مبرهنة رول

الموجز

مبرهنة رول (Rolle’s Theorem) من النظريات الأساسية في التفاضل والتحليل الحقيقي، وهي ترتكز بشكل أساسي على مفهومَي الاشتقاق والاتّصال للدوالّ. تتعامل مبرهنة رول مع شكلٍ خاصٍّ من الدوال المعرّفة إلى فترة مغلقة تحت شروط معينة. وعند تحقُّق هذه الشروط، فإن المبرهنة تضمن وجود قيمة داخلية للفترة، بحيث تكون عندها قيمة المشتقّة تساوي صفرًا. تمتاز مبرهنة رول بسلاسة طرح شروطها، وضمانها لنتيجة مهمّة تُبنى عليها كثيرٌ من المبرهنات والمبادئ الأخرى، التي أسهمت بدَوْرها في تطوير علم التفاضل والتحليل بشكل كبير. يشار إلى أن مبرهنة رول تُعَدّ حالة خاصة من مبرهنة القيمة المتوسّطة.

​التعريف

مبرهنة رول هي إحدى النظريات المهمّة في التفاضل والتحليل الحقيقي والعددي. تُنسَب إلى مؤسِّسها عالِم الرياضيات الفرنسي ميشيل رول (Michel Rolle، 1652-1719)، الذي عُرف بإسهاماته المُميّزة في طرق الحساب العددي، وانضمَّ إلى الأكاديمية الفرنسية للعلوم عام 1685، رغم أنه لم يتلقَّ تعليمًا جامعيًا مُنظَّمًا في الرياضيات[1].

إنَّ الصيغة المُتداوَلة حاليًا لمبرهنة رول في كتب التحليل الحقيقي لا تُمثِّل النصَّ التاريخيَّ الأصليَّ الذي أورده رول، بل هي صياغةٌ حديثةٌ تطوّرت مع تطوّر مفاهيم الدالة والاتصال والاشتقاق في القرن التاسع عشر. لقد جاءت المبرهنة في أصلها مرتبطةً بكثيرات الحدود وجذورها، ثم أُعيدت صياغتها وتعميمها في إطارٍ أكثر دقّةً ومنهجية، بعد ترسيخ الأُسس النظرية للتحليل الرياضي. مِن أشهرِ الصِّيَغ الواردة في الكتب الحديثة، أن بعض المؤلَّفات تشترط أن تكون قيمتا الدالة عند طرفَي الفترة المغلقة مساويتَيْن للصفر، بينما تكتفي مؤلَّفات أخرى بشرط تساوي القيمتَيْن فقط، من دون اشتراط أن تكونا صفرًا، أي إنَّ تساوي صورِ طرفَي الفترة هو الشرطُ الجوهريّ، أما مساواتهما للصفر فتُمثّل حالة خاصة من الصيغة العامّة للمبرهنة.

تُشتهَر مبرهنة رول بكونها من اللبنات الأساسية في مجال التحليل الرياضي، إذ تُشير إلى وجود قيمة مُعيّنة واحدة على الأقل في مجال الدالة تكون قيمة المشتقّة عندها صفرًا، وذلك تحت شرطَيْن أساسيَّيْن: أحدهما أن تكون الدالة معرّفة ومتّصلة على فترة مغلقة قابلة للاشتقاق داخلها؛ والآخر أن تكون صورتا طرفَي الفترة مُساويتَيْن للصفر. تُصاغ المبرهنة رياضيًا كما يأتي[2]:

1. التعريف الأول:

إذا كانت \(f\) دالة متصلة على الفترة المغلقة \(\left[a,b\right]\) وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة \(\left(a,b\right)\)، وكانت \(f\left(a\right)=f\left(b\right)=0\) ، فإنه توجد على الأقل قيمة واحدة \(c\) تنتمي إلى الفترة المفتوحة \(\left(a,b\right)\)، بحيث يكون \(f^{'}\left(c\right)=0\) .

يشار إلى أن بعض الكتب تذكر شرط مبرهنة رول على الصورة: \(f\left(a\right)=f\left(b\right)=0\) ، بينما توردها كتب أخرى بالصيغة العامّة \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\)، من دون اشتراط أن تكون القيمة صفرًا، إذ إنَّ تساوي القيمتَيْن عند طرفَي الفترة هو الشرط الأساس، أما مساواتهما للصفر فتُمثّل حالة خاصة من هذا الشرط العامّ. ومن ثم، فإن نَصَّ المبرهنة يصبح كما يأتي:

2. التعريف الثاني[3]:

إذا كانت \(f\) دالة متصلة على الفترة المغلقة \(\left[a,b\right]\) وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة \(\left(a,b\right)\)، وكانت \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\) ، فإنه توجد على الأقل قيمة واحدة \(c\) تنتمي إلى الفترة المفتوحة \(\left(a,b\right)\)، بحيث يكون \(f^{'}\left(c\right)=0\) .

