التشابه

التشابه (Similarity)، في الهندسة الرياضية هو علاقة جوهرية بين شكلين هندسيين يكون أحدهما نسخة مكبرة أو مصغرة من الآخر، إذ يشترط في تشابه المضلعات تحقُّق ركنين أساسيين هما تساوي جميع الزوايا المتناظرة بشكل كامل وتناسب أطوال الأضلاع المتناظرة بنسبة ثابتة تسمى مُعامِل التشابه. ويمتد هذا المفهوم ليشمل حالات خاصة في المثلثات، حيث يتشابه المثلثان إذا تطابقت زواياهما أو تناسبت أضلاعهما، ومن أبرز نتائجه أن النسبة بين مساحتيهما تساوي القيمة دائمًا مربع معامل التشابه. كما تبرز أهمية التشابه في نظريات هندسية دقيقة كعلاقة القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث بالضلع الثالث، أو تقسيم العمود النازل من الزاوية القائمة إلى مثلثين متشابهين. وتتعدى تطبيقات التشابه الجانب النظري لتشمل قياسات واقعية دقيقة، مثل حساب ارتفاعات البنايات وأعمدة الإنارة باستخدام الظلال والمثلثات القائمة، مما يجعل هذا المفهوم أداة رياضية فعالة لربط القياسات بالواقع المادي الملموس.

التعريف

يعني التشابه علاقة بين شكلين بحيث يكون أحدهما صورة مكبَّرة أو مصغرة من الآخر، مع الحفاظ على النسب نفسها بين أطوال الأضلاع المتناظرة وتساوي الزوايا المتناظرة. وتشابُه المضلعات مفهوم في الهندسة يشير إلى أن مضلعين، لهما العدد نفسه من الأضلاع، يكونان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وكانت أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة {{التناسب: تساوي نسبتين، أي أن هناك أربع كميات تكون على علاقة متكافئة. يُكتب التناسب على الصورة: \(a:b=c:d\) ، إذ يُسمى \(a\) و \(d\) طَرَفَي التناسب، و \(b\) و \(c\) وَسَطَيه.}}. وبصيغة أخرى، يمكن الحصول على أحد المضلعين من الآخر من خلال تكبير أحدهما بجميع أضلاعه بنسبة ثابتة مع الحفاظ على قياسات الزوايا أو تصغيره. ما يعني أن المضلعات المتشابهة (Similar polygons) هي مضلعات تتشابه في الشكل، ولكنها قد تختلف في ​​ الحجم {{الحجم: (Volume) هو مقياس كمي يُستخدم لتحديد مقدار الحيز ثلاثي الأبعاد الذي يشغله جسم مادي أو منطقة في الفراغ.}}، أي أطوال الأضلاع، أي أنها تشترك فقط في قياسات الزوايا المتناظرة بينما تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة[1].

يمكن استخدام التشابه في الكثير من المواقف الحياتية بشكل عام، وفي الرياضيات بشكل خاص، إذ يمكن استخدام خواص المضلعات المتشابهة لتكوين المعادلات الجبرية {{المعادلة الجبرية: (Algebraic Equation) هي تساوي بين تعبيرين جبريين، يتكوّنان من عمليات جبرية مثل الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، والرفع إلى قوة، واستخراج الجذر أحيانًا.}} لحساب أطوال الأضلاع المجهولة وحلها، إضافة إلى أنه يمكن استخدام التشابه لإيجاد قياسات الزوايا {{قياس الزاوية: (Angle Measurement) هو الطريقة التي يُحدد بها مقدار الدوران المطلوب لتحريك أحد ضلعي الزاوية حول الرأس ليطابق الضلع الآخر.}} المجهولة أيضًا، كما يستخدم التشابه في التطبيقات الهندسية، إذ يمكن استخدام تشابه المضلعات في تصميم الأشكال الهندسية المختلفة وبنائها، ويستخدم أيضًا في معرفة أبعاد قطعة أرض مرسومة إذا عُلِم معامل التشابه (مقياس الرسم).

