مبرهنة فيثاغورس

الموجز

مبرهنة فيثاغورس (Pythagorean Theorem) من أهمّ النظريات في تاريخ الرياضيات، إذ قدَّمَت وصفًا دقيقًا لإحدى الخصائص الأساسية في المُثلّث قائم الزاوية. تنصّ النظرية على أن مربّع طول الوتر يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعَيْن القائمَيْن. وعلى الرغم من بساطة هذه العلاقة، فإنها شكّلت أساسًا لعدد كبير من النتائج والتطبيقات الرياضية اللاحقة.

مع مرور الزمن، اتّسَع نطاق استخدام مبرهنة فيثاغورس ليشمل مجالات متعدّدة؛ ففي الرياضيات، أسهمت في صياغة قانون حساب المسافة بين نقطتَيْن في المستوى الإحداثي، وشكّلت قاعدةً أساسيةً لِما يُعرف بالمتطابقة المُثلّثية الأمّ؛ وفي الهندسة، ساعدت في فَهْم العلاقات بين أضلاع المثلث القائم وزواياه، وأسهمت في الربط بين مفاهيم التشابه والنِّسَب المثلثية؛ أما في الفيزياء، فقد وفّرت أداةً عمليةً لحساب محصّلة المتجهات، ولا سيما القوى المتعامدة أو التي تعمل في اتجاهات مختلفة. بذلك، لا تُعَدّ النظرية مجرّد علاقة هندسية بسيطة، بل تُمثِّل مدخلًا جوهريًّا لفَهْم العلاقات بين الأبعاد، وأداةً أساسيةً تُستخدم في كثيرٍ من فروع العلوم والرياضيات التطبيقية.

تعريفها

تُعَدّ مبرهنة فيثاغورس من أهمّ النظريات وأشهرها في تاريخ الرياضيات، وقد ارتبط اسمها بعالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس (Pythagoras/ باليونانية: Πυθαγόρας) الذي وُلِد في جزيرة ساموس اليونانية نحو عام 570 قبل الميلاد، وتُوفِّي قرابة عام 495 قبل الميلاد في جنوب إيطاليا. يُنسَب إليه تأسيس المدرسة الفيثاغورية، التي مزجت بين الرياضيات والفلسفة ونظرةٍ كونيّةٍ ذات طابع ديني.

تَنُصّ مبرهنة فيثاغورس على أن مربّع طول الوتر في المثلّث قائم الزاوية يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعَيْن القائمَيْن، وتُصاغ رياضيًّا على النحو الآتي[1] (الشكل 1):

إذا كان \(ABC\) مثلّثًا قائم الزاوية، وطولا ضلعَيْه القائمَيْن هُما \(a\) و \(b\) على الترتيب، وكان طول وتره هو \(c\)، فإن:

\[c^{2}=a^{2}+b^{2}\]

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

برهان مبرهنة فيثاغورس[2]:

يُلحَظ من معطيات المبرهنة أن:

\[AB=a, BC=b, AC=c\]

هي وتر المثلث \(AC\)، إذ يُرسَم من النقطة \(B\) عمودٌ على الوتر \(AC\)، ولتكن \(D\) نقطة تقاطع هذا العمود مع \(AC\). بهذا، ينقسم المثلث الأصلي \(ABC\) إلى مثلثَيْن جديدَيْن هُما \(ABD\) و \(BCD\).

بذلك، تصبح هناك ثلاثة مُثلّثات هي: المثلث الأصلي \(ABC\)، وهو المثلث الأصلي المقسوم؛ والمثلثان \(ABD\) و \(BCD\)، وهذه المثلثات الثلاثة متشابهةٌ بسبب تساوي الزوايا (الشكل 2).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​من علاقة التشابه بين المُثلثَيْن \(ABC, ABD\)، يُستنتَج:

\[\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\implies AB^{2}=AC\times AD\implies a^{2}=c\times AD\]

ومن تشابه المثلثَيْن \(ABC, BCD\)، يكون الناتج:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}\implies BC^{2}=AC\times BD\implies b^{2}=c\times CD\]

وبجمع المعادلتَيْن السابقتَيْن، مع الانتباه إلى أن \(AD+CD=AC\)، ينتُج:

\[a^{2}+b^{2}=c\times AD+c\times CD=c\left(AD+BD\right)=c\times c=c^{2}\]

بذلك، يُتوصّل إلى النتيجة المطلوبة:

\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]

نتائج مترتّبة على مبرهنة فيثاغورس

تولّدت من مبرهنة فيثاغورس كثيرٌ من النتائج المترتّبة الأخرى التي أصبحت فيما بعد أساسًا لعددٍ من التطبيقات في الفروع الرياضية المختلفة.

