المجموعة الجزئية

المجموعة الجزئية (Subset) مفهومٌ أساسي في الرياضيات، يتعلق بدراسة العلاقات بين المجموعات. فمثلًا إذا كان ثمة مجموعتان هما \(A\) و \(B\)، يُقال إن \(A\) مجموعة جزئية من \(B\)، إذا كان كل عنصر في المجموعة \(A\) عنصرًا أيضًا في المجموعة \(B\). ويُعبَّر عن ذلك في الرياضيات بالرموز على النحو الآتي: \(\left(A\subseteq B\right)\).

تعريفها

إن مفهوم المجموعة الجزئية موجود في كثير من نواحي الحياة، وهو مفهوم يساعد في تصنيف العناصر وتنظيمها داخل مجموعات أكبر في سياقات مختلفة، فمثلًا، تُعد مجموعة الطلاب في فصل دراسي معين مجموعةً جزئية من مجموعة الطلاب الكاملة في المدرسة. ويمكن أن تُعرَّف المجموعة الجزئية في الرياضيات بالطريقة الآتية[1]:

التعريف: إذا كانت \(A\) و \(B\) مجموعتين، يقال إن \(A\) مجموعة جزئية من المجموعة \(B\) (المجموعة \(A\) محتواة في المجموعة \(B\))، إذا كان كل عنصر في المجموعة \(A\) عنصرًا في المجموعة \(B\)، ومن ثم يُكتَب: \(A\subseteq B\). يُعبَّر عن ذلك بالرموز كما يأتي:

\[A\subseteq B⇔\left(\forall x\right)\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\]

ويمكن توضيح مفهوم المجموعة الجزئية من خلال أشكال ڤن (Venn diagram)، ويُعبَّر عن ذلك من خلال (الشكل 1) الذي يتضح فيه أن المجموعة \(A\) مجموعة جزئية من المجموعة \(B\):​

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​​مثال: إذا كانت \(A={1,3,5}\)، \(B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\)، فإن \(A\subseteq B\).

ومما سبق، يمكن إثبات أن \(A\subseteq B\) بطريقتين، هما:

• ​ البرهان المباشر {{البرهان المباشر: (Direct Proof) في الرياضيات، وخصوصًا في نظرية المجموعات، هو برهان يعتمد على الانطلاق من الفرضيات المعطاة واستخدام التعريفات والخواص المعروفة للوصول خطوة بخطوة إلى النتيجة المطلوبة، من دون الحاجة إلى افتراضات إضافية. ويُعد هذا الأسلوب من أبسط طرق الإثبات المنطقي.}}: إثبات أنه إذا كان \(x\in A\)، فإن \(x\in B\).
• المكافِئة العكسية {{المكافئة ​العكسية: (Contrapositive Equivalence) هي علاقة منطقية بين عبارتين شرطيّتين، إذ تكون العبارة \(P\Rightarrow Q\) مكافئة تمامًا لعبارة النفي العكسي \(\sim Q\implies \sim P\). وهذه المكافئة تُستخدم كثيرًا في البراهين الرياضية لتبسيط الاستدلالات.}}: إثبات أنه إذا كان \(x\notin B\)، فإن \(x\notin A\).
  

خصائصها

فيما يلي بعض الخصائص المهمّة التي تتميّز بها المجموعات الجزئية، لِما لها من دور أساسي في بناء المفاهيم الرياضية المتعلقة بالعلاقات بين المجموعات.

أ. تُعدّ المجموعة الخالية لـ \(ϕ\) والمجموعة ذاتها مجموعتين جزئيتين من المجموعة نفسها، والنظرية الآتية توضح ذلك: لتكن \(A\) مجموعة، فإن ( \(ϕ\subseteq A\) و \(A\subseteq A\))[2].

ب. المجموعة الجزئية الفعلية {{المجموعة الجزئية الفعلية: (Proper Subset) هي مفهوم أساسي في نظرية المجموعات، يشير إلى العلاقة بين مجموعتين عندما تكون كل عناصر المجموعة الأولى موجودة في الثانية، ولكن الثانية تحتوي على عناصر إضافية. ويُرمز للمجموعة الجزئية الفعلية عادةً بالرمز \(A\subset B\).}}: هي المجموعة التي تكون جزءًا من مجموعة أخرى، ولكن ليست مساوية لها، بمعنى أن عناصر المجموعة الجزئية جميعها موجودة في المجموعة الأصلية، ولكن المجموعة الأصلية تحتوي على عناصر إضافية، وتعني أن: \(B\subseteq A\) و \(B\neq A\)، وتُكتَب بالصيغة: \(B\subset A\)، أو بالصيغة: \(B⫋A\) [3].

