})\]

وهما متساويان إذا وفقط إذا:

\[a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2}, \ldots , a_{n}=b_{n}\]

العمليات الجبرية على المتجهات

تشمل العمليات الجبرية الأساسية على المتجهات جمع المتجهات وطرحها والضرب العددي لها. وتُستخدم هذه العمليات في دراسة خصائص المتجهات وتطبيقاتها في مختلف المجالات العلمية[4].

الجمع والطرح جبريًّا

تُعرَّف عمليتا جمع المتجهات وطرحها جبريًا بجمع المركبات المتناظرة أو طرحها.

إذا كان \(u=\left(x_{1},y_{1}\right)و v=(x_{2},y_{2})\) متجهَيْن في فضاء \(\mathbb{R}^{2}\)، فإن المتجه \(w\) الناتج من عملية جمع المتجهات \(u,v\) يُرمز له بالرمز \(u+v\)، ويُعرّف بالشكل الآتي:

\[w=u+v=\left(x_{1},y_{1}\right)+\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)\]

أما المتجه \(z\) الناتج من طرح المتجهات \(u,v\) فيُرمز له بالرمز \(u-v\)، ويُعرّف بالشكل الآتي:

\[z=u-v=\left(x_{1},y_{1}\right)-\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2}\right)\]

ويُعمَّم التعريفان السابقان في فضاء \(\mathbb{R}^{n}\) بالشكل الآتي:

إذا كان \(u=\left(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}\right)و v=(b_{1},b_{2}, \ldots , b_{n})\) متجهَيْن في فضاء \(\mathbb{R}^{n}\)، فإن المتجهَيْن \(w,z\) الناتجَيْن من عملية جمع المتجهَيْن \(u,v\) وطرحهما يُرمز لهما بالرمزَيْن \(u+v, u-v\)، ويُعرفان كما يأتي:

\[w=u+v=\left(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}\right)+(b_{1},b_{2}, \ldots , b_{n})=\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}, \ldots , a_{n}+b_{n}\right)\]

\[z=u-v=\left(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}\right)-(b_{1},b_{2}, \ldots , b_{n})=\left(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2}, \ldots , a_{n}-b_{n}\right).\]

الضرب بثابت جبريًّا

تُعرّف عملية ضرب متجه \(u=(x,y)\) في فضاء \(\mathbb{R}^{2}\) بثابت حقيقي \(k\) جبريًّا على النحو الآتي:

\[ku=\left(kx,ky\right)\]

ويمكن التعميم أيضًا لأي متجه \(u=\left(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}\right)\) في فضاء \(\mathbb{R}^{n}\) كما يأتي:

\[ku=\left(ka_{1},ka_{2}, \ldots , ka_{n}\right)\]

يُفسَّر ضرب المتجه بعدد ثابت هندسيًّا بأنه يؤثّر في طول المتجه واتجاهه، فعندما يُضرب المتجه \(u\) بعدد موجب حقيقي \(k\)، فإن طوله يتضاعف بمقدار \(k\) مع بقاء الاتجاه. أما إذا كان العدد \(k\) عددًا حقيقيًّا سالبًا، فإن طول المتجه يتضاعف بمقدار \(k\)، وينعكس اتجاهه أيضًا، وهو يُفسّر عملية طرح المتجهات كذلك، فعملية الطرح \(u-v\) هي عملية جمع المتجه \(u\) مع المتجه \(\left(-1\right)v\).

طول المتجه

المتجه \(\hat{AB}\) هو المتجه الواصل بين النقطتَيْن \(AB\)، ويكون طولُه مقدارَ المسافة بينهما؛ أي يمكن معرفة طول المتجه باستخدام قانون المسافة بين نقطتَيْن. فضلًا عن ذلك، فإن طول المتجه أو مقداره \(u=(x,y)\) في فضاء \(\mathbb{R}^{2}\) يُحسبان كما يأتي:

\[‖u‖=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

وبتعميم التعريف، فإنه:

لأي متجه \(u=\left(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}\right)\) في فضاء \(\mathbb{R}^{n}\)، فإن:

\[‖u‖=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}.\]

الضرب النقطي

الضرب النقطي (Dot product) عملية خاصة من شكل أعمّ يُسمّى الضرب الداخلي (Inner product)، وهو معرف فقط في فضاء \(\mathbb{R}^{n}\) أيًّا كان بُعده. ويُعرّف في فضاء ثنائي الأبعاد للمتجهَيْن \(u=\left(u_{1},u_{2}\right),v=(v_{1},v_{2})\) على النحو الآتي:

\[u\cdot v=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\]

بحيث تشير النقطة \((\cdot)\) بين المتجهَيْن إلى الضرب النقطي بينهما. ويعُرّف الضرب النقطي أيضًا كما يأتي:

\[u\cdot v=‖u‖‖v‖\cos\left(\theta \right)\]

بحيث تمثّل \(\theta \) الزاوية المحصورة بين المتجهَيْن \(u و v\) عند وضع بدايتهما عند النقطة نفسها، بحيث تكون \(0\leq \theta \leq \pi \).