تشابه المضلعات

يُعدّ المضلع شكلًا مغلقًا {{الشكل المغلق: (Closed shape) هو شكل هندسي يتكون من خط أو منحنى يبدأ وينتهي عند النقطة نفسها، ما يجعل المسار محصورًا ولا يترك فراغًا مفتوحًا عند طرفيه.}} ثنائي الأبعاد مكونًا على الأقل من ثلاث قطع مستقيمة غير متقاطعة، تتلاقى كل اثنتين منهما في نقطة واحدة تسمى رأس المضلع أو زاويته، وعدد أضلاعه يساوي عدد زواياه، ويُسمى المضلع بعدد أضلاعه (أو رؤوسه)، فمثلًا المضلع الذي يتكون من ثلاثة أضلاع يُسمى مثلثًا، أما الذي يتكون من أربعة أضلاع فيسمى رباعيًّا، وهكذا[2].

إذا كانت الأشكال المتطابقة {{الأشكال المتطابقة: (Congruent shapes) هي أشكال هندسية لها الشكل والأبعاد نفسها تمامًا، أي إن جميع أطوال أضلاعها متساوية، وزواياها متطابقة. وعند نقل أحدها أو تدويره أو قلبه، يمكن مطابقته تمامًا مع الشكل الآخر من دون أي اختلاف في الأبعاد أو الزوايا.}} لها الشكل نفسه والحجم نفسه، فإن الأشكال المتشابهة لها الشكل نفسه ولكنها تختلف في الحجم، ويرتبط الشكل ارتباطًا وثيقًا بمفهوم التناسب، وهذا ما لاحظه الحرفيون المصريون القدماء منذ فترة طويلة؛ فيقال إن الأضلاع ذات الأطوال \(a \) ، \(b \) ، \(c \) ، \( d \) متناسبة إذا كان \(a:b=c:d\) ، إذ إن النقطتين فوق بعضهما (:) في الرياضيات تُستخدم عادةً لتمثيل النسبة {{النسبة: (Ratio) هي علاقة مقارنة بين كميتين من النوع نفسه، تعبر عن مقدار إحداهما بالنسبة إلى الأخرى. تُكتب عادةً في صورة \(a:b\) أو على شكل كسر \(\frac{a}{b}\) ، بحيث يكون \(a\) و \(b\) عددين حقيقيين (غالبًا أعداد صحيحة). وتُقرأ " \(a\) إلى \(b\) ".}} بين كميتين، والنسبة تعبر عن العلاقة الكمية بين قيمتين، وتُقرأ وفق ما يأتي: "نسبة كذا إلى كذا"[3].

يتشابه مضلعان لهما العدد نفسه من الأضلاع إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة، ويرمز للتشابه بين الأشكال الهندسية بالرمز "~"[4]. ويُقصد بتطابق الزوايا المتناظرة أن لها القياس نفسه، ويُقصد بتناسب الأضلاع أن النسبة بين كل ضلعين متناظرين ثابتة لكل الأضلاع.

فمثلًا، الرمز \(m\angle A\) في الرياضيات والهندسة يُستخدم للإشارة إلى "قياس الزاوية" \(A\) .

• أما الحرف \(m\) هنا فيعني "measure" (قياس).
• \(\angle A\) يعني الزاوية \(A\) .

إذن \(m\angle A\) يعني قياس الزاوية \(A\) بوحدة معينة، مثل الدرجات {{الدرجات: هي وحدة قياس الزاوية (Degree Measurement of Angles) وهي من المفاهيم الأساسية في علم الهندسة، وتُستخدم لتحديد مقدار الدوران بين ضلعين يشتركان في نقطة بداية تُعرف برأس الزاوية. ويُقاس هذا الدوران بوحدات عدة، من أبرزها: الدرجة (Degree)، وهي أشيع الوحدات في التطبيقات التعليمية واليومية.}} أو الراديان {{الراديان: (Radian) هو وحدة قياس معتمدة للزوايا في الرياضيات والفيزياء، ويُستخدم على نطاق واسع في التحليل الرياضي وحساب المثلثات والتفاضل والتكامل. يتميز هذا النظام بتوافقه الطبيعي مع النظام العشري والتحليل الدوراني.}}، ويُستخدم عادةً في حساب قياسات الزوايا في الأشكال الهندسية.​

ملاحظات تخص تشابه المضلعات (Similarity of polygons)[5]:

