الطوبولوجيا

الطوبولوجيا أو التوبولوجيا (Typology) ​هي فرع من فروع الرياضيات، وتُعَد من أحدث فروع الهندسة الرياضية، وهي تدرس خصائص الأشكال الهندسية التي تظل ثابتة حتى بعد تعرضها لتشوُّهات مستمرة، مثل التمدد أو الانكماش أو الالتواء، ولكن من دون قطع أو لصق، إذ يُعَد الجسمان متكافِئين إذا كان من الممكن تشويههما (تغيير شكليهما) باستمرار للوصول إلى الشكل نفسه من خلال حركات في الفضاء، مثل الانحناء والالتواء والتمدد والانكماش، مع عدم السماح بتمزيق الأجزاء أو لصقها معًا. تُعرَف الطوبولوجيا أحيانًا باسم هندسة الصفائح المطاطية أو الهندسة المطاطية، لأنها تركز على الخصائص التي لا تتغير عندما يُمدَّد الشكل الهندسي أو يُضغَط. المثال الكلاسيكي الذي يُستخدم لتوضيح التكافؤ الطوبولوجي، هو التحول بين فنجان القهوة والدونات، فهذان الشكلان متكافِئان طوبولوجيًا، لأن كلًّا منهما يحتوي على ثقب واحد، ويمكن بوساطة التمدد والانحناء، من دون تمزيق أو لصق، تحويل أحدهما إلى الآخر. وللتوضيح، فلو كانت ثمة حلقة مطاطية (دونات) وفنجان قهوة قابل للتشكيل مصنوع من الطين، فيمكن تشويه الفنجان المصنوع من الطين (تغيير شكله) إلى شكل دونات، عن طريق ثني المقبض إلى حلقة، وتمديد قاعدة الفنجان إلى شكل دائري، فبالرغم من مظهرهما المختلف، فهما طوبولوجيًا الشيء نفسه.​​

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

الفكرة الرئيسة للطوبولوجيا هي التحقيق في الطبيعة الأساسية للمساحات والأشكال، والتركيز على جوانبها النوعية بدلًا من القياسات الدقيقة أو المسافات، ومن ثم، فإن الموضوعات الرئيسة ذات الأهمية في الطوبولوجيا، هي الخصائص التي تظل من دون تغيير من خلال مثل هذه التشوهات المستمرة، فالطوبولوجيا على الرغم من تشابهها مع الهندسة، فهي تختلف عن الهندسة في أن الأجسام المتكافئة هندسيًا غالبًا ما تشترك في كميات مُقاسَة عدديًا، مثل الأطوال أو الزوايا، في حين أن الأجسام المتكافئة طوبولوجيًا تشبه بعضها بمعنًى أكثر نوعية.

نظرة تاريخية

يمكن ترجمة العبارة اللاتينية "AnalysisSitus"إلى تحليل الموضع، وهي تشبه العبارة "Geometria Situs"، التي تعني هندسة الموضع {{هندسة الموضع: فرع رياضي يهتم بدراسة العلاقات المكانية والمواضع من دون الاعتماد على القياسات، وهو الأساس الأولي لنشوء الطوبولوجيا.}}، التي استخدمها عالم الرياضيات السويسري ليونهارت أويلر (Leonhard Euler، 1707-1783) عام 1735 لوصف حله لمشكلة جسر كونغسبيرغ {{مشكلة جسر كونغسبيرغ: (Königsberg Bridge Problem) مسألة رياضية طرحها أويلر عام 1736 عن إمكانية عبور جسور المدينة مرة واحدة فقط، وأدت إلى نشوء نظرية الرسم البياني.}}. ويُستشهد أيضًا بعمل أويلر على هذه المشكلة بوصفه البداية لنظرية الرسم البياني {{نظرية الرسم البياني: (Graph Theory)فرع رياضي يدرس الشبكات المكونة من رؤوس وحواف، ويُستخدم في تحليل المسارات والعلاقات بين العناصر.}}، وهي دراسة شبكات الرؤوس المتصلة بالحواف، التي تشترك في كثير من الأفكار مع الطوبولوجيا، فقد أظهر أنه من المستحيل إيجاد طريق يعبر كل جسر مرة واحدة فقط.[1]

