الموجز
دالّة الظل (Tangent Function) من
الدوال المُثلثية الأساسية التي تحتلّ موقعًا مهمًّا في الرياضيات، إذ تسهم بدَوْرٍ بارزٍ في التحليل الرياضي، وفي معالجة كثير من المسائل التطبيقية ضمن مجالات متنوّعة. تعتمد فكرتها على الربط بين
الزوايا ونِسَب أطوال الأضلاع في المثلث قائم الزاوية. كذلك تُستَخدم في توصيف الظواهر الدورية والحركات الموجية، وتظهر أهميّتُها من خلال خصائصها التحليلية ودَوْرها في فَهْم بقية الدوالّ المُثلثية. كذلك فإنَّ لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة. من هنا، فإن دراسة دالة الظل وخصائصها تُعَدّ مدخلًا أساسيًا للتعمّق في التحليل الرياضي واستيعاب تطبيقاته المتعددة.
التعريف الرياضي
تُعَدّ
دالة الظل واحدة من الدوالّ المُثلّثية المستخدمة بكثرة في الرياضيات والعلوم التطبيقية، إذ ترتبط بشكل أساسي بالمثلث قائم الزاوية، وبدالّتَي الجيب وجيب التمام. يُرمَز لدالة ظل الزاوية
\(x\) بالرمز
\(f\left(x\right)=\tan\left(x\right)\)، إذ إن:
[الشكل 1] ظل الزاوية \(\theta \)
[الشكل 2] دائرة الوحدة
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
\[f\mathbb{:R-} \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi : k\mathbb{∈Z} \right\}\mathbb{⟶R,} \]
دالة مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \)، باستثناء القِيَم التي تُحقّق العبارة
\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi \)، إذ إن
\(k\) عدد صحيح، ومداه هو مجموعة الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \)[1].
ارتبط تعريف دالة الظل بشكل كبيرٍ بنِسَب أطوال الأضلاع في المُثلّث قائم الزاوية، إذ يُعرَف ظلّ الزاوية في المُثلّث قائم الزاوية بأنه النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية الحادة {{الزاويةالحادة: Acute Angle هي زاوية قياسها أكبر من صفر وأصغر من 90°، تظهر في المُثلّثات الحادة، وتُعبّر عن انفتاح صغير بين ضلعَيْن.}} إلى طول الضلع المجاور لها، أي إنه يرتبط ارتباطًا مباشرًا بمفهوم النسبة المُثلّثية (الشكل 1)[2].
يقتصر التعريف الأوّليّ السابق لدالة الظل على الزوايا الحادّة فقط، لذلك كان لا بدّ من توسيعه ليشمل قِيَم الزوايا الممكنة جميعها. وقد تمَّ ذلك بالاعتماد على مفهوم كلٍّ من دالّتَي الجيب وجيب التمام، من خلال تمثيلهما على
دائرة الوحدة، وهي الدائرة التي مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها وحدة واحدة في المستوى الإحداثي. بناءً على ذلك، فقد أتاح هذا التمثيل إمكانية حساب قيمة الظل لأي زاوية (الشكل 2)، إذ تُعَرَّف دالة الظل هنا على أنها النسبة بين دالة الجيب ودالة جيب التمام.
وثمة بعض أشهر قياسات الزوايا وقِيَم الظل المقابلة لها (الجدول 1)[3].
