المجموعة

الموجز

المجموعة (Set) أو الفئة هي عدد من العناصر التي تُجمع معًا بناءً على خاصية معينة، أو خصائص مشتركة. يمكن أن تكون هذه العناصر أرقامًا، أو أشخاصًا، أو أشياء، أو حتى مفاهيم. تسمى العناصر ضمن مجموعة معينة أعضاءً. تعتبر المجموعة إحدى البنى الأساسية في الرياضيات، وتستخدم في العديد من الفروع الرياضية، وخصوصًا في نظرية المجموعات. ومن خلال معرفة المفاهيم الأساسية والعمليات على المجموعات، مثل الاتحاد، والتقاطع، والفَرق، يمكن تبسيط العديد من المشكلات الرياضية وتحليلها بشكل أفضل. إضافة إلى ذلك، فإن للمفاهيم مثل المجموعة الشاملة ومتممة المجموعة ومجموعة القوى (Power set) دورًا حيويًّا في تقديم رؤى متقدمة حول كيفية التعامل مع المجموعات في الرياضيات.

المفاهيم الأساسية للمجموعات

المجموعة هي تجمّع (Collection) محدد من العناصر المتمايزة، تسمى الأشياء الموجودة في مجموعة معينة عناصر (Elements) أو أعضاء (Members)[1].

تُستخدم الرموز في المجموعات للتعبير عن العلاقة بين العناصر والمجموعات بطريقة دقيقة ومفهومة على الشكل الآتي:

أ. يرمز للمجموعة بأحد الأحرف الكبيرة \(A,B, C, ⋯\).

ب. يرمز للعناصر بأحد الأحرف الصغيرة \(a,b,c, ⋯\).

ج. نعبّر عن كون \(x\) عنصرًا في المجموعة \(A\) : \(x\in A\) (العنصر \(x\) ينتمي إلى المجموعة \(A\)).

د. نعبّر عن كون \(x\) لا يمثّل عنصرًا في المجموعة \(A\): \(x\notin A\) (العنصر \(x\) لا ينتمي إلى المجموعة \(A\)).

طرق كتابة المجموعات

يمكن تعريف المجموعة باستخدام القوسين المعقوفين { }، ويُفصل بين العناصر داخل القوسين بفواصل. كما يمكن وصف (أو التعبير عن) المجموعات بطرق عدة، كل طريقة تهدف إلى عرض المجموعة بوضوح، وتعتمد على طبيعة العناصر في المجموعة[2]:

أ. الوصف بالكلمات: تُوصَف المجموعة بالكلمات بشكل واضح.

مثال: مجموعة أيام الأسبوع.

ب. كتابة العناصر جميعها: تُكتب جميع عناصر المجموعة بين قوسين معقوفين، مفصولة بفواصل.

مثال: \(}\)الأحد، الإثنين، الثلاثاء، الأربعاء، الخميس، الجمعة، السبت \({\)

ج. الكتابة الجزئية للعناصر: تُكتب بعض العناصر في المجموعة مع استخدام النقاط الثلاث للدلالة على وجود نمط مستمر.

مثال: يمكن كتابة مجموعة الأعداد الطبيعية \(\mathbb{N} ={1,2,3⋯}\).

د. ذِكر الصفة المميزة: تُحدد المجموعة بذكر خاصية أو صفة تميز عناصرها.

مثال: \(D=\left\{x:x\in N, x^{2}<20\right\}={1,2,3,4}\).

أنواع المجموعات

هناك عدة أنواع من المجموعات، كل منها له خصائصه واستخداماته المحددة. وهنا بعض الأنواع الرئيسة للمجموعات[3]:

أ. المجموعة الخالية (Empty set)

هي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر. يمكن التعبير عنها بـ: \({ }\) أو \(ϕ\)، إذ يمكن كتابة: \(ϕ={x:x\neq x}\).