يربط علماء الرياضيات ظهور الطوبولوجيا، بوصفها مجالًا مستقلًا في الرياضيات، بنشر مقالة بعنوان: "Analysis Situs" (تحليل الموضع) عام 1895، للفرنسي هنري بوانكاريه (Henri Poincaré، 1854-1912)، على الرغم من أن كثيرًا من الأفكار الطوبولوجية وجدت طريقها إلى الرياضيات خلال القرن ونصف القرن السابقَيْن.​

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​وقد تطوَّرت خلال القرن التاسع عشر حركتان متميزتان أنتجتا في النهاية تخصصَيْن شقيقَيْن، هما الطوبولوجيا الجبرية {{الطوبولوجيا الجبرية: فرع رياضي يربط بين الطوبولوجيا والجبر، بدراسة الأشكال عبر البنى الجبرية مثل الزُّمَر.}} والطوبولوجيا العامة {{الطوبولوجيا العامة: تهتم بدراسة المفاهيم الأساسية، مثل التقارب والجوار والاستمرارية، والتراص ضمن فضاءات مجردة.}}، فقد تميزت الأولى بمحاولات فهم الجوانب الطوبولوجية للأجسام الشبيهة بالسطح، التي تنشأ من الجمع بين الأشكال الأولية، مثل المضلعات أو متعددات السطوح، أما الأخرى -الطوبولوجيا العامة- فقد تطوَّرت بوصفها تخصصًا يهدف إلى تقديم تعريفات ونظريات عامة جدًا، يمكن تطبيقها على مجموعة واسعة من الفضاءات. وقد سَعَت الطوبولوجيا العامة إلى وضع أسس عامة لتوصيف أي نوع من الفضاءات الطوبولوجية[2].

يُشار إلى أن الطوبولوجيا التوافقية (Combinatorial Topology) هي فرع من فروع الطوبولوجيا الجبرية، وقد كان أويلر من أوائل العلماء الذين أسهموا في هذا المجال، من خلال عمله على مشكلة جسور كونيغسبرغ، وشبكات متعددة السطوح، إذ تُدرس الخصائص الطوبولوجية للأشكال الهندسية عن طريق تقسيمها إلى أشكال أكثر أولية. على سبيل المثال: تقسيم متعددات السطوح إلى أشكال بسيطة، أو عن طريق التغطية بوساطة أنظمة المجموعات. تُطبق هذه الأساليب في ظل الفرضيات الأكثر عمومية فيما يتعلق بالأشكال التي تُدرس[3].

كان عالم الرياضيات الألماني يوهان ليستنغ (Johann Listing، 1808-1882) أحد المسهمين الأوائل في الطوبولوجيا التوافقية، كما أطلق على هذا الموضوع في النهاية، وقد نشر كتاب دراسات تمهيدية في الطوبولوجيا (Vorstudien zur Topologie) عام 1847، الذي يُستشهَد به غالبًا بوصفه أول ظهور مطبوع لمصطلح الطوبولوجيا[4].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​في عام 1851، نظر عالم الرياضيات الألماني برنهارد ريمان (Bernhard Riemann، 1826-1866) في الأسطح المتعلقة بنظرية الأعداد المركبة، ومن ثم استخدم الطوبولوجيا التوافقية بوصفها أداة لتحليل الدوال[5].