حساب أطوال الأضلاع في المثلّث القائم

تُستخدَم مبرهنة فيثاغورس بوصفها أداةً أساسيةً لحساب أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية، فإذا عُرف طول ضلعَيْن من أضلاع المثلث، أمكن إيجاد طول الضلع الثالث مباشرةً باستخدام العلاقة:

\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]

تكمن أهمية هذه النتيجة في أنها تُتيح حلَّ عددٍ كبيرٍ من المسائل الهندسية من دون الحاجة إلى قياس مباشر، وتُعَدّ أساسًا لحلّ مسائل عملية في مجالات متعددة مثل الهندسة والفيزياء.

حساب المسافة بين نقطتَيْن في المستوى الإحداثي

تُعَدّ صيغة حساب المسافة بين نقطتَيْن في المستوى الإحداثي تطبيقًا مباشرًا لمبرهنة فيثاغورس، فإذا كانت إحداثيات النقطتَيْن ( \(x_{1},y_{1}\)) و( \(x_{2},y_{2}\))، فإن المسافة بينهما تُعطى بالعلاقة[3]:

\[d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \]

إذ إن \(d\) هي المسافة بين النقطتَيْن \(\left(x_{1},y_{1}\right)و (x_{2},y_{2}) \)، وقد أسهم هذا التطبيق في تطوير الهندسة التحليلية وربط المفاهيم الجبرية بالتصور الهندسي.

اعتمدت صيغة حساب المسافة بين نقطتَيْن في فضاءٍ ثُنائيِّ الأبعادِ على مبرهنة فيثاغورس، إذ يُمثّل المقدار \(x_{2}-x_{1}\) البُعْدَ الأفقيَّ بين النقطتَيْن، والمقدار \(y_{2}-y_{1}\) البُعْدَ الرأسيَّ بين النقطتَيْن، ومن ثم يمكن تكوين مثلثٍ وهميٍّ بين هاتَيْن النقطتَيْن، وَتَرُهُ الخطُّ المستقيمُ الواصل بينهما، وطولُه \(d\)، وضلعاه الآخران أطوالُهما \(x_{2}-x_{1}\) و \(y_{2}-y_{1}\). ومن ثم، باستخدام مبرهنة فيثاغورس على هذه الأضلاع الثلاثة، تكون النتيجة:

\[d^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\]

وبأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، تكون النتيجة:

\[\left|d\right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\]

وبما أن \(d\) هو طول ضلع، فإن \(d\) قيمة موجبة دائمًا، إذ يمكن الاستغناء عن القيمة المطلقة، ومن ثم تصبح الصيغة كما يأتي:

\[d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \]

العلاقة بين النظرية والمتطابقات المثلثية

تؤدّي مبرهنة فيثاغورس دَوْرًا محوريًّا في اشتقاق المتطابقات المثلثية الأساسية. بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على المثلث (الشكل 1)، تكون النتيجة[4]:

\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]

الآن، بقسمة جميع حدود المعادلة على المقدار \(c^{2}\)، تكون النتيجة:

\[\left(\frac{a}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b}{c}\right)^{2}=1\]

من المثلث (الشكل 1)، يُستنتَج أن جيب وجيب تمام الزاوية التي تقع يمين الزاوية القائمة (ولتكن \(x\)) هُما:

\[\sin x=\frac{a}{c} , \cos x=\frac{b}{c} \]

ومن ثم، تصبح المعادلة الأولى على الشكل:

\[\sin^{2}(x)+\cos^{2}\left(x\right)=1 \]

تُسمّى هذه المتطابقة بمتطابقة فيثاغورس المُثلّثية، أو المتطابقة المُثلّثية الأمّ، وهي من أشهر المتطابقات المثلثية التي تُستخدَم بشكل واسع في الفيزياء والهندسة وغيرهما من الفروع العلمية والرياضية المختلفة.