ب. المجموعة المنتهية (Finite set)

تسمى المجموعة \(A\) مجموعة منتهية إذا كانت تحتوي على عدد محدد من العناصر. إذا كانت \(A\) مجموعة منتهية عدد عناصرها \(n\)، فنعبر عن ذلك بالرموز: \(\left|A\right|=n\). من الأمثلة على المجموعات المنتهية:

• إذا كان \(B={1,2,3,5,6,7,8,9}\)، فإن \(\left|B\right|=9\)
• إذا كان \(C={2,4,6,⋯,100}\)، فإن \(\left|C\right|=50\)
• إذا كان \(D={x:x\mathbb{∈N, } x^{2}<20}\)، فإن \(\left|D\right|=4\)
• المجموعة الخالية \(ϕ\) تعتبر مجموعة منتهية، وعليه فإن \(\left|ϕ\right|=0\)
• إذا كان المجموعة \(A\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة، الأكبر من \(50\) والأقل أو يساوي \(200\)، فإن \(\left|A\right|=149\).

ج. المجموعة غير المنتهية (Infinite set)

مجموعة تحتوي على عدد غير محدود من العناصر. ومثالُها مجموعة الأعداد الطبيعية \(\mathbb{N} ={1,2,3⋯}\).

د. المجموعة الجزئية (Subset)

لتكن \(A\) و \(B\) مجموعتين، و \(A\) مجموعة جزئية من المجموعة \(B\) ( \(A\) محتواة في \(B\) ). إذا كان كل عنصر في المجموعة \(A\) يمثّل عنصرًا في المجموعة \(B\)، وتكتب \(A\subseteq B\)، يعبّر عن ذلك بالرموز:

\[A\subseteq B⇔\left(\forall x\right)\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\]

يوضّح من خلال أشكال ڤِن (Venn diagram) أن المجموعة \(A\) مجموعة جزئية من المجموعة \(B\) (الشكل 1):

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

مثال: إذا كانت \(A={1,3,5}\)، \(B={1,2,3,⋯,20}\)، فإن \(A\subseteq B\).

مما سبق، يمكن إثبات أن \(A\subseteq B\) بطريقتين، وهما:

• البرهان المباشر {{البرهان المباشر: (Direct Proof) في الرياضيات، وخصوصًا في نظرية المجموعات، هو برهان يعتمد على الانطلاق من الفرضيات المعطاة واستخدام التعريفات والخواص المعروفة للوصول خطوة بخطوة إلى النتيجة المطلوبة، من دون الحاجة إلى افتراضات إضافية. ويُعد هذا الأسلوب من أبسط طرق الإثبات المنطقي.}}: إثبات أنه إذا كان \(x\in A\)، فإن \(x\in B\).
• المكافئة العكسية {{المكافئة العكسية: (Contrapositive Equivalence) هي علاقة منطقية بين عبارتين شرطيّتين، إذ تكون العبارة \(P\Rightarrow Q\) مكافئة تمامًا لعبارة النفي العكسي \(\sim Q\implies \sim P\). وهذه المكافئة تُستخدم كثيرًا في البراهين الرياضية لتبسيط الاستدلالات.}}: إثبات أنه إذا كان \(x\notin B\)، فإن \(x\notin A\).

من خصائص المجموعات الجزئية أن المجموعة الخالية \(ϕ\) تعتبر مجموعة جزئية من أي مجموعة، إضافة إلى أن كل مجموعة تعتبر مجموعة جزئية من نفسها، ويمكن أن نصيغ هذا من خلال النظرية الآتية:

نظرية: لتكن \(A\) مجموعة، فإن[4]:

• \(ϕ\subseteq A\)
• \(A\subseteq A\)

وفي السياق ذاته، تعتبر خاصية التعدّي في المجموعات الجزئية واحدة من أهم الخصائص الأساسية في نظرية المجموعات.

نظرية: خاصية التعدي (Transitive): لتكن \(A,B,C\) مجموعات بحيث أن \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq C\)، فإن \(A\subseteq C\)[5].

البرهان: ليكن \(x\in A\).