[الجدول 1]
قِيَم الظل لبعض قياسات الزوايا المشهورة
| ظل الزاوية | قياس الزاوية بالراديان | قياس الزاوية بالدرجات |
|
\[0\] |
\[0\] |
\[0^\circ\] |
|
\[\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{\pi}{6}\] |
\[30^\circ\] |
|
\[1\] |
\[\frac{\pi}{4}\] |
\[45^\circ\] |
|
\[\sqrt{3}\] |
\[\frac{\pi}{3}\] |
\[60^\circ\] |
|
\[-\sqrt{3}\] |
\[\frac{2\pi}{3}\] |
\[120^\circ\] |
|
\[-1\] |
\[\frac{3\pi}{4}\] |
\[135^\circ\] |
|
\[-\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{5\pi}{6}\] |
\[150^\circ\] |
|
\[0\] |
\[\pi \] |
\[180^\circ\] |
|
\[\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{7\pi}{6}\] |
\[210^\circ\] |
|
\[1\] |
\[\frac{5\pi}{4}\] |
\[225^\circ\] |
|
\[\sqrt{3}\] |
\[\frac{4\pi}{3}\] |
\[240^\circ\] |
|
\[-\sqrt{3}\] |
\[\frac{5\pi}{3}\] |
\[300^\circ\] |
|
\[-1\] |
\[\frac{7\pi}{4}\] |
\[315^\circ\] |
|
\[-\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{11\pi}{6}\] |
\[330^\circ\] |
|
\[0\] |
\[2\pi \] |
\[360^\circ\] |
الخصائص الأساسية
تتميّز دالة الظل بمجموعة من الخصائص التي تجعلها مختلفة عن بقية الدوال المُثلثية، وهو ما يمنحها أهمية خاصة في مجالات العلوم والهندسة؛ فمن خلال دراستها واستكشافها يمكن معرفة شكل منحناها البياني، والتعرف إلى سلوكها في
المستوى الإحداثي، الأمر الذي يُعَد خطوة أساسية وركيزة مهمة للمساعدة في الحصول على فهم أوسع وإدراك أعمق للدوال المُثلثية المتبقية جميعها، وعلاقاتها المتبادلة. من هذه الخصائص ما يأتي[4]:
-
علاقة دالة الظلّ مع دالّتَي الجيب وجيب التمام: إن من أبرز سمات دالة الظل علاقتها الوثيقة بدالّتَي الجيب وجيب التمام، إذ إن تعريفها قائم في الأساس على هاتَيْن الدالتَيْن، فمن خلال هذا الارتباط، تَستمد دالة الظل خصائصها وسلوكها الرياضي، ويُعَبَّر عنها باعتبارها النسبة بين دالتي الجيب وجيب التمام على النحو الآتي:
\[f\left(x\right)=\tan\left(x\right)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\]
-
المجال والمدى: تمتاز دالة الظل بأن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \) جميعها، باستثناء القِيَم التي تُحقّق العبارة
\(\frac{\pi}{2}+k\pi \)، إذ إن
\(k\) عدد صحيح، ومداه هو مجموعة الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \) أيضًا.
-
الدورية: تُعَدّ دالة الظل من أهمّ الدوالّ المُثلّثية التي تتميز بشكل عام بخصيصة الدورية، إذ إن هذه الدالة تكرر نفسها بعد نصف دورة، أي إن:
\[\tan\left(x\right)=\tan\left(x+\pi \right)\]
-
الثماثل: تُصنَّف الدوال من حيث تماثلها حول المحور العمودي ونقطة الأصل إلى
دوال زوجية وفردية على الترتيب. وعلى هذا الأساس، فإن دالة الظل تُعَدّ
دالة فردية، ذلك لأنها متماثلة حول نقطة الأصل، أي إنها تُحقق العلاقة
\(f\left(-x\right)=-f(x)\) ، وذلك لقِيَم
\(x\) جميعها في مجال الدالة، أي إن:
\[\tan\left(-x\right)=-\tan\left(x\right)\]
-
القِيَم القصوى للدالة: على عكس معظم الدوالّ المُثلّثية الأخرى، فإن دالة الظل لا تمتلك أيًّا من
القِيَم القصوى {{القيمالقصوى: هي أكبر قيم أو أصغر قيم تبلغها الدالة محليًا أو كُلّيًا ضمن مجالها، وتُحدَّد غالبًا بدراسة المشتقة أو حدود الدالة.}}. يرجع السبب وراء ذلك إلى أنها دالة متزايدة دائمًا على مجالها.
-
مجالات التزايد والتناقص: دالة الظل
\(f\left(x\right)=\tan x\) هي دالة متزايدة دائمًا على الفترة ذات الشكل الآتي:
\[\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi ,\frac{\pi}{2}+k\pi \right), k\mathbb{∈Z} \]
-
الأصفار: تتساوى دالة الظل
\(f\left(x\right)=\tan x\) بالصفر عندما تكون قيمة
\(x=k\pi \)، إذ إن
\(k\) هو عدد صحيح، إذ تُمثّل هذه القِيَم جميع النقاط التي يقطع عندها منحنى الدالة المحور
\(x\).
