العدد النسبي

العدد النسبي (Rational Number)، هو ركيزة أساسية في الرياضيات، وهو عدد يمكن التعبير عنه في صورة كسر \(\frac{a}{b}\)، حيث إن \(a\) و \(b\) عددان صحيحان و \(b\neq 0\). يُرمز لمجموعة الأعداد النسبية بالرمز \(\mathbb{Q} \)، وهو الحرف الأول للكلمة الإيطالية Quoziente التي تعني "حاصل قسمة". تضم هذه المجموعة الأعداد الطبيعية والصحيحة، والأعداد العشرية سواء كانت منتهية أو دورية، وهي تُعد مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية  \(\mathbb{R} \). وقد تطور هذا المفهوم عبر حضارات متعاقبة؛ بدءًا من البابليين بنظامهم الستيني، مرورًا بالإغريق، وصولًا إلى الإسهامات العربية النوعية مع تطوير قواعد تبسيط الكسور {{الكسور: هي تعبيرات رياضية تمثل جزءًا من كل، وتتكون من بسط ومقام مثل \(\frac{3}{4}\). تُستخدم للمقارنة بين الكميات وقياس الأجزاء، وتُعد أساسًا في العمليات الحسابية والنسب والتناسب في الرياضيات.}}، وطرح نظام الكسور العشرية، وابتكار أسلوب فصل البسط عن المقام بالخط الأفقي. رياضيًّا، تتطلب العمليات الحسابية على هذه الأعداد قواعد محددة؛ مثل توحيد المقامات في الجمع والطرح، واستخدام النظير الضربي {{النظير الضربي: هو العدد الذي إذا ضُرب في عدد معين أعطى الناتج واحدًا، ويُعرف بالمقلوب الضربي. مثلًا، النظير الضربي لـ \(\frac{3}{4}\) هو \(\frac{4}{3}\). يُستخدم في القسمة وتحويلها إلى عملية ضرب بالمقلوب.}} في عملية القسمة. وتتجلى أهمية الأعداد النسبية في تطبيقات عملية واسعة تشمل القياسات العلمية، الحسابات المالية، الهندسة، وحتى الأنشطة اليومية البسيطة مثل الطهي وتوزيع الميزانية.

التعريف

يعرَّف العدد النسبي بأنه عدد يمكن كتابته على صورة كسر \(\frac{a}{b}\)، حيث إن \(a\) و \(b\) عددان صحيحان و \(b\neq 0\). يسمى \(a\) بسط الكسر، ويسمى \(b\) مقام الكسر، فأي عدد صحيح موجب أو سالب أو يساوي الصفر يمكن كتابته على شكل عدد نسبي.

سُميت الأعداد النسبية بهذا الاسم لأنها تمثل النسبة بين عددين صحيحين، فمثلًا: \(2=\frac{10}{5}\) تعني أن العدد 10 يحتوي على خمستين. يُرمز لمجموعة الأعداد النسبية بالرمز \(\mathbb{Q} \)، المأخوذ من الحرف الأول للكلمة الإيطالية Quoziente التي تعني "حاصل قسمة"، وأول من استخدم هذا الترميز هو عالم الرياضيات الإيطالي جوزيبه بيانو (Giuseppe Peano، 1858-1932)[1].

تُعَدُّ كذلك الأعداد العشرية أعدادًا نسبيةً إذا كانت الأعداد بعد الفاصلة العشرية منتهية (أي أن المنازل العشرية التي تقع يمين الفاصلة العشرية عددها منتهي)، أو كانت الأعداد العشرية دورية (أي أن الأعداد تتكرر فيها يمين الفاصلة العشرية بانتظام ونسق معيّن)، كذلك يمكن كتابة هذه الأعداد العشرية على صورة عدد نسبي، أي على صورة \(\frac{a}{b}\)، ولكن إذا كانت الأعداد بعد الفاصلة العشرية غير منتهية وليست دورية فلا نعدُّه عددًا نسبيًّا.