بما أن \(A\subseteq B\)، فإن \(x\in B\).

وبما أن \(B\subseteq C\)، فإن \(x\in C\).

إذن، يُستنتج أن \(A\subseteq C\).

هـ. المجموعات المتساوية (Equality of sets)

نلاحظ مما سبق أنه يمكن التعبير عن المجموعة بأكثر من طريقة: المجموعتان \(A\) و \(B\) متساويتان إذا كان لهما العناصر نفسها، أي أن \(A=B\) إذا وفقط إذا كان

\[x\in A⇔x\in B\]

لذا يمكن تعريف تساوي المجموعات كما يأتي:

لتكن \(A\) و \(B\) مجموعتين، فإن \(A=B\) إذا وفقط إذا كان \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq A\).

يتبيّن من خلال التعريف السابق أنه لإثبات تساوي المجموعتين \(A,B\)، يُثبت أن كل مجموعة منهما هي مجموعة جزئية من الأخرى؛ أي إثبات أن \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq A\).

مثال: إذا كانت \(A={1,2,3}\)، \(B={n:n\mathbb{∈N, } n^{2}<10}\)، فيُثبت أن \(A=B\).

البرهان: لإثبات أن \(A=B\)، يُثبت أن \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq A\) كما يأتي:

• \(A\subseteq B\) (البرهان بالحالات)

ليكن \(x\in A\).

إذا كان \(x=1\)، فإن \(x^{2}=1<10\)، إذن \(x\in B\).

إذا كان \(x=2\)، فإن \(x^{2}=4<10\)، إذن \(x\in B\).

إذا كان \(x=3\)، فإن \(x^{2}=9<10\)، إذن \(x\in B\).

لذا، يتبيّن أن \(A\subseteq B\).

• \(B\subseteq A\) (البرهان المباشر)

ليكن \(x\in B\)، فإن \(x\) عدد طبيعي مربعه أقل من 10. ومن هنا يتبين أن \(x\) سيمثّل أحد الأعداد 1، 2، 3، لذا فإن \(x\in A\). إذن، يمكن القول إن \(B\subseteq A\)، لذا فإن \(A=B\).

مثال: إذا كانت \(X={-1,1}\), \(Y={r\mathbb{∈R:} r^{2}=1}\)، يُثبت أن \(X=Y\).

البرهان: إن \(x\in X\) إذا وفقط إذا كانت قيم \(x\) هي \(1\)، \(-1\)، وإذا وفقط إذا كانت \(x\) عدد حقيقي وكان \(x^{2}=1\)، وإذا وفقط إذا كان \(x\in Y\).

الاتحاد والتقاطع والفرق

في نظرية المجموعات، هناك ثلاث عمليات رئيسة تستخدم لفهم العلاقات بين المجموعات: الاتحاد (Union)، التقاطع (Intersection)، والفرق (Difference)، وكل عملية منها لها تعريف خاص وخصائص محددة[6].

الاتحاد

الاتحاد هو عملية دمج مجموعتين معًا، لتكوين مجموعة جديدة تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي إلى أي من المجموعتين، أو كليهما، من دون تكرار العناصر المشتركة. يُرمز إلى الاتحاد بالرمز \(\cup \). يمكن التعبير عن اتحاد المجموعتين \(A\) و \(B\) كما يأتي:

\[A\cup B=\left\{x:x\in A or x\in B\right\}\]

يوضّح من خلال أشكال ڤِن الاتحاد بين المجموعتين \(A\) و \(B\) (الشكل 2):

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

التقاطع

الاتحاد هو عملية تكوين مجموعة جديدة تحتوي فقط على العناصر المشتركة بين مجموعتين. يُرمز إلى التقاطع بالرمز ∩. يمكن التعبير عن تقاطع المجموعتين \(A\) و \(B\) كما يأتي:

\[A\cap B=\left\{x:x\in A and x\in B\right\}\]

يوضَّح من خلال أشكال ڤِن التقاطع بين المجموعتين \(A\) و \(B\) (الشكل 3):