-
الاتصال وقابلية الاشتقاق: تُعَدّ دالة الظل
\(f\left(x\right)=\tan x\) دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على مجالها كله، المتمثل في الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \) جميعها، باستثناء القِيَم التي تُحقّق العبارة
\(\frac{\pi}{2}+k\pi \)، إذ إن
\(k\) عدد صحيح.
-
المشتقة والتكامل: تُعَدّ دالة الظل
\(f\left(x\right)=\tan x\) دالة قابلة للاشتقاق على مجالها، إذ إن مشتقتها الأولى تُعطى وفق العلاقة الآتية:
\[\frac{d}{dx}\left(\tan x\right)=\sec^{2}(x)\]
من جهة أخرى، تُعَدّ دالة الظل دالة قابلة للتكامل على مجالها كله، عندما لا يحتوي أيٌّ من حدود التكامل على أحد أطراف المجال نفسه، المتمثّلة في المجموعة
\({\frac{\pi}{2}+k\pi : k\mathbb{∈Z} }\). يعود السبب في ذلك إلى أن التكامل عند هذه القيم يكون تكاملًا مُعتلًّا، فقد يكون تارة متباعدًا، وقد يكون متقاربًا تارة أخرى. وبشكل عام، فإن تكامل دالة الظل يُعطى وفقًا للقاعدة الآتية:
\[\int_{}^{} tanxdx=-\ln \left|\cos x\right|+c=\ln \left|\sec x\right|+c\]
التمثيل البياني
يُعَدّ التمثيل البياني لدالة الظل وسيلة أساسية لفهم خصائصها والتعرف إلى طبيعة سلوكها الدوري، فمن خلال المنحنى، يمكن ملاحظة التغيّر المستمرّ لقيمها، واستكشاف سماتها المهمّة، مثل خاصية الدورية والتناظر، علاوة على نقاط تقاطعها مع المحاور. كذلك يُظهر الشكل المميز لدالة الظل كيفية ترابط القيم العددية للزوايا بينها، الأمر الذي يجعل من التمثيل البياني أداة بصرية مؤثرة في دراسة الدوال المثلثية وتطبيقاتها المختلفة، ويبين (الشكل 3) التمثيل البياني لدالة الظل
\(f\left(x\right)=\tan x\)[5].
التمثيل البياني لدالة الظل
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
المتطابقات
تُعَدّ
المتطابقات المثلثية من الأدوات الجوهرية التي تُسهِّل تبسيط كثيرٍ من التعبيرات الرياضية، وتساعد في حلّ مختلف أنواع المعادلات. ومن هذه المتطابقات، تبرز تلك الخاصة بدالة الظل، إذ تُستَخدم على نطاق واسع، لأنها تكشف عن خصائص مهمة، وتتيح إعادة صياغة العلاقات المثلثية بأشكال متنوعة. كذلك تُبرز هذه المتطابقات الروابطَ بين دالة الظل وكلٍّ من دالتَي الجيب وجيب التمام، مع بقائها صحيحة ضمن المجال المسموح به. لهذا، تُعَدّ المتطابقات من الركائز الأساسية في البرهان الرياضي، وفي التطبيقات العملية في مجالات الرياضيات والفيزياء والهندسة (الجدول 2)[6].