التفسير الهندسي

في التعريف الأوّل، قيمةُ المشتقّةِ عند نقطة مُعيّنة هي ميلُ مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة، أي إنَّ مبرهنة رول تؤكّد على وجود قيمة داخلية يكون عندها مماس منحنى الدالة ميله صفرًا، أي يكون موازيًا للمحور الأفقي. وثمة تفسيرٌ هندسيٌّ للدالة \(f\) التي تُحقّق شروط مبرهنة رول، التي ضمنت وجود \(c\) داخل الفترة المفتوحة \(\left(a,b\right)\)، بحيث يكون عندها مماس منحنى الدالة أفقيًا (الشكل 1)[4].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​بالفلسفة الهندسية نفسها لمبرهنة رول، يمكن تفسير المعنى الهندسي للنتيجة المترتّبة بأنه يُعبّر عن وجود قيمة واحدة على الأقل في مجال الدالة المُحقّقة لشروط النتيجة، بحيث يكون عندها مماس منحنى الدالة أفقيًا (الشكل 2)[5].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​

​لبرهان مبرهنة رول في التعريف الأول، يُشار إلى التمهيدية الآتية التي تَنُصّ على أن الدالة التي تمتلك مشتقّة ذات قيمة موجبة عند عدد مُعيّنٍ داخل مجالها، تمتلك جوارًا من اليمين لهذا العدد، بحيث إن صور الدالّة جميعها للقِيَم الموجودة داخل هذا الجوار هي أكبر من صورة هذا العدد في الدالّة. أما بالنسبة للدالّة التي تمتلك مشتقة ذات قيمة سالبة عند عدد مُعيَّن داخل مجالها، فهي تمتلك جوارًا من اليسار لهذا العدد، بحيث إن صور الدالة جميعها للقِيَم داخل هذا الجوار هي أيضًا أكبر من صورة هذا العدد في الدالة. تُصاغ التمهيدية رياضيًا كما يأتي[6]:

لتكن \(f:I\mathbb{→R} \) دالة، بحيث إنها قابلة للاشتقاق عند عدد مُعيّن \(c\) داخل المجال \(I\)[7]\(:\)

• إذا كان \(f^{'}\left(c\right)>0\) ، فإنه يوجد عدد \(\delta >0\) ، بحيث إن \(f\left(x\right)>f(c)\) لجميع قِيَم \(x\)، حيث \(c .
• إذا كان \(f^{'}\left(c\right)<0\) ، فإنه يوجد عدد \(\delta >0\) ، بحيث إن \(f\left(x\right)>f(c)\) لجميع قِيَم \(x\)، حيث \(c-\delta .

لبرهان مبرهنة رول، يجب دراسة جميع الحالات التي من الممكن أن تتّخذها الدالّة \(f\) \(\).

الحالة الأولى: أن تكون الدالة صفرية، أي إن \(f\left(x\right)=0\). عندئذٍ، فإن المبرهنة متحقّقة بشكل بدهي، أي يوجد عدد \(c\) داخل الفترة المفتوحة \(\left(a,b\right)\)، بحيث يكون عندها \(f^{'}\left(c\right)=0\). في حقيقة الأمر، جميع الأعداد داخل الفترة المفتوحة تُحقّق ذلك، لأن \(f^{'}\left(x\right)=0\) لجميع قِيَم \(x\) في الفترة المفتوحة \(\left(a,b\right)\).

الحالة الثانية: أن تكون للدالّة بعض القِيَم الموجبة.

بما أن الدالة متّصلة على الفترة المغلقة \([a,b]\)، فإنه حسب مبرهنة القِيَم العُظمى والصُّغرى، تكون للدالة قيمة عُظمى عند نقطة مُعيَّنة \(c\) داخل هذه الفترة، وهذه القيمة العُظمى بالتأكيد موجبة. بما أن صورة كلٍّ من \(a,b\) صفرًا، فإن \(c\) لا تُساوي أيًّا منهما، وهذا يعني أن \(c\in (a,b)\)، ومن ثم فإن \(f'(c)\) موجودة.