خلفية تاريخية

استُخدمت الأعداد النسبية في مختلف الحضارات القديمة لأغراض عدة، فاستُخدمت الكسور لإجراء العمليات الحسابية وحل المشكلات وفهم النسب، كذلك لتحديد حجم الأجزاء وتقسيم الموارد والسلع التجارية. وقد طور كثيرٌ من الحضارات القديمة أنظمةً معقدة من التدوين الكسري والحساب، مثل البابليين الذين كانوا من أوائل الشعوب التي استخدمت الكسور في الحساب، وقد استخدموا نظامًا عدديًّا يسمى النظام الستيني {{النظام الستيني: هو نظام عددي أساسه 60 استُخدم منذ الحضارة البابلية. يُستخدم حاليًّا في قياس الوقت (60 ثانية في الدقيقة و60 دقيقة في الساعة) والزوايا (360 درجة للدائرة)، ويمتاز بسهولة تقسيمه لعوامل متعددة.}}، ساعدهم في التعامل مع الكسور بشكل عملي. وتبعهم الإغريق الذين فناقشوا الأعداد النسبية ضمن دراستهم للنسب والتناسب في الهندسة، وقد تناول إقليدس (Euclid، 265-325 ق.م) في كتاب العناصر (Elements) العلاقات بين الأعداد التي يمكن التعبير عنها بوصفها نسبة بين عددين صحيحين[2].

أسهم العرب في تطوير مفهوم الأعداد الكسرية، ففي القرن التاسع الميلادي/ الثالث الهجري كتب محمد بن موسى الخوارزمي كتاب الجبر والمقابلة الذي كان من أهم كتب الرياضيات في تلك الفترة. وقدّم الخوارزمي في الكتاب طرق حساب الكسور وتبسيطها، ووضع طرقًا لفهم الكسور بوصفها جزءًا من العدد الصحيح، وتوضيح كيفية التعبير عنها بطريقة منظمة. كذلك قدّم قواعد لتبسيط الكسور إلى صورها الأقل تعقيدًا، ما جعل العمليات الحسابية أسهل، ووضع قواعد دقيقة لعمليات الجمع والطرح بين الكسور المختلفة من خلال توحيد المقامات أو إيجاد القاسم المشترك، ثم شرح طرق التعامل مع الكسور عند ضربها أو قسمتها، مع التأكيد على كيفية تبسيط النتائج للحصول على القيم النهائية[3]. وقد استخدم الخوارزمي الكسور لحل مسائل حياتية، مثل قياس الأراضي، وحساب الميراث، والتعامل مع القيم النقدية، ما جعل علم الرياضيات أكثر ارتباطًا بالاحتياجات العملية. كذلك استوعب الخوارزمي النظام الهندي في الكسور، وطوّر عليه ليقدمه بشكل أوضح وأنظم في اللغة العربية.

وكان أبو الحسن الإقليديسي (309-371هـ/ 920-980م) من أوائل العلماء الذين استخدموا نظام الكسور العشرية في أواخر القرن العاشر الميلادي/ الرابع الهجري[4]، وقد جاء بعده بأكثر من أربعة قرون غياث الدين جامشيد الكاشي (ت. 839هـ/ 1429م) الذي طوّر هذا التمثيل وبلغ به درجة متقدمة من الدقة والتنظيم. أما أبو بكر الحصار ​(ت. 580هـ/ 1184م)، فقد اشتهر بابتكاره أسلوب ترميز الكسور بوضع البسط أعلى المقام وفصلهما بخط أفقي، وهو الأسلوب الذي ظهر في القرن الثاني عشر الميلادي[5].

خصائصه

تتميز الأعداد النسبية بخصائص عديدة، يُمكن تلخيصها كما يأتي[6]:

• مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية ( \(\mathbb{R} \))، وتحوي مجموعة الأعداد الصحيحة ( \(\mathbb{Z} \))، أي أن Z⊂Q⊂R \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \) [الشكل 1، الجدول 1].
  

