اتحاد الدوال

الموجز

اتحاد الدوال (Union Functions) هو ضمّ دالتين (أو أكثر) لتعريف دالة واحدة على اتحاد مجالاتها بشرط التوافق على تقاطعات المجالات، أي تتطابق قيم الدوال على كل جزءٍ مشترك، وبذلك يكون اتحاد تمثيلاتها (بوصفها علاقات من أزواج مرتّبة) دالةً سليمة التعريف على المجال الموحَّد مع مدى مناسب.

يساعد هذا المفهوم بشكل كبير في وضع البراهين للنظريات المتقدمة، مثل النظريات التي ترتبط بمفاهيم المجموعات اللانهائية والمجموعات المنتهية، فهي عملية تمتاز بعموميتها وعدم تخصيصها على نوع محدد من الدوال، كالدوال العددية مثلًا، وهو بدوره يوفر إمكانية استخدام هذا المفهوم في السياقات المختلفة وعدم تقييده داخل نطاق محدد.

التعريف الرياضي

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

اتحاد دالتين هي عملية تكوين دالة جديدة من نوع خاص، مجالها هو اتحاد مجالي الدالتين، ومجالها المقابل هو اتحاد مجالي الدالتين المقابل، ويُشترط في ذلك أن تكون قيم الدالتين متساوية لكل العناصر الموجودة في تقاطع المجالين، أو أن يكون مجالا الدالة منفصلَيْن، أي لا يوجد عناصر في تقاطعهما، بمعنى آخر أن يعطي التقاطع ​مجموعة خالية، وتكون الدالة الجديدة الناتجة من هذا الاتحاد معرّفة على شكل دالة متشعبة من قاعدتين، إحداهما قاعدة تعريف الدالة الأولى لكل عنصر في مجال الدالة الأولى، والأخرى قاعدة تعريف الدالة الثانية لكل عنصر في مجال القاعدة الثانية. يُصاغ التعريف رياضيًّا كما يلي[1]:

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

إذا كان \(f,g\) دوالّ بحيث إن \(f:A\rightarrow C , g:B\rightarrow D\) ، وكان \(f\left(x\right)=g(x)\) لكل قيم \(x\) في المجموعة \(A\cap B\)، فإن اتحاد الدالتين \(f,g\) هي الدالة \(h=f\cup g:A\cup B\rightarrow C\cup D\) التي تكون معرّفة كما يأتي:

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

\[h(x)=(f\cup g)(x)=\begin{cases} f\left(x\right), & x\in A \\ g\left(x\right), & x\in B \end{cases}\]

بالنسبة إلى لزوم شرط كون صور الدالتين متساوية لجميع عناصر التقاطع، فهو يعود إلى مفهوم الدالة والشروط التي تحققها بالأساس. الدالة \(f:X\rightarrow Y\) مثلًا، سُميت دالة علاوة على أنها علاقة، لأنها تحقق ثلاثة شروط أساسية، أولها أن تكون مجموعة جزئية من المجموعة \(X\times Y\)، الشرط الثاني أن يكون مجال الدالة مساويًا تمامًا للمجموعة \(X\)، أي إن \(Dom\left(f\right)=X\)، أما الشرط الأخير وهو الأهم، فهو أن يكون كل عنصر في المجال مرتبطًا بعنصر واحد فقط في المدى. لو افترضنا جدلًا أن دالة الاتحاد \(h\) تمتلك صورًا مختلفة لعنصر واحد على الأقل في مجموعة التقاطع (الشكل 1)[2].

​فهذا يؤ​دي إلى خلل في الشرط الثالث المذكور آنفًا، لذا لا بد أن تكون الصور متساوية لجميع العناصر في مجموعة التقاطع (الشكل 2).

أما لو كانت مجموعة التقاطع أصلًا فارغة، فصورة المجموعة الفارغة في أي دالة أيضًا تعطي مجموعة فارغة، لذا فهي حققت الشرط كذلك، وهو ما يمكن اعتباره نتيجة مترتبة على الحالة الأولى (الشكل 3)[3].