وقد نشر عالِما الهندسة الألمانيان، أوغست فِرديناند موبيوس (August Ferdinand Möbius، 1790-1868) وفيلكس كلاين (Felix Klein، 1849-1925)، أعمالًا عن الأسطح ذات الجانب الواحد في عامَي 1858 و1882 على التوالي. ويمكن إنشاء مثال موبيوس، المعروف الآن باسم شريط موبيوس (Möbius Strip) [الشكل 1]، عن طريق لصق طرفَي شريط مستطيل طويل من الورق معًا، بعد لفه نصف لفة، وتُسمى الأسطح التي تحتوي على مجموعات فرعية متماثلة الشكل مع شريط موبيوس بالأسطح غير القابلة للتوجيه، وتؤدي دورًا مهمًا في تصنيف الأسطح ثنائية الأبعاد[6].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​وقد قدم كلاين مثالًا لسطح أحادي الجانب مغلق، أي من دون أي حدود أحادية البعد. ولا يمكن لهذا المثال الذي يُطلق عليه الآن اسم زجاجة كلاين (Klein Bottle) أن يوجد في فضاء ثلاثي الأبعاد {{الفضاء ثلاثي الأبعاد: الفضاء الذي تُحدد فيه النقاط بثلاثة إحداثيات (x, y, z)، ويصف العالم المادي من حولنا.}} من دون أن يتقاطع مع نفسه، ومن ثم فقد كان موضع اهتمام علماء الرياضيات، الذين لم ينظروا في السابق إلى الأسطح إلا في الفضاء ثلاثي الأبعاد[7].

سبقت أعمالُ عددٍ كبيرٍ من علماء الرياضيات -منهم المذكورون أعلاه- نشرَ بوانكاريه مقالته "Analysis Situs" عام 1895، الذي أسَّس إطارًا أساسيًا لاستخدام الأفكار الجبرية في الطوبولوجيا التوافقيّة. وتواصل تطوّر هذا الحقل لاحقًا، ولا سيّما على يد ماكس دين (Max Dehn، 1878-1952) وبول هيغارد (Poul Heegaard، 1871-1948)، اللذين قدَّما معًا إحدى أولى نظريات تصنيف الأسطح ثنائية الأبعاد عام 1907[8]. بعد ذلك بوقت قصير، أُثبِتت أهمية ربط الهياكل الجبرية بالعناصر الطوبولوجية بوضوح، من عالم الرياضيات الهولندي لويتسن براور (Luitzen Brouwer، 1881-1966)، ونظريته عن النقطة الثابتة[9]. وعلى الرغم من أن عبارة الطوبولوجيا الجبرية استُخدمت لأول مرة في وقت لاحق -إلى حدٍّ ما عام 1936- من عالم الرياضيات الأميركي من أصل روسي سولومون ليفشيتز (Solomon Lefschetz، 1884-1972)، فإن البحث في هذا المجال الرئيس من الطوبولوجيا كان جاريًا في وقت باكر جدًا في القرن العشرين[10].