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​ [الجدول​ 1] - أمثلة لأعداد نسبية وغير نسبية

• عند ضرب البسط والمقام للعدد النسبي بعدد صحيح لا يُساوي صفرًا، فإنّ ذلك لا يؤثّر في العدد النسبي أو يُغيّر من قيمته، فمثلًا عند ضرب كل من البسط والمقام للعدد النسبي \(\frac{2}{5}\) بالرقم 3 فإنّ الناتج يكون \(\frac{6}{15}\) وهو عدد نسبي مساوٍ لمقدار الكسر \(\frac{2}{5}\). ويسمى الكسر \(\frac{2}{5}\) والكسر \(\frac{6}{15}\)كسرين متكافئين {{الكسران المتكافئان: هما كسران يمثلان القيمة نفسها رغم اختلاف شكلهما، مثل \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\). يمكن الحصول على كسر مكافئ بضرب البسط والمقام أو قسمتهما على العدد نفسه، ويُستخدم هذا المفهوم في تبسيط الكسور ومقارنتها.}}.
• عند قسمة البسط والمقام للعدد النسبي على عدد صحيح لا يُساوي صفرًا، فإن الناتج لا يؤثّر في العدد النسبي أو يُغيّر من قيمته، فمثلًا عند قسمة البسط والمقام للعدد النسبي \(\frac{6}{15}\) على الرقم 3 فإنّ الناتج يكون \(\frac{2}{5}\) وهو عدد نسبي مساوٍ لمقدار الكسر \(\frac{6}{15}\) ، يسمى الكسر \(\frac{2}{5}\) والكسر \(\frac{6}{15}\) كسرين متكافئين.
• إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام في العدد النسبي هو 1 فقط، فإنّه يُطلق عليه الصورة القياسية للعدد النسبي ويكون العدد النسبي في أبسط صورة.
• إذا تساوى مقدار البسط والمقام في كسر ما، فإن قيمته دائمًا تساوي 1.

العمليات الحسابية

من أبرز العمليات الحسابية الأساسية التي تُجرَى على الأعداد النسبية:

الجمع

عند جمع عددين نسبيين، يجب توحيد المقامين لمقام مشترك بإيجاد عامل مشترك للمقامين عن طريق ضرب أحد العددين بأعداد صحيحة، وأحيانًا كليهما. بعد توحيد المقامات، يُجمَع بسطا العددين مع بقاء العدد في المقام ثابتًا.

مثال: \(\frac{2}{3}+\frac{1}{12}\)

الحل: الخطوة الأولى في إيجاد ناتج جمع العددين النسبيين هي توحيد المقامات وإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين 12 و3 وهو 12، في هذا المثال يُضرب البسط والمقام بالعدد 4 للكسر \(\frac{2}{3}\) مع إبقاء الكسر \(\frac{1}{12}\) كما هو:

\[\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}\]

ثم يُجمَع العددان \(\frac{8}{12}+\frac{1}{12}\) كما يلي:

\[\frac{8}{12}+\frac{1}{12}=\frac{9}{12}\]

الطرح

كما هي الحال عند جمع عددين نسبيين، فإن أول خطوة هي توحيد مقامي العددين بإيجاد عامل مشترك للمقامين، وذلك بضرب بسط ومقام أحد العددين (أو كليهما) بمتغير صحيح، ثم طرح قيمة البسط الأول من الثاني، مع بقاء قيمة المقام ثابتة.