​ يُذكَر أن​ عملية اتحاد الدوال لا تقتصر على اتحاد دالتين فقط، إذ يمكن إجراء عملية اتحاد لأكثر من دالة على أن تحقق جميع الدوال الشرط الأول نفسه، وهو أن تكون جميع صور الدوال متساوية عند قيم تقاطع جميع المجالات، أو أن يعطي تقاطع المجالات مجموعة فارغة. رياضيًّا، يمكن صياغة هذه النتيجة كما يأتي[4]:

إذا كان \(f_{1},f_{2},\ldots .,f_{n}\) دوال بحيث إن:

\[f_{1}:X_{1}\rightarrow Y_{1}, f_{2}:X_{2}\rightarrow Y_{2}, ..., f_{n}:X_{n}\rightarrow Y_{n}\]

وكان:

​​

وكان:​

وكان:\[f_{i}\left(x\right)=f_{j}\left(x\right)\]

لكل قيم \(x\) في المجموعة:

\[X_{i}\cap X_{j}\]

لأي \(i,j\) إذ إن \(i,j=1,2,\ldots ,n\)

فإن اتحاد الدوال \(f_{1},f_{2},\ldots .,f_{n}\) هي الدالة:

\[h=f_{1}\cup f_{2}\cup \ldots \cup f_{n}:X_{1}\cup X_{2}\cup \ldots \cup X_{n}\rightarrow Y_{1}\cup Y_{2}\cup \ldots \cup Y_{n}\]

وتكون معرّفة على الشكل:

\[h=(f_{1}\cup f_{2}\cup \ldots \cup f_{n})(x)=\begin{cases} f_{1}\left(x\right), & x\in X_{1} \\ f_{2}\left(x\right), & x\in X_{2} \\ . \\ . \\ . \\ f_{n}\left(x\right), & x\in X_{n} \end{cases}\]

مثال على اتحاد ثلاث دوال \(f_{1},f_{2},f_{3}\) (الشكل 4).

كيفية ارتباط هذه القيم مع بعضها (الجدول 1).

​​ [الجدول 1]

قيم دالة اتحاد الدوال \(f_{1},f_{2},f_{3}\)

الأمثلة

كما ذُكر في تعريف اتحاد الدوال، لإجراء عملية اتحاد الدوال، يجب التحقق بداية من طبيعة قيم تقاطع المجالات، وذلك حتى يكون ناتج الاتحاد يعطي دالة، وليس فقط علاقة عادية. لتمكين هذا المفهوم أكثر، يمكن التطبيق على بعض الدوال حتى تتضح الصورة أكثر، فمثلًا:

مثال 1: لتكن \(f:\left[0,9\right]⟶\left[0,3\right], g:\left[2,7\right]\mathbb{⟶R} \) دالتين عدديتين معرفتين كما يلي:

\[f\left(x\right)=\sqrt{x}, g\left(x\right)=\frac{1}{x} \]

فإن الاتحاد غير معرف كدالة في هذه الحالة. لتوضيح سبب ذلك يُلحظ ما يأتي:

تقاطع مجال الدالة \(f\) ومجال الدالة \(g\) هو المجموعة:

\[Dom\left(f\right)\cap Dom\left(g\right)=\left[0,9\right]\cap \left[2,7\right]=\left[2,7\right]\]

يُلحظ الآن أن قيم الدالة \(f\) لا تساوي قيم الدالة \(g\) على مجموعة التقاطع. يكتب ذلك بلغة المجموعات كما يأتي:

\[f\left[\left[2,7\right]\right]=\left\{f\left(x\right):x\in \left[2,7\right]\right\}=\left\{\sqrt{x}:x\in \left[2,7\right]\right\}=\left[\sqrt{2},\sqrt{7}\right]\]

\[g\left[\left[2,7\right]\right]=\left\{g\left(x\right):x\in \left[2,7\right]\right\}=\left\{\frac{1}{x}:x\in \left[2,7\right]\right\}=\left[\frac{1}{7},\frac{1}{2}\right]\]

\[\implies \exists x\in \left[2,7\right], f\left(x\right)\neq g\left(x\right) \]

ولهذا السبب يكون الاتحاد غير معرف كدالة.

مثال 2: لتكن الدالة \(f:\left\{x\mathbb{∈Z:} x\leq 1\right\}\mathbb{⟶R, } g:[0,\infty )⟶\mathbb{R} \) دوالّ عددية معرّفة كما يلي:

\[f\left(x\right)=x^{2}, g\left(x\right)=\frac{1}{2}x\left(x+1\right)\]

فإن الاتحاد هو فعلًا معرّف كدالة في هذه الحالة. لتوضيح سبب ذلك يُلحَظ ما يأتي:

تقاطع مجال الدالة \(f\) ومجال الدالة \(g\) هو المجموعة:

\[Dom\left(f\right)\cap Dom\left(g\right)=\left\{x\mathbb{∈Z:} x\leq 1\right\}\cap [0,\infty )={0,1}\]

يُلحَظ الآن، أن قيم الدالة \(f\) تساوي قيم الدالة \(g\) على مجموعة التقاطع. يكتب ذلك بلغة المجموعات كما يأتي:

\[f\left({0,1}\right)=\left\{f\left(x\right):x\in {0,1}\right\}=\left\{x^{2}:x\in {0,1}\right\}=\left\{0^{2},1^{2}\right\}={0,1} \]