في الوقت نفسه الذي شهد فيه علم الطوبولوجيا التوافقيّة تطوُّرَه المبكر، درس علماءُ التحليل الرياضي في القرن التاسع عشر، مثل الفرنسي أوغستين-لويس كوشي (Augustin-Louis Cauchy، 1789-1857) والألماني كارل ڤيرشتراس (Karl Weierstrass، 1815-1897)، متسلسلات فورييه (Fourier Series)، حيث تتقارب متتاليات الدوال إلى دوال أخرى، بمعنى مماثل لتقارب متتاليات النقاط في الفضاء[11]. من زاوية أخرى، درس علماء، مثل الألماني جورج كانتور (Georg Cantor، 1845-1918) والفرنسي إميل بوريل (Émile Borel، 1871-1956)، العلاقة بين متسلسلات فورييه ونظرية المجموعات {{نظرية المجموعات: (Set Theory) فرع من فروع الرياضيات، يُعنى بدراسة المفهوم المجرد للمجموعة. كذلك يهتم بوصف المجموعات وتصنيفها، وتحليل العلاقات والعمليات التي تتم بينها، مثل الانتماء والاحتواء والاتحاد والتقاطع والفرق.}}، وقد نشأت مبادرتان من هذه الجهود، هما: إنشاء إطار رياضي صارم للمشكلات الرئيسة في التحليل، وتوفير إطار عام للأفكار الرياضية المتعلقة بتقارب المتتاليات[12]. في عام 1899، اقترح عالم الرياضيات الألماني ديڤيد هيلبرت (David Hilbert، 1862-1943) إطارًا بديهيًا للهندسة العامة، يتجاوز ما قدَّمه الإغريق القدماء[13]. وفي عام 1905، اقترح عالم الرياضيات الفرنسي موريس فريشيه (Maurice Fréchet، 1878-1973) مخططًا متسقًا من البديهيات للتقارب في مجموعة مجردة، وكذلك البديهيات للفضاء المتري، وهي مجموعة مزودة بدالة مسافة (دالة مترية)[14]. وفي عام 1910، اقترح هيلبرت بديهيات لجوار النقاط في مجموعة مجردة، ومن ثم تعميم خصائص الأقراص الصغيرة التي مركزها نقاط في المستوى[15]. لاحقًا، في عام 1914، اقترح عالم الرياضيات الألماني فيلكس هاوسدورف (Felix Hausdorff)، في كتابه أُسُس نظرية المجموعات (Grundzüge der Mengenlehre)(1914)، العلاقات البديهية الأساسية بين النهج المتري والنهاية والجوار للفضاءات العامة (فضاء هاوسدورف)[16]. وعلى الرغم من أنه لم تُقدَّم البديهيات الحديثة للطوبولوجيا في مجموعة مجردة إلا عام 1925، فإن مجال الطوبولوجيا العامة وُلد في عمل هاوسدورف.​

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​خلال المدة التي سبقت ستينيات القرن العشرين، ازدهرت الأبحاث في مجال الطوبولوجيا العامة، وطرحت كثيرًا من الأسئلة المهمة. لقد عُولجت فكرة البعد (Dimension) ومعناه بالنسبة إلى الفضاءات الطوبولوجية العامة بشكل مُرضٍ، من خلال تقديم النظرية الاستقرائية للبعد، ودُرِست كذلك خاصية التراص {{خاصية التراص: (Compactness)خاصية في الطوبولوجيا تعني أن كل غطاء مفتوح لمجموعة يمكن اختزاله إلى غطاء جزئي مُنتَهٍ.}}، وهي خاصية تعمم مفهوم المجموعات المغلقة والمحدودة في الفضاء الأقليدي {{الفضاء الأقليدي: الفضاء الرياضي المبني على هندسة أقليدس، حيث تُقاس المسافة والزوايا بالقوانين التقليدية.}} ذي البعد n في الفضاءات الطوبولوجية، من خلال تعريف يتضمن أغطية للفضاء، بوساطة عائلة من المجموعات المفتوحة {{المجموعات المفتوحة: مجموعات تُستخدم لتعريف الفضاءات الطوبولوجية، وتُحدّد مفاهيم الجوار والتقارب والاستمرارية.}}، وقد حُلَّت كثير من المشكلات المتعلقة بالتراص خلال هذه المدة. وبعد عمل كبير على مفهوم شبه التراص {{شبه التراصّ: (Paracompactness)تعميم لخاصية التراص، على النحو الذي يمكن فيه تحسين كل غطاء مفتوح إلى غطاء محلي مُنتَهٍ.}}، وهو تعميم لخاصية التراص، سُوِّيت مشكلة القياس (Metrization)، التي سعت إلى وصف طوبولوجي للفضاءات التي يمكن توليدها من خلال فضاء متري [الشكل 2][17].

تعريف الفضاءات الطوبولوجية

الفضاءات الطوبولوجية (Definition of Topology) في الرياضيات، هي تعميم للفضاءات الأقليدية، إذ وُصفت فكرة القرب أو النهاية من حيث العلاقات بين المجموعات، بدلًا من فكرة المسافة.