إذا كانت \(f'(c)\) موجبة أو سالبة، فهذا يضمن، باستخدام التمهيدية السابقة، وجودَ نقاط أخرى صورتها أكبر من صورة \(c\)، وهذا يتناقض مع كون \(f(c)\) قيمة عُظمى محلّية، ومن ثم لا بد أن تكون \(f^{'}\left(c\right)=0\).

بالنسبة للحالة الثالثة، وهي أن تكون للدالة بعض القِيَم السالبة، فبرهانها برهان الحالة الثانية نفسه.

لبرهان مبرهنة رول في التعريف الثاني، يمكن استخدام مبرهنة القيمة المتوسّطة (Mean Value Theorem)، التي تَنُصّ على أن الدالة \(\phi \) إذا كانت متّصلة على الفترة المغلقة \([a,b]\)، وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة \((a,b)\)، فإن هذه الشروط تضمن وجود قيمة واحدة \(c\) على الأقل في الفترة \((a,b)\)، حيث إن[9]:

\[\phi^{'}\left(c\right)=\frac{\phi \left(b\right)-\phi \left(a\right)}{b-a},\]

وبما أن الدالة \(f\) في التعريف الثاني تُحقّق شروط مبرهنة القيمة المتوسطة، فإنه توجد قيمة \(c\) في الفترة \((a,b)\)، بحيث[10]:

\[f^{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\]

ولأن الصور متساوية:

\[f\left(a\right)=f\left(b\right)\implies f\left(b\right)-f\left(a\right)=0,\]

فإن:

\[f^{'}\left(c\right)=0,\]

وهو المطلوب.

أمثلة

لتحديد القيمة \(c\) المقصودة في مبرهنة رول، يمكن حَلّ المعادلة التي تُحقّقها \(c\)، ومن ذلك تُوجَد هذه القيمة، فمثلًا[11]:

الدالة \(f\left(x\right)=2x^{2}-3x+1\) المعرّفة على الفترة\(\left[\frac{1}{2},1\right]\) تُحقّق شروط مبرهنة رول، لأنها متصلة على الفترة \(\left[\frac{1}{2},1\right]\)، وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة \(\left(\frac{1}{2},1\right)\)، وأيضًا \(f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(1\right)=0\). ومن ثم، فإن المبرهنة تضمن وجود عدد \(c\)في الفترة المفتوحة \(\left(\frac{1}{2},1\right)\)، بحيث تُحقّق \(f^{'}\left(c\right)=0\). لإيجاد هذه القيمة، يتعيّن بدايةً إيجاد قيمة المشتقّة عند العدد \(c\)، ثم حلّ المعادلة الناتجة بعد مساواتها بالصفر كما يأتي:

\[f^{'}\left(x\right)=4x-3 \Rightarrow f^{'}\left(c\right)=4c-3, \]

الآن، تصبح المعادلة:

\[f^{'}\left(c\right)=4c-3=0, \]

بحَلّ المعادلة، فإن قيمة \(c\) هي \(c=\frac{3}{4}\)، وهي القيمة المطلوبة.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​​أما الدالة \(g\left(x\right)=x^{2}+kx-6\) المعرّفة على الفترة المغلقة \(\left[-3,m\right]\)، حيث \(k,m\) أعداد حقيقية، فيمكن إيجاد قيمة كلٍّ من الثابت \(c\) في مبرهنة رول، والثوابت \(k,m\) إذا عُلِم أنها تُحقّق النظرية كما يأتي:

شروط المبرهنة أن الدالة \(g\) متصلة على الفترة \(\left[-3,m\right]\)، وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة \(\left(-3,m\right)\)، والشرط الثالث أن صور الأطراف متساوية وتُساوي الصفر، أي:

\[g\left(-3\right)=g\left(m\right)=0,\]

ومن هذا الشرط يُستنتَج أن:

\[g\left(-3\right)=9-3k-6=3-3k=0 \Rightarrow k=1, \]

وعند استخدام هذه النتيجة فيما يأتي، يجري الحصول على:

\[g\left(m\right)=m^{2}+km-6=m^{2}+\left(1\right)m-6=m^{2}+m-6=0,\]

بِحَلّ المعادلة، يتبيّن أن \(m\) لها قيمتان، هما:

\[m=-3, m=2\]

لكن، لا بد من ملاحظة أن الفترة المُعطاة هي على الشكل \(\left[-3,m\right]\)، وأن الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة \(\left(-3,m\right)\). ومن ثم، يُستنتَج أن \(m>-3\). إذًا، قيمة \(m\) التي ستُعتمَد هي فقط \(m=2\).