1. كل مضلع مشابه لنفسه بمعامل تشابه 1.
2. المضلعان المتطابقان متشابهان.
3. كل المربعات متشابهة؛ وذلك لأن جميع زوايا المربع قائمة، وأطوال أضلاعه متساوية.
4. المضلعات المنتظمة {{المضلع المنتظم: (Regular Polygon) هو شكل هندسي مغلق يتكون من عدد من الأضلاع المتساوية في الطول، وتكون زواياه الداخلية متساوية في القياس. وبعبارة أخرى المضلع المنتظم هو مضلع جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه متطابقة.}} التي لها العدد نفسه من الأضلاع جميعها متشابهة.
5. إذا كان لدينا ثلاثة مضلعات، وكان المضلع الأول يشبه المضلع الثاني، وكان المضلع الثاني يشبه المضلع الثالث، فإن المضلع الأول يشبه المضلع الثالث.
   
6. جميع الدوائر متشابهة، على الرغم من أنها لا تصنف مضلعات، إذ إنه يمكن الحصول على أي دائرة من دائرة أخرى بتصغير نصف قطرها أو تكبيره.

مثال على ذلك: حتى يكون الشكلان \(ABCD \) ، \(A'B'C'D'\) متشابهين (الشكل 1)، يجب أن يكون

1. \(m\angle A^{'}=m\angle A, m\angle B^{'}=m\angle B,\) \(m\angle C^{'}=m\angle C,\) \(m\angle D^{'}=m\angle D\)
2. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=s\)

تُسمى النسبة الثابتة \(s\) معامل تشابه المضلع \(ABCD\) إلى المضلع \(A'B'C'D'\) ، وتُسمى النسبة الثابتة \(\frac{1}{s}\) معامل تشابه المضلع \(A'B'C'D'\) إلى المضلع \(ABCD\) .

[الشكل 1] - مضلعان متشابهان: زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​مثال: ليكن الشكل \(ABCDE\) والشكل \(PQRST\) متشابهين (الشكل 2). إذا علمت أن \(PT=8\) ، \(TS=10\) ، \(ED=6\) ، وقياس الزاوية \(\angle PQR=120^\circ\) ، فأوجد ما يأتي:

1. طول الضلع \(AE\) .
   
2. قياس الزاوية \(\angle ABC\) .
3. معامل تشابه المضلع \(ABCDE\) إلى الشكل \(PQRST\) .
   

[الشكل 2] - مضلعان متشابهان ( \(ABCDE\) و \(PQRST\) )

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​الحل:

أ. بما أن الشكلين متشابهان، فإن الزوايا المتناظرة متطابقة، أي متساوية في القياس، ما يعني أن

\[\angle ABC=\angle PQR=120^\circ\]

ب. بما أن الشكلين متشابهان، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة، ما يعني أن

\[\frac{PT}{AE}=\frac{TS}{ED}\]

أي أن

\[\frac{8}{AE}=\frac{10}{6}\]

وبحل التناسب يكون الناتج \(AE=4.8\) .

ت. معامل تشابه المضلع \(ABCDE\) إلى الشكل \(PQRST\) ، هو النسبة (الثابتة) بين أطوال الأضلاع، ما يعني أن معامل التشابه = \(\frac{6}{10}=\frac{ED}{TS} \) .

ملاحظة: إذا كان معامل التشابه \(s\) أكبر من 1، فالشكل الأول تكبير للشكل الثاني، وإذا كان معامل الشبه أقل من 1، فإن الشكل الأول تصغير للشكل الثاني[6].

مثال: مستطيلان متشابهان، بعدا الأول \(8 cm\) ، \(،12 cm\) ومحيط الثاني \(200 cm\) ، إذا أردنا إيجاد بعدي المستطيل الثاني ومساحته.

الحل: نفرض أن طول المستطيل الثاني \(x\) وعرضه \(y\) .

ومن المعطيات فإنه حسب قانون المحيط للمستطيل نستنتج أن

\[2x+2y=200\]

ما يعني أن

\[y=100-x\]

وبما أن المستطيلين متشابهان فإن

\[\frac{x}{12}=\frac{y}{8}\]

نعوض مكان قيمة \(y\) بالقيمة \(100-x\) نحصل على

\[\frac{x}{12}=\frac{100-x}{8}\]

وبحل المعادلة يكون الناتج طول المستطيل الثاني هو \(x=60 cm\) .