يتكوَّن كل فضاء طوبولوجي من[18]:

1. مجموعة غير خالية من النقاط، ولتكن \(X\).
2. مجموعة جزئية من مجموعة القوى \(P(X)\)، يُرمز لها عادة بالرمز \(\tau \)، ويُسمّى كل عنصر من عناصرها بالمجموعة المفتوحة.
3. عمليات المجموعات: الاتحاد {{اتحاد المجموعات: (Union of Sets) عملية دمج مجموعتين معًا، لتكوين مجموعة جديدة تحتوي على العناصر جميعها التي تنتمي إلى أيٍّ من المجموعتَيْن أو كلتيهما، من دون تكرار العناصر المشتركة. يُرمز إلى الاتحاد بالرمز \(\cup \)، ويُقرأ "اتحاد". ويُكتَب اتحاد المجموعتين \(A\) و \( B\)على النحو الآتي: \(A\cup B={x:x\in A or x\in B}\).}}، والتقاطع {{تقاطع المجموعات: (Intersection of Sets) عملية رياضية تُحدَّد فيها العناصر المشتركة فقط بين مجموعتين، لتكوين مجموعة جديدة تحتوي على العناصر جميعها التي تنتمي إلى كلتا المجموعتَيْن. يُرمز إلى التقاطع بالرمز \(\cap \)، ويُقرأ "تقاطع". ويُكتب تقاطع المجموعتين \(A\) و \( B\)على النحو الآتي: \(A\cap B={x:x\in A \land x\in B}\).}}. علاوة على ذلك، يجب تعريف مجموعة المجموعات المفتوحة \(\tau \) بطريقة تجعل تقاطع أي عدد محدود من المجموعات المفتوحة مفتوحًا في حد ذاته، أي ينتمي إلى \(\tau \)، واتحاد أي مجموعة لا نهائية من المجموعات المفتوحة مفتوحًا أيضًا، أي ينتمي إلى \(\tau \).

ومن ثم، يمكن صياغة تعريف الفضاء الطوبولوجي كما يأتي:[19]

تعريف: لتكن \(X\) مجموعة غير خالية، ولتكن \(\tau \) مجموعة جزئية من مجموعة القوى \(P(X)\)، فإن \(\tau \) تُسمى طوبولوجيًا على \(X\)، إذا حققت الشروط الآتية[20]:

1. \(X\) والمجموعة الخالية \(ϕ\) ينتميان إلى \(\tau \).
2. اتحاد أي عدد (مُنتهٍ أو غير مُنتهٍ) من عناصر \(\tau \) ينتمي إلى \(\tau \).
3. تقاطع عدد مُنتهٍ من عناصر \(\tau \) ينتمي إلى \(\tau \).

في هذه الحالة، يُسمّى الزوج المرتب \((X,\tau )\) فضاءً طوبولوجيًا.

ولتوضيح التعريف يُنظر إلى المثالَيْن الآتيَيْن:

مثال: لتكن \(X={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }\)، وليكن \(\tau ={X, ϕ, \left\{1\right\}, \left\{3,4\right\}, \left\{1,3,4\right\}, \left\{2,3,4,5,6\right\} }\)، فإن من السهل التحقق من أن \(\tau \) تحقق الشروط الثلاثة الواردة في التعريف، ومن ثم، فإن \(\tau \) طوبولوجي على \(X\).

الإثبات:

1. من الواضح أن \(X,ϕ\) ينتميان إلى \(\tau \).
2. لإثبات أن اتحاد أي عدد من عناصر \(\tau \) ينتمي إلى \(\tau \)، لا بد من دراسة عدة حالات، وفيما يأتي الست الأولى منها:

\[\left\{1\right\}\cup ϕ=\left\{1\right\}\in \tau \]

\[\left\{1\right\}\cup X=X\in \tau \]

\[\left\{1\right\}\cup \left\{3,4\right\}=\left\{1,3,4\right\}\in \tau \]

\[\left\{1\right\}\cup \left\{1,3,4\right\}=\left\{1,3,4\right\}\in \tau \]

\[\left\{1\right\}\cup \left\{2,3,4,5,6\right\}=X\in \tau \]

\[\left\{1\right\}\cup \left\{3,4\right\}\cup \left\{1,3,4\right\}=\left\{1,3,4\right\}\in \tau \]

\[\left\{1\right\}\cup \left\{3,4\right\}\cup \left\{2,3,4,5,6\right\}=X\in \tau \]

\[\left\{1\right\}\cup \left\{1,3,4\right\}\cup \left\{2,3,4,5,6\right\}=X\in \tau \]

\[⋮\]

3. لإثبات أن تقاطع أي عدد مُنتهٍ من عناصر \(\tau \) ينتمي إلى \(\tau \)، تُدرس الحالات كما في الفرع 2.