يُعمَّم هذا التعريف على الفضاء \(\mathbb{R}^{n}\) كما يأتي:

لأي متجهَين \(u=\left(u_{1},u_{2}, \ldots , u_{n}\right)و v=u=\left(v_{1},v_{2}, \ldots , v_{n}\right)\) في فضاء \(\mathbb{R}^{n}\)، فإن:

\[u\cdot v=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\ldots +u_{n}v_{n}\]

وكذلك:

\[u\cdot v=‖u‖‖v‖\cos\left(\theta \right)\]

بحيث تمثل \(\theta \) الزاوية المحصورة بين المتجهَيْن \(u و v\)، وتكون \(0\leq \theta \leq \pi \) .

الضرب التقاطعي

تخالف عملية الضرب التقاطعي (Cross product)، أو كما تُسمى الضرب المتجهي، عمليةَ الضرب النقطي من حيث التعميم، فهي تختصّ في الفضاء ثلاثي الأبعاد فقط، وهي عملية تستخدم لحساب المتجه المعامد للمتجهَيْن اللذيْن يُحسَب الضرب التقاطعي بينهما. يصاغ هذا التعريف رياضيًّا وفق ما يأتي:

لأي متجهَين \(u=\left(u_{1},u_{2}, u_{3}\right)و v=u=\left(v_{1},v_{2}, v_{3}\right)\) في فضاء \(\mathbb{R}^{3}\)، فإن:

\[u\times v=\begin{vmatrix} i & j & k \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix}=i\left(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\right)-j\left(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1}\right)+k\left(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\right)\]

\[u\times v=\left(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\right)\]

ويُعرّف طول هذا المتجه العمودي الجديد على النحو الآتي:

\[‖u\times v‖=‖u‖‖v‖\sin\left(\theta \right)\]

بحيث تمثّل \(\theta \) الزاوية المحصورة بين المتجهَيْن \(uو v\)، وتكون \(0\leq \theta \leq \pi \).

الفضاء المتجهي

يُعَدّ مفهوم الفضاء المتجهي أحد المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي، إذ يوفّر إطارًا عامًّا لدراسة المتجهات وما يطرَأ عليها من عمليات. لا يقتصر هذا المفهوم على المتجهات الهندسية في الفضاءين الثنائي الأبعاد والثلاثي الأبعاد، بل يشمل أنواعًا أخرى من العناصر الرياضية مثل الدوال والمصفوفات متى كانت تحقق مجموعة من الخصائص المتعلقة بعمليتي الجمع والضرب العددي. ويُعرّف الفضاء المتجهي رياضيًّا بأنه[5]:

مجموعة غير فارغة \(V\) معرّفة عليها عمليتا الجمع والضرب العددي، بحيث يربط الجمع بين كُل زوج من العناصر \(u,v\) في \(V\) بعنصر جديد يُرمز له بـ \(u+v\) ويُسمّى مجموعهما. ويربط الضرب العددي بين كل عدد \(k\) من كل عنصر \(u\) في \(V\) بعنصر جديد يُرمَز له بـ \(ku\)، ويُسمّى المضاعف العددي لـ \(u\) "العدد \(k\)". إذا تحقَّق ما يأتي من البدهيات للعناصر \(u,v,w\) جميعها في \(V\)، لكل عددَي \(k,m\):

1. إذا كانت \(u,v\in V\) فإن \(u+v\in V\).
2. \(u+v=v+u\).
3. \(w+\left(u+v\right)=\left(w+u\right)+v\).
4. يوجد عنصر \(0\in V\) يُسمى المتجه الصفري، بحيث إن \(u+0=0+u=u\) لكل عنصر \(u\in V\).
5. لكل عنصر \(u\) في \(V\) يوجد عنصر \(-u\) في \(V\) يُسمى المعكوس الجمعي لـ \(u\)، بحيث إن \(u+\left(-u\right)=\left(-u\right)+u=0\).
6. إذا كان \(k\) عددًا و \(u\in V\) فإن \(ku\in V\).
7. لأي عدد \(k\) وعنصرَين \(u,v\in V\) فإن \(k\left(u+v\right)=ku+kv\).
8. لأي عددين \(k,m\) وعنصر \(u\in V\) فإن \( \left(k+m\right)u=ku+mu \).
9. لأي عددين \(k,m\) وعنصر \(u\in V\) فإن \(k(mu)=(km)u\).
10. لأي عنصر \(u\in V\) فإن \(1.u=u\) .