[الجدول 2]
بعض متطابقات دالة الظل المشهورة
| اسم المتطابقة | المتطابقة |
| متطابقة فيثاغورس المثلثية |
\[\tan^{2}\left(x\right)+1=\sec^{2}\left(x\right) \] |
| متطابقات متممة الزاوية |
\[\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x , \\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x \] |
| متطابقات جمع الزوايا وطرحها |
\[\tan\left(a+b\right)=\frac{\tan\left(a\right)+\tan (b)}{1-\tan\left(a\right)\tan (b)} \]
\[\tan\left(a-b\right)=\frac{\tan\left(a\right)-\tan (b)}{1+\tan\left(a\right)\tan (b)} \] |
| متطابقة ضعف الزاوية |
\[\tan\left(2x\right)=\frac{2\tan (x)}{1-\tan^{2}\left(x\right)}\] |
| متطابقة نصف الزاوية |
\[\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\left(x\right)}{1+\cos\left(x\right)}},\]
\[\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)},\]
\[\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}\] |
التطبيقات
تُعَد دالة الظل من أكثر الدوال المُثلّثية استخدامًا في التطبيقات العلمية والهندسية، إذ ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالزوايا والميل والانحدار، وتُستخدم في مجالات واسعة تمتد من الرياضيات النظرية إلى العلوم التطبيقية الحديثة. في الهندسة والتحليل الرياضي، تُستعمل دالة الظل لتحديد ميل المستقيمات والمنحنيات، وإيجاد الزوايا بين الخطوط، ودراسة المماس والاتجاهات في الدوال الرياضية.
وفي الفيزياء، تسهم دالة الظل في تحليل الظواهر الميكانيكية، مثل حساب مركبات القوى على الأسطح المائلة، ودراسة الحركة الدائرية والعزوم وتوازن الأجسام. أما في الهندسة المدنية والمعمارية، فتؤدي دالة الظل دَوْرًا أساسيًا في القياسات المثلّثية لتحديد الارتفاعات والمسافات غير المباشرة، كحساب ارتفاع برج أو جبل باستخدام زاوية النظر والمسافة الأفقية. كذلك تدخل في تصميم الطرق والمنشآت التي تتطلب تقديرًا دقيقًا لانحدار الأسطح.
وفي الرياضيات التطبيقية، تُستخدَم دالة الظل في دراسة الدوال الدورية والمعادلات التفاضلية العادية والجزئية، التي تصف كثيرًا من الظواهر الطبيعية المتكررة، مثل الموجات الكهربائية والصوتية، إذ تُعَدّ عنصرًا أساسيًا في بناء النماذج الرياضية في مجالات الهندسة والإلكترونيات والاتصالات. كذلك تمتدّ تطبيقاتها إلى علم الفلك والملاحة، إذ تُوظَّف في تحديد الاتجاهات والارتفاعات الزاويّة للأجرام السماوية، وفي حساب خطوط السَّيْر والمسارات الجغرافية بدقة.
هكذا، تُبرِز دالة الظل أهميتها بوصفها أداة رياضية مركزية تربط بين المفهوم النظري والواقع العملي، وتسهم في تطوير الحلول العلمية والهندسية في مختلف مجالات المعرفة[7].
[1] Joel R. Hass, Christopher E. Heil & Maurice D. Weir,
Thomas' Calculus, 14th ed. (Boston: Pearson, 2018), pp. 21–33.
[2] عمر أبو غليون [وآخرون]،
الرياضيات: الصف الثاني عشر- الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول (عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج- وزارة التربية والتعليم، 2023)، ص 180.
[3] Hass, Heil & Weir.
[4] James Stewart, Daniel K. Clegg & Saleem Watson,
Calculus, 9th ed. (Boston: Cengage Learning, 2021), Chapters 2, 3, 5; Hass, Heil & Weir, Chapters 1, 2, 3, 5; فخري حسن حمدان، أساسيات التفاضل والتكامل، ط 4 (عمّان: دار وائل للطباعة والنشر والتوزيع، 2008)، الوحدة 1، 2، 3، 5.
[5] Hass, Heil & Weir, pp. 21–33.
[6] أبو غليون [وآخرون].
[7] Hass, Heil & Weir; Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012).
المراجع
العربية
أبو غليون، عمر [وآخرون].
الرياضيات: الصف الثاني عشر- الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول. عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج- وزارة التربية والتعليم، 2023.
حمدان، فخري حسن.أساسيات التفاضل والتكامل.ط 4. عمّان: دار وائل للطباعة والنشر والتوزيع، 2008.
الأجنبية
Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012.
Hass, Joel R., Christopher E. Heil & Maurice D. Weir. Thomas' Calculus. 14th ed. Boston: Pearson, 2018.
Stewart, James, Daniel K. Clegg & Saleem Watson.
Calculus. 9th ed. Boston: Cengage Learning, 2021.