مثال: لتكن \(X={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }\)، وليكن \(\tau ={X, ϕ}​​, \left\{3,5\right\}, \left\{1,3,4\right\}, \left\{2,3,4,5,6\right\}\)

يُلحظ أن \(\tau \) ليست طوبولوجيًا على \(X\)، وذلك بسبب أن \(\left\{3,5\right\}\) و \(\left\{1,3,4\right\}\) ينتميان إلى \(\tau \)، ولكن تقاطعهما \(\left\{1.3.4\right\}\cap \left\{3,5\right\}={3}\) لا ينتمي إلى \(\tau \).

فيما يأتي بعض الأمثلة على الفضاءات الطوبولوجية[21]:

1. مثال الطوبولوجي المتقطع(Discrete Topology):

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية، ولتكن \(\tau \) مجموعة كل المجموعات الجزئية من \(X\)، أي إن \(\tau ={U:U\subseteq X}\)

فإن \((X,\tau )\) يُسمى الفضاء الطوبولوجي المتقطع.

فعلى سبيل المثال، إذا كانت \(X={a,b,c}\)، فإن الطوبولوجي المتقطع على \(X\) هو:

\[\tau =\left\{ϕ,X,\left\{a\right\}, \left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}\]

2. مثال الطوبولوجي غير المتقطع (Indiscrete Topology):

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية، ولتكن \(\tau ={ϕ,X}\)

فإن \((X,\tau )\) يُسمى الفضاء الطوبولوجي غير المتقطع.

3. مثال الطوبولوجي الاعتيادي على \(\mathbb{R} \) (Usual Topology on \(\mathbb{R} \)):

لتكن \(X\mathbb{=R} \)، وليكن \(\tau ={ U\mathbb{⊆R: (∀} x\in U)(\exists a,b\mathbb{∈R)(} x\in \left(a,b\right)\subseteq U}\)

فإن \(\mathbb{(R,} \tau )\) يُسمى الطوبولوجي الاعتيادي.

4. مثال طوبولوجي الأشعة اليمنى (Right-ray Topology):

لتكن \(X\mathbb{=R} \)، وليكن \(\tau =\left\{ \left(a,\infty \right):a\mathbb{∈R} \right\}\cup {ϕ\mathbb{,R}} \)

فإن \(\mathbb{(R,} \tau )\) يسمى فضاءً طوبولوجي الأشعة اليُمنى.

5. مثال طوبولوجي الأشعة اليسرى (Left-ray Topology):

لتكن \(X\mathbb{=R} \)، وليكن \(\tau =\left\{ \left(-\infty ,b\right):b\mathbb{∈R} \right\}\cup {ϕ\mathbb{,R}} \)

فإن \(\mathbb{(R,} \tau )\) يسمى فضاءً طوبولوجي الأشعة اليسرى.

6. مثال طوبولوجي متممة-المنتهي (Co-finite Topology):

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية، ولتكن \(\tau =\left\{U:U^{c} is finite\right\}\cup {ϕ}\)

فإن \((X,\tau )\) يُسمّى الفضاء طوبولوجي متممة-المنتهي.

7. مثال طوبولوجي متممة-المعدود(Co-countable Topology):

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية، ولتكن \(\tau =\left\{U:U^{c} is countable\right\}\cup {ϕ}\)

فإن \((X,\tau )\) يسمى الفضاء طوبولوجي متممة-المعدود.