\(g\left({0,1}\right)=\left\{g\left(x\right):x\in {0,1}\right\}=\left\{\frac{1}{2}x\left(x+1\right):x\in {0,1}\right\}={0,1}\)

\[\implies f\left(x\right)=g\left(x\right), \forall x\in \left\{0,1\right\}\]

إذن الاتحاد يعرّف كدالة، وتكون دالة الاتحاد معرّفة على الشكل:

\[h=\left(f\cup g\right)\left(x\right)=\begin{cases} f\left(x\right), & x\in \left\{x\mathbb{∈Z:} x\leq 1\right\} \\ g\left(x\right), & x\in [0,\infty ) \end{cases} =\begin{cases} x^{2}, & x\in \left\{x\mathbb{∈Z:} x\leq 1\right\} \\ \frac{1}{2}x\left(x+1\right), & x\in [0,\infty ) \end{cases}\]

مثال 3: لتكن \(f:A⟶\mathbb{R , } g:B⟶\mathbb{R} \) دوالّ على مجموعة المصفوفات، بحيث \(A,B\) هي مجموعات معرفة كما يلي:

\[A=\left\{\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{bmatrix}:a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}\leq 2 ⋀ a_{1},b_{1},c_{1},d_{1}\mathbb{∈Z} \right\}\]

\[B=\left\{\begin{bmatrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{bmatrix}:a_{2}d_{2}-b_{2}c_{2}\geq 1 ⋀ a_{2},b_{2},c_{2},d_{2}\mathbb{∈Z} \right\} \]

والدوال \(f,g\) معرّفة كما يلي:

\[f\left(M\right)=\det\left(M^{2}\right)\]

\[ g\left(M\right)=\det^{2}\left(M\right)+\left(\det\left(M\right)-1\right)\left(\det\left(M\right)-2\right)\]

فإن الاتحاد هو فعلًا معرف كدالة في هذه الحالة.

تقاطع مجال الدالة \(f\) ومجال الدالة \(g\) هو المجموعة:

\[Dom\left(f\right)\cap Dom\left(g\right)=A\cap B=\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}:ad-bc\in \left\{1,2\right\} ⋀ a,b,c,d\mathbb{∈Z} \right\}\]

يُلحَظ الآن أن قيم الدالة \(f\) تساوي قيم الدالة \(g\) على مجموعة التقاطع. يكتب ذلك بلغة المجموعات كما يأتي:

\[f\left({A\cap B\right)=\left\{f\left(M\right):M\in A\cap B\right\}=\left\{\det\left(M^{2}\right):M\in A\cap B\right\}={1,4} \]

\[g\left(A\cap B\right)=\left\{g\left(M\right):M\in A\cap B\right\}\]

\(=\left\{\det^{2}\left(M\right)+\left(\det\left(M\right)-1\right)\left(\det\left(M\right)-2\right):M\in A\cap B\right\}={1,4}\)

وبناءً عليه

\[f\left(M\right)=g\left(M\right), \forall M\in A\cap B\]

إذا الاتحاد يعرّف كدالة، وتكون دالة الاتحاد معرّفة على الشكل:

\[h=\left(f\cup g\right)\left(x\right)=\begin{cases} f\left(M\right), & M\in A \\ g\left(M\right), & M\in B \end{cases} =\begin{cases} \det\left(M^{2}\right), & M\in A \\ \det^{2}(M)+(\det\left(M\right)-1)(\det\left(M\right)-2), & M\in B \end{cases}\]

الخصائص

تمتاز دالة الاتحاد بخصائص فريدة تميزها من غيرها من الدوال، إذ إن بعض خصائصها ترتكز على خصائص الدوال المتحدة، والبعض الآخر أساسه هو تعريف دالة الاتحاد نفسها.

إذا كانت \(f:A⟶C, g:B⟶D\) دوالّ بحيث إن \(f\left(x\right)=g(x)\) لجميع قيم \(x\) في المجموعة \(A\cap B\)، فإن دالة الاتحاد \(h=f\cup g:A\cup B⟶C\cup D\)، وفي ما يأتي بعض الخصائص المهمة[5]:

1. مجال الدالة \(h\) هو المجموعة \(A\cup B\).
2. مدى الدالة \(h\) هو المجموعة \(Im(f)\cup Im(g)\)، أي اتحاد مدى الدالتين \(f,g\).
3. اتحاد الدالة مع نفسها يعطي الدالة نفسها، أي إن \(f\cup f=f\).
4. اتحاد الدالة مع دالة جزئية منها يعطي الدالة الأصلية، أي إذا كان \(k\subseteq f\) فإن \(k\cup f=f\)، إذ تكون الدالة \(k\) معرّفة على مجال جزئي من مجال الدالة \(f\).
5. إذا كانت الدوال \(f,g\) دوالّ واحد لواحد، وكانت جميع صور الدالة \( f\)تختلف عن صور الدالة \(g\) باستثناء مجموعة تقاطع مجال الدالتين، فإن \(h\)دالة واحد لواحد.
6. إذا كانت الدوال \(f,g\) دوال غامرة، فإن \(h\)دالة غامرة.
7. إذا كانت الدوال \(f,g\) دوال تقابل، فإن \(h\)دالة تقابل.