الفرق

الفرق هو عملية تكوين مجموعة جديدة تحتوي على العناصر التي تنتمي إلى مجموعة معينة، ولا تنتمي إلى مجموعة أخرى. يُرمز إلى الفرق بالرمز −. يمكن التعبير عن الفرق بين المجموعتين \(A\) و \(B\) كما يأتي:

\[A-B=\left\{x:x\in A و x\notin B\right\}\]

\[B-A=\left\{x:x\in B و x\notin A\right\}\]

يوضَّح من خلال أشكال ڤِن أن \(A-B\) والممثلة بالمنطقة المظللة الزرقاء، و \(B-A\) الممثلة بالمنطقة المظللة الخضراء (الشكل 4):

مثال: إذا كانت \(A={1,2,3,4}\)، \(B={3,4,5,6,7}\)، فإن:

\[A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}\]

\[A\cap B={3,4}\]

\[A-B={1,2}\]

\[B-A=\left\{5,6,7\right\}\]

خصائص الاتحاد والتقاطع

يمكن صياغة بعض خصائص الاتحاد والتقاطع للمجموعات في النظرية الآتية[7]:

لتكن \(B,A\) و \(C\) ثلاث مجموعات، فإن:

\(A\cup A=A\)، \(A\cap A=A\)

\(A\cap ϕ=ϕ\)، \(A\cup ϕ=A\)

\(A\cap B\subseteq A\)، \(A\cap B\subseteq B\)

\(A\subseteq A\cup B\)، \(B\subseteq A\cup B\)

\[A\cup B=\left(A-B\right)\cup \left(A\cap B\right)\cup (B-A)\]

\[A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup (A\cap C)\]

\[A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap (A\cup C)\]

المجموعة الشاملة ومتممة المجموعة

المجموعة الشاملة (Universal set)

يرمز للمجموعة الشاملة بالرمز U، هي المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر الممكنة في سياق معيّن، أو ضمن مجموعة من المجموعات. يمكن أن يختلف تعريف المجموعة الشاملة اعتمادًا على السياق الرياضي أو التطبيق المحدد[8].

مثال: في حالة مجموعات تحتوي على أعداد صحيحة، فستتمثل المجموعة الشاملة بمجموعة جميع الأعداد الصحيحة \(\mathbb{Z} \)، أما في حالة مجموعات تحتوي على أعداد حقيقية، فستتمثل المجموعة الشاملة بمجموعة جميع الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R} \).

المجموعة المتممة (Complement of a set)

لتكن \(U\) المجموعة الشاملة، ولتكن \(B\subseteq U\)، فإن متممة المجموعة \(B\) يرمز لها بالرمز \(B^{c}\) أو \(B\) ، وتُعرّف كما يأتي:

\[B^{c}=U-B\]

يوضَّح من خلال أشكال ڤِن أن متممة المجموعة \(B\)\(\left(B^{c}\right)\) والمتمثلة بالمنطقة المظللة الزرقاء (الشكل 5):

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

على سبيل المثال، إذا كانت \(B={1,2}\)، فإن متممة المجموعة \(B\) في حالة أن المجموعة الشاملة هي مجموعة الأعداد الطبيعية \(\mathbb{N} \) تكون هي المجموعة \(B^{c}={3,4,5,⋯}\)، بينما في حالة أن المجموعة الشاملة هي مجموعة الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R} \)، فإن متممة \(B\) هي المجموعة \(B^{c}=\mathbb{R} -\left\{1,2\right\}=\left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,2\right)\cup (2,\infty )\).