مثال: \(\frac{4}{2}-\frac{3}{5}\)

الحل: الخطوة الأولى في إيجاد ناتج طرح العددين النسبيين هي توحيد المقامات وإيجاد عامل مشترك أصغر، في هذا المثال المضاعف المشترك الأصغر بين 2 و5 هو 10، فيكون كما يلي:

\(\frac{4\times 5}{2\times 5}=\frac{20}{10}\) ، \(\frac{3\times 2}{5\times 2}=\frac{6}{10}\)

ثم يُطرَح العددان \(\frac{20}{10}-\frac{6}{10}\) كما يلي:

\[\frac{20}{10}-\frac{6}{10}=\frac{14}{10}\]

الضرب

عند إجراء ضرب عددين نسبيين يُضرَب بسط العدد الأول ببسط العدد الثاني، ثم يُضرب مقام العدد الأول بمقام العدد الثاني.

مثال: \(\frac{4}{3}\times \frac{4}{7}\)

الحل: لإيجاد ناتج ضرب العددين النسبيين يُضرَب بسط العدد الأول ببسط العدد الثاني، ثم يُضرَب مقام العدد الأول بمقام العدد الثاني، وفق ما هو موضح:

\[\frac{4}{3}\times \frac{4}{7}=\frac{16}{21}\]

• قلب العدد الكسري

ناتج ضرب أي عدد كسري بمقلوبه يساوي واحدًا (أي أن المقلوب يمثل النظير الضربي)، ويمكن الحصول على مقلوب الكسر بقلب المقام مع البسط بحيث يصبح بسطُه مقامًا ومقامُه بسطًا.

مثال: إيجاد مقلوب الكسر \(\frac{5}{3}\)

الحل: لإيجاد مقلوب الكسر يُقلَب الكسر كما يلي:

\[\frac{3}{5}\]

يُلاحظ أن ناتج ضرب الكسر \(\frac{5}{3}\) ومقلوبه \(\frac{3}{5}\) يساوي 1 كما هو موضح:

\[\frac{5}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{15}{15}=1\]

القسمة

عند قسمة عددين نسبيين، يُثبَّت العدد الأول على حاله، مع تغيير إشارة القسمة إلى ضرب، ثم يُقلَب العدد الثاني، بحيث يصبح بسطه مقامًا، ومقامه بسطًا، أي تصبح العملية ضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني، وتُجرَى عندئذ عملية الضرب، بالطريقة السابقة، بضرب البسط بالبسط، والمقام بالمقام.

مثال: \(\frac{6}{5}\div \frac{7}{2}\)

الحل: يُثبَّت الكسر الأول \(\frac{6}{5}\) كما هو ثم تُغيَّر إشارة القسمة إلى ضرب ويُقلب الكسر الثاني \(\frac{7}{2}\) إلى \(\frac{2}{7}\) وثم يجري إيجاد ناتج الضرب، فتصبح المسألة كما يلي:

\[\frac{6}{5}\times \frac{2}{7}=\frac{12}{35}\]

مقارنة الأعداد النسبية

تساوي الأعداد النسبية

يكون العددان النسبيان متساويَين إذا كانت لهما القيمة نفسها، حتى لو كُتِبا بطرق مختلفة. فالعددان النسبيان \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{c}{d}\) متساويان إذا كانت نتيجة ضرب مقام الكسر الأول مع بسط الكسر الثاني تساوي نتيجة ضرب بسط الكسر الأول مع مقام الكسر الثاني، بالشكل التالي \(a\times d=b\times c\)، على سبيل المثال الكسران \(\frac{4}{6}\)، \(\frac{2}{3}\) متساويان، لأن \(4\times 3=6\times 2\).

ترتيب الأعداد النسبية

يعني ترتيبُ الأعداد النسبية تنظيمَها تصاعديًّا أو تنازليًّا بناءً على قيمتها العددية. وفيما يأتي شرح الترتيب التنازلي للأعداد النسبية[7]:

أ. تُوحَّد المقامات بين الأعداد النسبية جميعها بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينها.

ب. يُقارن بين البسطين بعد توحيد المقامات بطريقة مقارنة العدد الصحيح نفسها.

ج. العدد الذي يمتلك أكبر بسط يكون هو العدد الأكبر.