ج. المجموعة الجزئية غير الفعلية {{المجموعة الجزئية غير الفعلية: (Improper Subset) هي مصطلح في نظرية المجموعات، ويعني أن مجموعة ما هي مجموعة جزئية من مجموعة أخرى وتكون مساوية لها تمامًا. أي أن كل عنصر في المجموعة الأولى موجود في الثانية، ولا توجد عناصر إضافية في أيٍّ منهما. ويرمز لها عادةً بالرمز \(A\subseteq A\) }}: هي المجموعة التي تكون مساوية تمامًا للمجموعة الأصلية.

د. تتداخل بعض المفاهيم الأخرى في نظرية المجموعات مثل اتحاد المجموعات {{اتحاد المجموعات: (Union of Sets) هو عملية دمج مجموعتين ببضعهما لتكوين مجموعة جديدة تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي إلى أي من المجموعتين، أو كليهما، من دون تكرار العناصر المشتركة. ويُرمز إلى الاتحاد بالرمز \(\cup \)، ويُقرأ "اتحاد"، ويُكتب اتحاد المجموعتين \(A\) و \(B\) على النحو الآتي: \(A\cup B=\left\{x:x\in A or x\in B\right\}\).}}، والتقاطع {{التقاطع: (Intersection of Sets) هو عملية رياضية تحدد فيها العناصر المشتركة فقط بين مجموعتين؛ لتكوين مجموعة جديدة تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي إلى​ كلتا المجموعتين. ويُرمز إلى التقاطع بالرمز \(\cap \)، ويُقرأ "تقاطع"، ويُكتب تقاطع المجموعتين \(A\) و \(B\)، على النحو الآتي: \(A\cap B=\left\{x:x\in A and x\in B\right\}\).}}، ومتممة المجموعة {{متممة المجموعة: (Complement Set) هي مجموعة العناصر التي تحتوي على جميع عناصر المجموعة الشاملة باستثناء المجموعة الاصلية.}} مع مفهوم المجموعة الجزئية، مما يؤدي إلى ظهور المزيد من الخصائص الفريدة. فإذا كان كل من \(A, B, C\) مجموعات، فإن[4]:

• ​ \(A\subseteq A\cup B\).
• \(A\cap B\subseteq A\)، \(A\cap B\subseteq B\).
• \(A\subseteq B\) إذا وفقط إذا كانت \(B^{c}\subseteq A^{c}\).
• إذا كانت \(A\subseteq B \) فإن \(A\cup C\subseteq B\cup C\).
  
• إذا كانت \(A\subseteq B \) فإن \(A\cap C\subseteq B\cap C\).
• \(A\subseteq B\) إذا وفقط إذا كانت \(A\cup B=B\).
• \(A\subseteq B\) إذا وفقط إذا كانت \(A\cap B=A\).
• \(A\cap B=ϕ\) إذا وفقط إذا كانت \(A\subseteq B^{c}\).
• ​ \(P\left(A\right)\cup P(B)\subseteq P(A\cup B)\).
  

​هـ. تكون المجموعتان \(A,B\) متساويتين إذا وفقط إذا كانت \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq A\).

و. خاصية التعدي (Transitive): لتكن \(A,B,C\) مجموعات، فإذا كان \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq C\)، فإن \(A\subseteq C\).

ز. إذا كانت \(A, B\) مجموعتين، فإن \(A\subseteq B\)، إذا وفقط إذا كانت \(P\left(A\right)\subseteq P\left(B\right)\).

ح. عمومًا، فإن \(N\) \(\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\subseteq C\).

ط. إذا كانت \(A\subseteq B\) وكانت \(B\) مجموعة منتهية، فإن \(A\) أيضًا مجموعة منتهية.

ي. إذا كانت \(A\subseteq B\) وكانت \(A\) مجموعة غير منتهية، فإن \(B\) أيضًا مجموعة غير منتهية.

ك. إذا كانت \(A\subseteq B\)، فإن \(Card(A)\leq Card(B)\). بحيث يكون \(Card(S​)\) هو العدد الكاردينالي {{العدد الكاردينالي: (Cardinal Number) هو مفهوم في نظرية المجموعات، يُستخدم لقياس عدد العناصر في مجموعة ما، من دون أخذ ترتيبها أو طبيعتها في الاعتبار، وذلك بهدف مقارنة أحجام المجموعات مقارنةً منهجيةً.}} للمجموعة \(S\).

المراجع

Jebril, Iqbal H., Hemen Dutta & Ilwoo Cho. Concise Introduction to Logic and Set Theory. Boca Raton, FL: CRC Press, 2021.

Smith, Douglas, Maurice Eggen & Richard St. Andre. A Transition to Advanced Mathematics. 8^th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2014.​

[1] Iqbal H. Jebril, Hemen Dutta & Ilwoo Cho, Concise Introduction to Logic and Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2021), p. 29.

[2] Ibid., p. 30.

[3] Ibid.

[4] Douglas Smith, Maurice Eggen & Richard St. Andre, A Transition to Advanced Mathematics, 8th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2014), pp. 71-122.