إذن

عرض المستطيل الثاني هو \(y=40 cm\) ، ومساحته هي \(xy=2400 cm^{2}\) .

مثال: في مخطط للطابق الأرضي لأحد المنازل (الشكل 3) بمقياس رسم \(1:120\) ، إذا أردنا إيجاد مساحة غرفة الاستقبال:

[الشكل 3] - مخطط للطابق الأرضي لأحد المنازل بمقياس رسم \(1:120\)

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​الحل: طول غرفة الاستقبال في الرسم هو \(6 cm\) ، وعرضها هو \(4.5 cm\) .

إذن:

الطول الحقيقي هو \(6\times 120=720 cm=7.2 m\) 

والعرض الحقيقي هو \(4.5\times 120=540 cm=5.4 m\) 

ما يعني أن مساحة غرفة الاستقبال هي \(38.88\) مترًا

\[A=7.2\times 5.4=38.88 m^{2}\]

تشابه المثلثات

المثلث هو مضلع ثلاثي الأضلاع؛ إذ يتكون من ثلاث قطع مستقيمة، تُسمى أضلاعه، وتتقاطع نقاط نهايتها عند نقاط تعرف باسم الرؤوس. تنص النظرية الأساسية للتشابه على أن القطعة المستقيمة تقسم ضلعي المثلث إلى أجزاء متناسبة إذا وفقط إذا كانت القطعة موازية للضلع الثالث للمثلث، ويمكن إعادة صياغة نظرية التشابه باعتبارها نظرية التشابه (زاوية-زاوية-زاوية) وفق ما يأتي: لأي مثلثين تكون الزوايا متناظرة متطابقة إذا وفقط إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متناسبة. يرتبط المثلثان المتشابهان بمعامل التشابه \(s\) ، إذ إنه إذا كانت أطوال أضلاع المثلث الأول \(\alpha ,\beta ,\gamma \) ، فإن أطوال أضلاع المثلث الثاني هي \(s\alpha ,s\beta ,s\gamma \) [7].

إضافة إلى الاستخدام الواسع النطاق لمعاملات التشابه في خطط البناء والخرائط الجغرافية؛ إذ يُعدّ التشابه أمرًا أساسيًّا في علم المثلثات.

حالات تشابه المثلثات

من خلال دراسة تشابه المثلثات (Similarity of triangles) تبين أنها تنطوي على العديد من النتائج المبنية على خصائص المثلث، إذ يمكن الحكم على تشابه مثلثين دون النظر إلى جميع الأضلاع والزوايا، بل من خلال جزء منها، وأبرز هذه الحالات:

1. تطابق الزوايا: إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر فإن المثلثين متشابهان،

أما عن سبب عدم ذكر الزاوية الثالثة فلأن مجموع زوايا المثلث \(،180^\circ\) ما يعني أن تطابق زاويتين في المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني، يعني تطابق الثالثة في كليهما.

فمثلًا، المثلثان \(∆DEF, ∆ABC\) متشابهان (الشكل 4)، وذلك لأن

\(\angle ABC=\angle DEF=87^\circ\) 

\(\angle BCA=\angle DFE=38^\circ\) 

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​3. ضلعان وزاوية محصورة بينهما: إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي ضلعين في مثلث آخر، وكانت الزاوية المحصورة بين الضلعين في المثلث الأول تتطابق مع تلك المحصورة بين الضلعين في المثلث الآخر فإن المثلثين متشابهان.

فمثلًا، المثلثان \(∆ABC, ∆A'B'C'\) متشابهان (الشكل 6)؛ وذلك لأن

\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{1}{2}\]

وأيضًا \(\angle ABC=\angle A^{'}B^{'}C^{'}=66^\circ\) 

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​تشابه المثلثات القائمة

هناك بعض الحالات التي يمكن أن يتناسب فيها ضلعان في مثلث مع ضلعين في مثلث آخر، ويكون قياس زاوية فيه، غير محصورة بين الضلعين المتناسبين، مساويًا لقياس زاوية أخرى في المثلث الآخر، وهي الحالة المعروفة بـ(ضلع-ضلع-زاوية)، أو (زاوية-ضلع-ضلع)، والتي لا تثبت تشابه المثلثين بشكل عام، ولكنها تثبت تشابه المثلثين في بعض الحالات الخاصة، مثل المثلثات قائمة الزاوية[8].