التطبيقات

يُعدّ اتحاد الدوال أداة مهمة في الرياضيات، إذ يتيح دمج دالتين أو أكثر لتعريف دالة جديدة على مجال أكبر مع الحفاظ على القيم على أي تقاطع مشترك بين الدوال. تظهر تطبيقاته في الجبر الخطي عند دراسة المصفوفات، إذ يمكن توحيد دوال مختلفة مثل محدد المصفوفة أو القيم الخاصة بمصفوفات معينة لتعريف دالة واحدة تغطي مجموعة أوسع من المصفوفات. ويستخدم أيضًا في نظرية المجموعات لإثبات خصائص دوال الواحد لواحد والدوال الغامرة عبر توسيع المجال بطريقة منظمة. وفي التحليل الرياضي، يسمح اتحاد الدوال بدمج تعريفات مختلفة لدوال متعددة القواعد لتكوين دالة واحدة متصلة أو قابلة للاشتقاق على مجال أوسع. بالإضافة إلى ذلك، فإن اتحاد الدوال يفيد في الإحصاء والاحتمالات عند تعريف دوال كثافة أو توزيع تغطي أكثر من حالة أو مجموعة بيانات، ما يعكس قدرة هذا المفهوم على التوسع والمرونة في النماذج الرياضية المختلفة[6].

[1] Iqbal H. Jebril, Hemen Dutta & Ilwoo Cho, Concise Introduction to Logic and Set Theory) Boca Raton: CRC Taylor & Francis Group, 2021), pp. 109, 111, doi: 10.1201/9780429022838. 

[2] Douglas Smith, Maurice Eggen & Richard St. Andre, A transition to advanced mathematics, 8^th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2014), pp. 185-195.

[3] Ibid.

[4] "Union of functions theorem," ProofWiki, 21/8/2025, accessed on 4/11/2026, at: https://acr.ps/hBxWad6

[5] N. Selvanayaki & Gnanambal Ilango, "Pasting lemma for αgrw-continuous functions," Jordan Journal of Mathematics and Statistics, 21/8/2025, accessed on 14/4/2026, at: https://acr.ps/hBxWagX; M. Jackson & T. Stokes, "Override and restricted union for partial functions," Algebra Universalis, vol. 85, Article 35 (2024), doi: 10.1007/s00012-024-00864-6; "Show that if f and g are surjective then f ∪ g is surjective,"Stack Exchange, 19/6/2018, accessed on 14/4/2026, at: https://acr.ps/hBxWaoF; Smith, Eggen & Andre, pp. 205-220. 

[6] Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6^th ed. (Wellesley: Wellesley-Cambridge Press, 2023); Robert V. Hogg, Joseph W. McKean & Allen T. Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 8^th ed. (Boston: Pearson, 2019); Douglas, Eggen & Andre, op. cit.

المراجع

Hogg, Robert V., Joseph W. McKean & Allen T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics. 8^th ed. Boston: Pearson, 2019.

Jackson, M. & T. Stokes. "Override and restricted union for partial functions." Algebra Universalis.vol. 85, Article 35 (2024). doi: 10.1007/s00012-024-00864-6

Jebril, Iqbal H., Hemen Dutta & Ilwoo Cho. Concise Introduction to Logic and Set Theory.Boca Raton: CRC Taylor & Francis Group, 2021.

Selvanayaki, N. & Gnanambal Ilango. "Pasting lemma for αgrw-continuous functions." Jordan Journal of Mathematics and Statistics. 21/8/2025. at: https://acr.ps/hBxWagX

"Show that if f and g are surjective then f ∪ g is surjective."Stack Exchange. 19/6/2018. at: https://acr.ps/hBxWaoF

Smith, Douglas, Maurice Eggen & Richard St. Andre. A transition to advanced mathematics. 8^th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2014. 

Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. 6^th ed. Wellesley: Wellesley-Cambridge Press, 2023.

"Union of functions theorem." ProofWiki. 21/8/2025. at: https://acr.ps/hBxWad6