وهنا نظرية خصائص مجموعة المتممة التي تبيّن بعض خصائص المتممة للمجموعات:

لتكن \(U\) المجموعة الشاملة، ولتكن \(B,A\) مجموعتين جزئيتين من \(U\)، فإن[9]:

\[\left(A^{c}\right)^{c}=A\]

\[A\cup A^{c}=U\]

\[A\cap A^{c}=ϕ\]

\[A-B=A\cap B^{c}\]

\(A\subseteq B\) إذا وفقط إذا كان \(B^{c}\subseteq A^{c}\)

\[\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\]

\[\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}\]

\(A\cap B=ϕ\) إذا وفقط إذا كان \(A\subseteq B^{c}\)

مجموعة القوى

لمجموعة القوى دورٌ مهم في دراسة نظرية المجموعات، والفضاءات الطوبولوجية، ونظرية القياس والتكامل.لتكن \(A\) مجموعة، فإن مجموعة القوى للمجموعة \(A\) هي مجموعة كل المجموعات الجزئية من المجموعة \(A\)، ويرمز لها بالرمز \(P(A)\). أي أن[10]:

\[P\left(A\right)=\left\{ B:B\subseteq A \right\}\]

مثال: إذا كانت \(A={1,2,3}\)، فإن:

\[P\left(A\right)={ϕ,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},\left\{1,2,3\right\}}\]

ومن الجدير بالذكر هنا أنه يمكن معرفة عدد عناصر مجموعة القوى لمجموعة ما من خلال عدد العناصر لهذه المجموعة، ويمكن تبيين ذلك من خلال نظرية عدد عناصر مجموعة القوى.

لتكن \(A\) مجموعة عدد عناصرها \(n\)، فإن عدد عناصر مجموعة القوى للمجموعة \(A\) يساوي \(2^{n}\).

البرهان: إذا كان \(n=0\)، أي أن \(A=ϕ\)، فإن \(P\left(ϕ\right)={ϕ}\)، إذن: \(\left|P\left(ϕ\right)\right|=2^{0}=1\)

بفرض أن \(n\geq 1\)، فإن المجموعات الجزئية من المجموعة \(A\) هي:

• المجموعة الخالية \(ϕ\).
• المجموعات التي تحتوي عنصرًا واحدًا، المجموعات التي تحتوي عنصرين، ... وهكذا.
• المجموعات التي تحتوي \(n-1\) عنصرًا.
• المجموعة \(A\) نفسها.

وحسب مبدأ العد، فإن:

• عدد المجموعات التي لا تحتوي أي عنصر هو 1.

• عدد المجموعات التي تحتوي عنصرًا واحدًا هو \(\left(\frac{n}{1}\right)\).
• عدد المجموعات التي تحتوي عنصرين هو \(\left(\frac{n}{2}\right)\).
• \(⋮\)
• عدد المجموعات التي تحتوي \(n-1\) عنصرًا هو \(\left(\frac{n}{n-1}\right)\).
• عدد المجموعات التي تحتوي \(n\) عنصرًا هو 1.

إذن، وبالاعتماد على نظرية ذات الحدين، فإن:

المراجع

العربية

كتكت، محمود محمد. نظرية المجموعات. عمّان: دار الفرقان للنشر والتوزيع، 1999.

الأجنبية

Jebril, Iqbal H., Hemen Dutta & Ilwoo Cho. Concise Introduction to Logic and Set Theory. Boca Raton, FL: CRC Press, 2022.

Johnston, William & Alex M. McAllister. A Transition to Advanced Mathematics: A Survey Course. Oxford: Oxford University Press, 2009.

[1] محمود محمد كتكت، نظرية المجموعات (عمّان: دار الفرقان للنشر والتوزيع، 1999).

[2] Iqbal H. Jebril, Hemen Dutta & Ilwoo Cho, Concise Introduction to Logic and Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2022(.

[3] William Johnston & Alex M. McAllister, A Transition to Advanced Mathematics: A Survey Course (Oxford: Oxford University Press, 2009).

[4] كتكت، مرجع سابق.

[5] Jebril, Dutta & Cho, op .cit.

[6] كتكت، مرجع سابق.

[7] Jebril, Dutta & Cho, op. cit.

[8] Johnston & McAllister, op. cit.

[9] كتكت، مرجع سابق.

[10] Jebril, Dutta & Cho, op. cit.