ملحوظات:

1. إذا كانت المجموعة \(X\) مجموعة منتهية، فإن طوبولوجي متممة-المنتهي هو ذاته الطوبولوجي المتقطع على \(X\).
2. إذا كانت المجموعة \(X\) مجموعة معدودة، فإن طوبولوجي متممة-المعدود هو ذاته الطوبولوجي المتقطع على \(X\).

المجموعة المفتوحة والمجموعة المغلقة

أولًا: تعريف المجموعة المفتوحة (Open Sets)[22].

إذا كان \((X,\tau )\) فضاءً طوبولوجيًا، فإن عناصر الطوبولوجي \(\tau \) تسمى مجموعات مفتوحة.

مثال: إذا كانت \(X={ a,b,c,d,e,f }\)، وليكن

\[\tau ={X, ϕ, \left\{a\right\}, \left\{c,d\right\}, \left\{a,c,d\right\}, \left\{b,c,d,e,f\right\} },\]

فإن \(\left\{a\right\}, \left\{c,d\right\}, \left\{a,c,d\right\}, \left\{b,c,d,e,f\right\}\) هي مجموعات مفتوحة، في حين أن المجموعة \({b}\) على سبيل المثال ليست مجموعة مفتوحة.

مثال: في الفضاء الطوبولوجي الاعتيادي، فإن المجموعات من النوع \(\left(a,b\right), \left(-\infty ,b\right), \left(a,\infty \right)\)، حيث \(a,b\mathbb{∈R} \) تُعَد مجموعات مفتوحة.

ملحوظة: إذا كان \((X,\tau )\) فضاءً طوبولوجيًا، فإن[23]:

1. \(X, ϕ\) هي مجموعات مفتوحة.
2. اتحاد أي عدد (مُنتهٍ أو غير مُنتهٍ) من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة أيضًا.
3. تقاطع عدد مُنتهٍ من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة أيضًا.

ثانيًا: تعريف المجموعة المغلقة (Closed Sets)[24]:

إذا كان \((X,\tau )\) فضاءً طوبولوجيًا، فإن المجموعة الجزئية \(F\) من \(X\) تسمى مجموعة مغلقة، إذا كانت متممتها \(F^{c}\) مجموعة مفتوحة.

مثال: إذا كانت \(X={ a,b,c,d,e,f }\)، وليكن

\[\tau =\left\{X, ϕ, \left\{a\right\}, \left\{c,d\right\}, \left\{a,c,d\right\}, \left\{b,c,d,e,f\right\} \right\},\]

فإن \(\left\{a\right\}, \left\{a,b,e,f\right\}, \left\{b,e,f\right\}, \left\{b,c,d,e,f\right\}\) مجموعات مغلقة.

ويُلحظ أيضًا أن \(\left\{a\right\}, {b,c,d,e,f}\) مجموعات مفتوحة ومغلقة في الوقت نفسه.

في حين أن المجموعة \({a,b,c}\) ليست مغلقة، لأن متممتها ليست عنصرًا في \(\tau \)، وليست مجموعة مفتوحة في الوقت ذاته.

مثال: في الفضاء الطوبولوجي الاعتيادي، فإن المجموعات من النوع \([a,b], (-\infty ,b], [a,\infty )\)، حيث \(a,b\mathbb{∈R} \) تُعَد مجموعات مغلقة، في حين أن المجموعة \([2,6)\) على سبيل المثال ليست مفتوحة وليست مغلقة.

ملحوظة: إذا كان \((X,\tau )\) فضاء طوبولوجيًا، فإن[25]:

1. \(X, ϕ\) مجموعات مغلقة.
2. تقاطع أي عدد (مُنتهٍ أو غير مُنتهٍ) من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة.
3. اتحاد عدد مُنتهٍ من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة.

على الرغم من حداثة علم الطوبولوجيا، فإنه يشمل مجموعة واسعة من التطبيقات في كثير من المجالات. ورغم أن الطوبولوجيا النظرية قد تبدو جامدة، فإن تطبيقاتها العملية متعددة جدًا، فالباحث يجدها في علوم شتى، كالأحياء والروبوتات ونظم المعلومات الجغرافية والهندسة وعلوم الحاسوب.