أما بالنسبة لثابت المبرهنة \(c\)، فيتم إيجاده من خلال حلِّ المعادلة \(g^{'}\left(c\right)=0\) كما يأتي:

\[g^{'}\left(x\right)=2x+k=2x+1 \Rightarrow g^{'}\left(c\right)=2c+1, \]

بحلِّ المعادلة \(g^{'}\left(c\right)=0\):

\[g^{'}\left(c\right)=2c+1=0 \Rightarrow c=\frac{-1}{2}.\]

وهو المطلوب.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​كذلك الدالة \(f\left(x\right)=\sin\left(x\right)+1\) المعرّفة على الفترة \([0,\pi ]\)، حيث يمكن ملاحظة تساوي صور أطراف مجال الدالة كما يأتي:

\[f\left(0\right)=\sin\left(0\right)+1=0+1=1\]

\[f\left(\pi \right)=\sin\left(\pi \right)+1=0+1=1 ,\]

إضافة إلى أن الدالة متّصلة على مجالها وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة \((0,\pi )\). ومن ثم، فإن النتيجة المترتّبة المذكورة سابقًا، تضمن كما الحال في مبرهنة رول، وجودَ قيمة \(c\) في الفترة المفتوحة \((0,\pi )\)، بحيث \(f^{'}\left(c\right)=0\) . وبما أن المشتقة \(f^{'}\) هي:

\[f^{'}\left(x\right)=\cos\left(x\right),\]

يكون الناتج:

\[f^{'}\left(c\right)=0\implies \cos\left(c\right)=0\implies c=\frac{\pi}{2},\]

وهي القيمة الوحيدة في الفترة \((0,\pi )\) التي تضمنها النتيجة.

الأهمية والتطبيقات

تحظى مبرهنة رول بأهمية كبيرة في كثيرٍ من فروع الرياضيات، لِما تُقدِّمه من فَهْمٍ عميقٍ لسلوك الدوال. في التفاضل والتكامل، تسهم المبرهنة في دراسة التغيُّرات المحلّية للدوال، وإيجاد النقاط التي تُحقّق توازنًا في الميل، ما يساعد في تحديد القِيَم العُظمى والصُّغرى، وتطوير نظريات أخرى مثل مبرهنة القيمة المتوسطة. وفي التحليل الحقيقي، تُمثّل أداةً فعّالة لفحص خصائص الدوال المستمرّة والمشتقّة، وتساعد في بناء براهين دقيقة بشأن سلوك المنحنيات. أما في التحليل العددي، فيبرز دَوْرُها في تصميم خوارزميات تقريب الجذور مثل طريقة نيوتن رافسون (Newton–Raphson Method)، وفي تقدير الأخطاء عند حَلّ المعادلات العددية. تكمن أهمية هذه المبرهنة في قدرتها على الربط بين المشتقّات والسلوك الكُلّيّ للدوال، ما يجعلها أساسًا لتطبيقات واسعة في الرياضيات النظرية والعملية[12].

[1] Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3^rd ed. (New York: John Wiley & Sons, 2000), p. 168.

[2] Ibid.

[3] George B. Thomas, Maurice D. Weir & Joel R. Hass, Thomas' Calculus, 14^th ed. (Boston, MA: Pearson, 2018), pp. 191-193.

[4] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009), pp. 252-265.

[5] Ibid.

[6] Bartle & Sherbert, p. 174.

[7] Ibid.

[8] Saturnino L. Salas et al., Calculus: One and several variables, 7^th ed. (New York: John Wiley & Sons, 1995), pp. 213-214.

[9] Thomas, Weir & Hass; Bartle & Sherbert, pp. 172-180.

[10] Ibid.

[11] Ibid.

[12] Bartle & Sherbert; Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9^th ed. (New Delhi: Cengage Learning, 2011).

المراجع

Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009.

Bartle, Robert G. & Donald R. Sherbert. Introduction to Real Analysis. 3^rd ed. New York: John Wiley & Sons, 2000.

Burden, Richard L. & J. Douglas Faires. Numerical Analysis. 9^th ed. New Delhi: Cengage Learning, 2011.

Salas, Saturnino L. et al. Calculus: One and several variables. 7^th ed. New York: John Wiley & Sons, 1995.

Thomas, George B., Maurice D. Weir & Joel R. Hass. Thomas' Calculus. 14^th ed. Boston, MA: Pearson, 2018.