عند ذلك، يُسمى \(V\) فضاءً متجهًا (Vector space)، وتُسمّى عناصره متجهات.

على سبيل المثال، تعدّ جميع التراكيب الآتية فضاءات متجهية، لأنها تُحقّق البدهيات {{البديهة: (Axiom) عبارة رياضية أو منطقية تُفترَض صحتها من دون الحاجة إلى إثبات، وهي اللبنة الأولى في بناء أي منظومة رياضية أو منطقية، ويُشتَقّ منها ما يليها من تعاريف ومبرهنات وفق قواعد الاستدلال المنطقي.}} العشرة:

1. الفضاء \(\mathbb{R}^{n}\):

لتكن \(V=\mathbb{R}^{n}\) مجموعة معرفة عليها عمليتا الجمع والضرب العددي كما يأتي:

\[u+v=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}\right)+\left(v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{n}\right)=\left(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}, \ldots , u_{n}+v_{n}\right)\]

\[ku=\left(ku_{1}, ku_{2}, \ldots , ku_{n}\right)\]

لأي عنصرَين \(u,v\) في \(\mathbb{R}^{n}\) ولأي ثابت \(k\)، فإن \(\mathbb{R}^{n}\) في هذه الحالة تُسمى فضاءً متجهًا، لأنها تُحقّق البدهيات العشر السابقة.

2. فضاء \(M_{2\times 2}\):

لتكن \(V=M_{2\times 2}\)، حيث إن \(M_{2\times 2}\) هي مجموعة جميع المصفوفات ذات القياس \(2\times 2\)، مع مدخلات في مجموعة الأعداد الحقيقية تُعرف عليها عمليتا الجمع والضرب العددي كما يأتي:

\[u+v=\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u_{11}+v_{11} & u_{12}+v_{12} \\ u_{21}+v_{21} & u_{22}+v_{22} \end{bmatrix}\]

\[ku=\begin{bmatrix} ku_{11} & ku_{12} \\ ku_{21} & ku_{22} \end{bmatrix}\]

لأي عنصرَين \(uو v\) في \(M_{2\times 2}\) ولأي ثابت \(k\)، فإن \(M_{2\times 2}\) هو فضاء متجهي، لأن البدهيات العشر السابقة متحققة جميعها.

أما مجموعة \(\mathbb{R}^{2}\) المعرفة عليها العمليات الآتية، فلا تعد فضاءًا متجهيًا، فمثلًا:

لتكن \(V=\mathbb{R}^{2}\) مجموعة معرفة عليها عمليتا الجمع والضرب العددي كما يأتي:

\[u+v=\left(u_{1}, u_{2}\right)+\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}\right)\]

\[ku=\left(ku_{1}, 0\right)\]

لأي عنصرَين \(uو v\) في \(\mathbb{R}^{2}\) ولأي ثابت \(k\)، فإن هذه المجموعة لا تُشكل فضاءً متجهيًّا، لأن بعض البدهيات لا تتحقّق، ومنها البدهية \(1.u=u\).

يرتبط مفهوم المتجه مع الفضاء المتجهي بعدد من التعريفات الأخرى في سياق الفضاءات المتجهية، منها:

الاستقلالية الخطية

يُعَدّ الاستقلال الخطي (Linear independence) أحد أبرز المفاهيم في سياق الفضاءات المتجهية. يُعبِّر هذا المفهوم عن مجموعة من المتجهات التي تنتمي إلى فضاء متجهي مُعيّن، إذ لا يمكن التعبير عن أحد هذه المتجهات بدلالة تركيب خطي من المتجهات الأخرى. ويُصاغ هذا التعريف رياضيًّا كما يأتي[6]:

إذا كانت المجموعة \(S={v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}}\) تحتوي على متجهَيْن أو أكثر من المتجهات التي تنتمي إلى الفضاء المتجهي \(V\)، فإن متجهات المجموعة \(S\) يقال عنها مستقلات خطية (Linearly independent) إذا تعذَّر التعبير عن أي متجه من هذه المتجهات بوصفه تركيبًا خطيًا من المتجهات الأخرى؛ أي أنْ يكون الحل الوحيد للمعادلة الآتية:

\[c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\ldots +c_{r}v_{r}=0\]

هو \(c_{1}=c_{2}=\ldots =c_{r}=0\).