[1] Stephan C. Carlson, “Topology,” Britannica, 8/11/2025, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/topology; Stephan C. Carlson, “Graph Theory,” Britannica, 13/11/2025, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/topic/graph-theory

[2] K. D. Joshi, Introduction to General Topology (New Delhi: New Age International, 1983).

[3] Stephan C. Carlson, “History of Topology,” Britannica, 8/11/2025, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/topology/History-of-topology

[4] Ibid.

[5] Ibid.

[6] Anoushka Pant, “Möbius Strip,” Britannica, 14/11/2025, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/Mobius-strip

[7] “Klein Bottle,” Britannica, 8/10/2025, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/Klein-bottle

[8] Carlson, “History of Topology”.

[9] Stephan C. Carlson, “Brouwer’s Fixed Point Theorem,” Britannica, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/Brouwers-fixed-point-theorem

[10] Carlson, “History of Topology”.

[11] “Fourier Series,” Britannica, 14/11/2025, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/Fourier-series

[12] “Georg Cantor,” Britannica, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/biography/Georg-Ferdinand-Ludwig-Philipp-Cantor; “Émile Borel,” Britannica, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/biography/Emile-Borel

[13] “Hilbert’s 23 Problems,” Britannica, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/Hilberts-23-problems

[14] “Fréchet, Maurice,” Encyclopedia of Math, accessed on 26/11/2025, at: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fréchet,_Maurice

[15] “Hilbert’s 23 Problems”.

[16] Stephan C. Carlson, “Hausdorff Space,” Britannica, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/Hausdorff-space

[17] “General Topology,” Britannica, accessed on 26/11/2025, at: https://www.britannica.com/science/general-topology

[18] Stefan Waldmann, Topology: An Introduction (Cham: Springer, 2014), pp. 12-16.

[19] Joshi, pp. 61-65.

[20] S. A. Morris, Topology Without Tears ([n. p.]: [n. p.], 2007), pp. 25-47.

[21] Joshi, pp. 80-92.

[22] Morris, pp. 25-47.

[23] Ibid.

[24] Ibid.

[25] Ibid.

المراجع

Carlson, Stephan C. “History of Topology.” Britannica. 8/11/2025. at: https://www.britannica.com/science/topology/History-of-topology

________. “Topology.” Britannica. 8/11/2025. at: https://www.britannica.com/science/topology

________. “Graph theory.” Britannica. 13/11/2025. at: https://www.britannica.com/topic/graph-theory

________. “Brouwer’s Fixed Point Theorem.” Britannica. at: https://www.britannica.com/science/Brouwers-fixed-point-theorem

________. “Hausdorff Space.” Britannica. at: https://www.britannica.com/science/Hausdorff-space

“Émile Borel.” Britannica. at: https://www.britannica.com/biography/Emile-Borel

“Fourier Series.” Britannica. 14/11/2025. at: https://www.britannica.com/science/Fourier-series

“Fréchet, Maurice.” Encyclopedia of Math. at: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fréchet,_Maurice

“General topology.” Britannica. at: https://www.britannica.com/science/general-topology

“Georg Cantor.” Britannica. at: https://www.britannica.com/biography/Georg-Ferdinand-Ludwig-Philipp-Cantor

“Hilbert’s 23 problems.” Britannica. at: https://www.britannica.com/science/Hilberts-23-problems

Joshi, K. D. Introduction to General Topology. New Delhi: New Age International, 1983.

“Klein bottle.” Britannica. 8/10/2025. at: https://www.britannica.com/science/Klein-bottle

Morris, S. A. Topology Without Tears. [n. p.]: [n. p.], 2007.

Pant, Anoushka. “Möbius strip.” Britannica. 14/11/2025. at: https://www.britannica.com/science/Mobius-strip

Waldmann, Stefan. Topology: An Introduction. Cham: Springer, 2014.