د. ترتب الأعداد حسب نتيجة مقارنة البسط، من العدد الأكبر إلى العدد الأصغر.

مثال: ترتيب الأعداد الآتية تصاعديًّا:

\(\frac{2}{3}\)، \(\frac{-4}{18}\)، \(\frac{1}{6}\)

الحل: تُوحَّد المقامات بين الأعداد النسبية جميعها بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر والمضاعف المشترك الأصغر بين 3، 6، 18 هو 18، فيُوحَّد مقام العدد \(\frac{1}{6}\) والعدد \(\frac{2}{3}\)، أما العدد \(\frac{-4}{18}\) فيبقى على حاله من دون تغيير، فتصبح الأعداد كما يلي:

\(\frac{2\times 6}{3\times 6}=\frac{12}{18}\)\(\frac{1\times 3}{6\times 3}=\frac{3}{18}،\)

يُقارن بين البسط بعد توحيد المقامات بطريقة مقارنة العدد الصحيح نفسها، والعدد الذي يمتلك أكبر رقم في البسط يكون العدد الأكبر.

\[\frac{-4}{18}, \frac{12}{18}, \frac{3}{18}\]

أرقام البسط هي 3، 12، -4 فيكون ترتيبهم على النحو التالي:

\[-4<3<12\]

تُرتَّب الأعداد حسب نتيجة مقارنة أرقام البسط، من العدد الأكبر إلى العدد الأصغر كما يلي:

\[\frac{-4}{18}<\frac{3}{18}=\frac{1}{6}<\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\]

مثال: ترتيب الأعداد الآتية تنازليًّا \(\frac{2}{3}\)، \(\frac{5}{9}\)، \(\frac{1}{6}\)

الحل: تُوحَّد المقامات بين الأعداد النسبية جميعها بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين 3، 9، 6 وهو 18 فتُوحَّد مقامات الأعداد، لتصبح الأعداد كما يلي:

\[\frac{1\times 3}{6\times 3}=\frac{3}{18}, \frac{5\times 2}{9\times 2}=\frac{10}{18}, \frac{2\times 6}{3\times 6}=\frac{12}{18}\]

يُقارن البسط بعد توحيد المقامات بطريقة مقارنة العدد الصحيح نفسها، والعدد الذي يمتلك أصغر بسط يكون العدد الأصغر.

\(\frac{3}{18}, \frac{10}{18}, \frac{12}{18}\).

أرقام البسط هي 3، 10، 12 فيكون ترتيبهم على النحو التالي:

\[\frac{12}{18}> \frac{10}{18}>\frac{3}{18}\Rightarrow \frac{2}{3}>\frac{5}{9}>\frac{1}{6}\]

تطبيقاته

للأعداد النسبية تطبيقات عدة مهمة في الحياة اليومية والعلوم المختلفة، من أبرزها[8]:

في الرياضيات والعلوم

• حل المعادلات الرياضية: الأعداد النسبية تُستخدم لحل المعادلات الخطية والكسور الجبرية.
• القياسات العلمية: تُستخدم الأعداد النسبية لتمثيل النسب والكسور في الفيزياء والكيمياء، مثل الكتلة، والكثافة، والتركيز.
• الإحصاء والاحتمالات: تُستخدم الأعداد النسبية في حساب المتوسطات والنسب المئوية وإيجاد الاحتمالات.

في الحياة اليومية

• الطهي: وصفات الطعام تعتمد على الكسور والنسب مثل نصف كوب، وثلث ملعقة.
• الميزانية: توزيع الدخل على المصاريف مثل للإيجار و للتوفير.
• قياسات الأبعاد: حساب الأطوال والمساحات مثل قياس قطع القماش أو المسافات.

في التجارة والاقتصاد

• حساب الخصومات والضرائب: تستخدم الأعداد النسبية لحساب نسب الخصومات مثل 20 في المئة أو الضرائب على السلع والخدمات.
• المعاملات المالية: تمثيل الفوائد البنكية والنسب المئوية.