فمثلًا، مجموعة المتجهات \(u=\left(5,0,0\right), v=\left(0,6,0\right), z=(0,0,7)\) في الفضاء المتجهي \(\mathbb{R}^{3}\)، هي مستقلة خطية. ولتوضيح ذلك، تكون حلول المعادلة على النحو الآتي:

\[c_{1}u+c_{2}v+c_{3}z=0\implies c_{1}\left(5,0,0\right)+c_{2}\left(0,6,0\right)+c_{3}(0,0,7)=0\]

\[\implies \left(5c_{1},0,0\right)+\left(0,6c_{2},0\right)+\left(0,0,7c_{3}\right)=\left(5c_{1},6c_{2},7c_{3}\right)=0=(0,0,0)\]

\[\implies c_{1}=0, c_{2}=0, c_{3}=0 \]

وبما أن الحلول جميعها لهذه المعادلة هي الأصفار، فهي إذن متجهات مستقلة خطية.

التركيب الخطي

يُعَدّ مفهوم التركيب الخطي (Linear combination) من المفاهيم الرئيسة في الفضاءات المتجهية التي تدخل مع مفهوم الاستقلالية الخطية في مفاهيم أخرى بارزة أيضًا. يُعرّف التركيب الخطي رياضيًّا كما يأتي:

إذا كان \(V\) فضاءً متجهيًا، فإن المتجه \(v\in V\) يقال إنه تركيب من المتجهات \(v_{1},v_{2},\ldots v_{r}\)، إذا كان بالإمكان التعبير عن المتجه \(v\) بوصفه مزيجًا خطيًا من المتجهات \(v_{1},v_{2},\ldots v_{r}\) كما يأتي[7]:

\[v=k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+\ldots +k_{r}v_{r}\]

بحيث إن \(k_{1},k_{2},\ldots k_{r}\) هي ثوابت ليست جميعها صفرية، أي إن التركيب الخطي لا يشترط أن تكون المعاملات غير صفرية جميعًا، بل يمكن أن يكون بعضها صفرًا.

أما توليد الفضاء (Span of vectors) فيُقصَد به مجموعة المتجهات جميعها التي يمكن الحصول عليها من التركيبات الخطية لمجموعة مُعيّنة من المتجهات في فضاء متجهي مُحدَّد، أي إن الفضاء الذي يمكن التعبير عن متجهاته جميعها بوصفها تركيبًا خطيًا من المتجهات \(v_{1},v_{2},\ldots v_{r}\)، يقال عنه حينئذ إنه فضاء متولد من مجموعة المتجهات \(v_{1},v_{2},\ldots v_{r}\). وبعبارة أخرى، يمثل توليد الفضاء العملية التي يُكوَّن بها فضاء فرعي من 𝑉، بحيث يتألف هذا الفضاء الفرعي من المتجهات كلها التي يمكن بناؤها من مجموعة مُحدّدة من المتجهات عبر التركيبات الخطية، فإذا كان هذا الفضاء المُتولّد يساوي الفضاء 𝑉 كاملًا، يُقال إن المجموعة 𝑆 تُولّد الفضاء 𝑉.

القواعد والأبعاد

يعتمد مفهوم البُعد (Dimensions) بشكل أساسي على مفهوم القاعدة (Basis). أما مفهوم القاعدة، فيُعبّر عن مجموعة المتجهات المستقلة التي تُولِّد فضاءً مُعيّنًا. ويُصاغ تعريف القاعدة رياضيًّا كما يأتي[8]:

إذا كان \(V\) فضاءً متجهيًا، وكانت \(S={v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}}\) مجموعة من المتجهات في \(V\)، فإنه يقال عن \(S\) إنها قاعدة (Basis) للفضاء \(V\)، إذا كانت عناصرها متجهات مستقلة خطية، ومولّدة للفضاء المتجهي \(V\).

أما البعد (Dimensions)، فهو مفهوم يعتمد على عدد عناصر قاعدة الفضاء \(V\)، ويُعبَّر عنه رياضيًّا كما يأتي[9]:

الفضاء المتجهي \(V\) هو عدد متجهات القاعدة \(S\) لهذا الفضاء، ويُرمز له بالرمز \(\dim (V)\).