1. التشابه بالزاوية الحادة: إذا تطابقت زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية مع زاوية حادة في مثلث آخر قائم الزاوية فإن المثلثين متشابهان، وذلك بالاعتماد على حالة التشابه: زاوية-زاوية (الشكل 7).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

2. التشابه بضلعي القائمة: إذا كانت أطوال ضلعي الزاوية القائمة متناسبة لمثلثين قائمي الزاوية، فإن المثلثين متشابهان، وذلك بالاعتماد على حالة التشابه: ضلع-زاوية-ضلع (الشكل 8).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​3. ​التشابه بوتر وضلع: إذا كانت النسبة بين أطوال الوترين تساوي النسبة بين أطوال إحدى الساقين في مثلثين قائمي الزاوية، فإن المثلثين متشابهان، وذلك أيضًا بالاعتماد على حالة التشابه: ضلع-زاوية-ضلع (الشكل 9).​​

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​​نظريات في تشابه المثلثات

1. في أي مثلث، تكون القطعة المستقيمة التي تصل نقطتين على ضلعين في المثلث وتوازي الضلع الثالث تقسم هذين الضلعين إلى أجزاء متناسبة، ويكون المثلث الناتج مشابهًا للمثلث الأصلي (الشكل 10)[9].

2. القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث، ويكون المثلث الناتج مشابهًا للمثلث الأصلي (الشكل 11).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

3. العمود النازل من القائمة على الوتر في المثلث قائم الزاوية يقسم المثلث القائم إلى مثلثين متشابهين، وكل منهما يشبه المثلث الأصلي (الشكل 12)[10].
   

4. إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين مساحتي المثلثين تساوي مربع النسبة بين الأضلاع (معامل التشابه)[11].
   

مثال تطبيقي على تشابه المثلثات: يقف رجل طوله \(1.85 m\) على بعد من عمود إنارة، إذا كان طول ظل الرجل على الأرض يساوي \(2.3 m\) ، فإن طول عمود الإنارة لأقرب جزء من مئة (الشكل 13).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

الحل: على اعتبار أن الشخص يقف عموديًّا على سطح الأرض، فيمكن تمثيل المسألة باستخدام المثلثات (الشكل 14).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​من الواضح أن المثلثين \(∆AEC\) ، \(∆BDC\) مثلثان قائمان، وأيضًا الزاوية \(\angle ACE=\angle BCD\) هي زاوية مشتركة. وهذا يعني أن المثلث \(∆AEC\) يشبه المثلث \(∆BDC\) ، أي حالة التشابه بزاوية حادة للمثلثات القائمة، ما يعني أن الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. إذن فإن

\(\frac{AE}{BD}=\frac{EC}{DC}\) 

أي إن

\(\frac{AE}{1.85}=\frac{5.9}{2.3}\) ​

وبحل التناسب يكون طول عمود الإنارة هو \(AE\approx 4.75 m\) .

المراجع

Kiselev, A. P. Kiselev’s Geometry: Book I: Planimetry. Alexander Givental (trans.). El Cerrito, CA: Sumizdat, 2006.

Lang, Serge & Gene Murrow. Geometry: A High School Course. 2^nd ed. New York: Springer, 1983.

[1] A. P. Kiselev, Kiselev’s Geometry: Book I: Planimetry, Alexander Givental (trans.) (El Cerrito, CA: Sumizdat, 2006), pp. 134-138.

[2] Ibid.

[3] Ibid,. p. 126.

[4] Ibid., pp. 127-138.

[5] Kiselev, chapters 2-3.

[6] Ibid.

[7] Serge Lang & Gene Murrow, Geometry: A High School Course, 2nd ed. (New York: Springer, 1983), pp. 245-261.

[8] Kiselev, pp. 127-134; Lang & Murrow, op. cit.

[9] Ibid.

[10] Ibid.

[11] Ibid.​