في الهندسة

• تصميم الأشكال الهندسية: استخدام الأعداد النسبية في الرسم الهندسي وتحديد الأبعاد بشكل دقيق.
• التحليل الهندسي: مثل قياس الميل في الخطوط المستقيمة الذي يُعبَّر عنه بنسبة.

في البرمجة والحوسبة

• التمثيل العددي: تُستخدم الأعداد النسبية في البرمجة عند التعامل مع النسب والكسور.
• الخوارزميات: تُستخدم الأعداد النسبية في معالجة البيانات وتحليلها.

في الزراعة

• خلط الأسمدة: تحديد نسب العناصر المغذية في التربة.
• الري: توزيع المياه على الحقول بناءً على نسب معينة.

في الفيزياء والكيمياء

• النسب المولية: تُستخدم في حساب التفاعلات الكيميائية.
• السرعة والكثافة: حساب النسب مثل سرعة الجسم في زمن معين، .

في التعليم

التقييم والتقويم: حساب درجات الطلاب بوصفها نسبة مئوية أو نسبًا من المجموع الكلي.

في الفنون والتصميم

• النسب الجمالية: استخدام نسب محددة مثل النسبة الذهبية في التصميم والعمارة.
• الأبعاد الفنية: تحديد قياسات اللوحات الفنية.

في الألعاب والرياضة

• حساب النتائج: تمثيل النتائج الرياضية بنسب مئوية.
• تحديد الأداء: مثل نسبة إصابة الأهداف أو دقة اللاعب.

الأعداد النسبية هي أداة أساسية في فهم العلاقات النسبية في مجالات الحياة جميعها، ما يجعلها جزءًا لا غنى عنه في التعاملات اليومية والعلوم.

المصادر والمراجع

العربية

الخوارزمي، محمد بن موسى. كتاب الجبر والمقابلة. قام بتقديمه والتعليق عليه علي مصطفى مشرفة ومحمد موسى أحمد. [د. م.]: مطبعة بول باربيه، 1937.

راشد، رشدي (إشراف). موسوعة تاريخ العلوم العربية، ج 2: الرياضيات والعلوم الفيزيائية. ط 2. بيروت: مركز دراسات الوحدة العربية، 2005.

الأجنبية

Hosch, William L. (ed.). “Rational Number.” Encyclopaedia Britannica. 8/12/2025. at: https://acr.ps/1L9BP7G

Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. 3^rd ed. Boston, MA: Addison-Wesley, 2009.

[1] Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, 3^rd ed. (Boston, MA: Addison-Wesley, 2009), chapter 3 & 25; William L. Hosch (ed.), “Rational Number,” Britannica, 8/12/2025, accessed on 8/12/2025, at: https://acr.ps/1L9BP7G

[2] رشدي راشد (إشراف)، موسوعة تاريخ العلوم العربية، ج 2: الرياضيات والعلوم الفيزيائية، ط 2 (بيروت: مركز دراسات الوحدة العربية، 2005)، ص 444.

[3] محمد بن موسى الخوارزمي، كتاب الجبر والمقابلة، قام بتقديمه والتعليق عليه علي مصطفى مشرفة ومحمد موسى أحمد ([د. م.]: مطبعة بول باربيه، 1937).

[4] J. J. O’Connor & E. F. Robertson, “Abu’l‑Hasan Ahmad ibn Ibrahim al‑Uqlidisi,” The MacTutor History of Mathematics Archive, accessed on 10/9/2025, at: https://acr.ps/1L9F31R

[5] Katz, chapter 9.

[6] Wu H., “Fractions, Decimals, and Rational Numbers,” 24/9/2008, accessed on 10/9/2025, at: https://acr.ps/1L9BPUG

[7] Wu, op. cit.

[8] “Real-life applications of rational numbers,” Geeks for Geeks, accessed on 10-9-2025, at: https://acr.ps/1L9BP7T