فمثلًا، المجموعة \(S={\left(1,2,1\right),\left(2,9,0\right),(3,3,4)}\) تُشكّل قاعدة للفضاء الاتجاهي \(\mathbb{R}^{3}\) المعرّفة عليه عمليتا الجمع والضرب العددي بالشكل العام القياسي، لأن عناصرها مستقلة خطيًّا، ويمكن كتابة أي عنصر في هذا الفضاء بوصفه تركيبًا خطيًا من متجهاتها، أو يمكن القول اختصارًا إنها مُولّدة لهذا الفضاء. أما بالنسبة إلى بُعد هذا الفضاء، فهو عدد المتجهات في المجموعة \(S\)، وهي 3 متجهات، لذا فإن بعد هذا الفضاء هو 3، ويُكتَب بالشكل:

\[\dim\left(\mathbb{R}^{3}\right)=3\]

بناء على ذلك، يظهر ثمة ترابط بين مفهومَي المتجه والفضاء المتّجهي؛ فمن خلال مفاهيم مثل الاستقلال الخطي والتركيب الخطي والبُعد والقاعدة، يمكن توصيف البنية الداخلية لأي فضاء رياضي بطريقة دقيقة ومُنظَّمة. ولا تقتصر هذه المفاهيم على أنها أدوات نظرية، بل تُمهّد للتعامل مع كثير من الموضوعات المتقدّمة في الجبر الخطي أيضًا.

تطبيقاته

تُعَدّ المتجهات ركيزة أساسيةً في الرياضيات والعلوم، إذ تُستخدم لتمثيل الكميّات التي لها مقدار واتجاه. في الفيزياء، تساعد المتجهات في وصف الحركة، والقوة، والسرعة المتجهة، والتسارع، وتُستخدَم كذلك في تحليل القوى المؤثرة في الأجسام. وفي الهندسة والحوسبة الرسومية، تُستخدَم لتمثيل الأشكال ثلاثية الأبعاد، وتحديد الاتجاهات، وإنشاء الرسومات والمحاكاة. وفي الرياضيات، تُستعمَل في حلِّ المعادلات الخطية، ودراسة الفضاءات المتجهية، وتحليل الأنظمة متعددة الأبعاد. كذلك تدخل المتجهات في علوم الحاسوب في الذكاء الاصطناعي، وتعلُّم الآلة، وتمثيل البيانات في الفضاءات متعددة الأبعاد. وتُستخدَم في الاقتصاد والهندسة الكهربائية وعلوم الفضاء لوصف الأنظمة المعقّدة وتحليلها. تُوضح هذه التطبيقات الدور البارز للمتجهات بوصفها أداةً موحِّدةً لفهم العلاقات واتخاذ القرارات العلمية والهندسية بدقة وكفاءة[10].

[1] عبد الرحمن سعيد، الجبر الخطي، ط 2 ([د. م]: منشورات جامعة السودان المفتوحة، 2006(، الوحدة الأولى؛ Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 11^th ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2013), pp. 131-155

[2] المرجع نفسه.

[3] المرجع نفسه؛ عمر أبو غليون [وآخرون]، الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي، الفصل الدراسي الثاني (عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم الأردنية، 2023)، الوحدة الخامسة.

[4] المرجع نفسه.

[5] Anton, pp. 183-191.

[6] معروف عبد الرحمن سمحان وعلي عبد الله السحيباني وفوزي أحمد الذكير، الجبر الخطي وتطبيقاته (الرياض: مكتبة العبيكان، 2011)، الفصل الرابع.

[7] المرجع نفسه.

[8] Anton, pp. 212-229.

[9] Ibid.

[10] Ramakant Meher, Linear Algebra with Its Applications (Gistrup, Denmark: River Publishers, 2025); Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4^th ed. (Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006).

المراجع

العربية

أبو غليون، عمر [وآخرون]. الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي، الفصل الدراسي الثاني. عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم الأردنية، 2023.

سعيد، عبد الرحمن. الجبر الخطي. ط 2. [د. م]: منشورات جامعة السودان المفتوحة، 2006.

سمحان، معروف عبد الرحمن وعلي عبد الله السحيباني وفوزي أحمد الذكير. الجبر الخطي وتطبيقاته. الرياض: مكتبة العبيكان، 2011.

الأجنبية

Anton, Howard. Elementary Linear Algebra. 11^th ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2013.

Meher, Ramakant. Linear Algebra with Its Applications. Gistrup, Denmark: River Publishers, 2025.

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4^th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006.