دور المبرهنة في الهندسة الإقليدية

أسهمت مبرهنة فيثاغورس في ترسيخ عددٍ من المفاهيم في الهندسة الإقليدية، مثل فَهْم طبيعة الزوايا القائمة، ودراسة التشابُه بين المُثلّثات، وبناء البراهين الهندسية القائمة على العلاقات بين الأطوال. كذلك استُخدمت في برهنة عدد من النتائج الهندسية المتعلّقة بالمضلّعات والأشكال المستوية، وذلك الأمر قد جعلها من الركائز الأساسية لهذا الفرع من الرياضيات.

أمثلة عليها

مبرهنة فيثاغورس من أهمّ النظريات الأساسية في الرياضيات، وهي تُستخدَم لإيجاد طول ضلعٍ مجهولٍ في المثلث قائم الزاوية المعلومة فيه أطوال ضلعَيْه الآخرَيْن. كذلك، تُستخدَم نتائج مترتبة أخرى مثل قانون حساب المسافة بين نقطتَيْن لإيجاد المسافة بين الأجسام على سطح مستوٍ، والنقاط في فضاء ثُنائيّ الأبعاد. يمكن استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية أيضًا في حلّ مسائل الدوالّ المثلثية، وإيجاد بعض النِّسَب المثلثية مجهولة القيمة. في ما يأتي بعض الأمثلة التي تُوضّح تطبيقات نظرية فيثاغورس:

مثال (1): إيجاد مقدار طول ضلع الوتر في المثلث \(ABC\) قائم الزاوية، المعلوم فيه طولا ضلعَيْه القائمَيْن (الشكل 3).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​

​الحل: يتّضح من معطيات المثلث أن الضلعَيْن القائمَيْن طولهما 3 cm و4 cm. بافتراض أن طول الوتر هو \(c\)، فإن طول مربّع الوتر يكون كما يأتي:

\[d^{2}=3^{2}+4^{2}=25\implies d^{2}=25\]

إذًا، يكون طول الوتر هو:

\[d=\sqrt{25}=5cm\]

مثال (2): إيجاد مقدار المسافة بين النقطتَيْن \(\left(3,5\right), (1,2)\) في الفضاء ثنائي الأبعاد.

الحلّ: لتكن \(d\) مقدار المسافة بين النقطتَيْن \(\left(3,5\right), (1,2)\)، فيمكن حساب مقدار هذه المسافة باستعمال الصيغة المُخصّصة لحساب المسافة بين نقطتَيْن في فضاء ثُنائي الأبعاد كما يأتي:

\[d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-1\right)^{2}+\left(5-2\right)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\]

إذ إن \(x_{1}=1, x_{2}=3, y_{1}=2, y_{2}=5\)

إذن، يكون مقدار المسافة بين النقطتَيْن: \(\sqrt{13}\) وحدة طول.

مثال (3): إذا كان \(\sec x=\frac{2}{\sqrt{3}}\) ، فما قيمة الجيب \(\sin x\) إذ \(x\in [0,\frac{\pi}{2}]\)؟

الحلّ: يُلحَظ أن \(\sec x=\frac{2}{\sqrt{3}}\)، وبما أن القاطع هو مقلوب جيب التمام، يُستنتَج أن \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ومن ثم، باستخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية، تكون النتيجة:

\[\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1\implies \sin^{2}\left(x\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=1\implies \sin^{2}\left(x\right)=\frac{1}{4}\implies sinx=\frac{1}{2} \]

إذًا، يكون مقدار الجيب \(\sin x\) هو \(\frac{1}{2}\)

التطبيقات العلمية لمبرهنة فيثاغورس

في الرياضيات

تُعَدّ مبرهنة فيثاغورس من الأدوات الأساسية في كثيرٍ من فروع الرياضيات؛ ففي الهندسة التحليلية تُستخدَم لحساب المسافات بين النقاط في المستويات والفضاءات الإحداثية، وتُعَدّ أساسًا لتعريف مفهوم المعيار (Norm) في الفضاءات المتجهية؛ وفي التحليل الرياضي، تظهر المبرهنة في دراسة المتسلسلات والمتجهات، ولا سيما عند التعامل مع المتجهات المتعامدة؛ كذلك تُستخدَم في نظرية الأعداد لدراسة الثلاثيات الفيثاغورية، وهي مجموعات من الأعداد الصحيحة التي تُحقّق علاقة النظرية، مثل (3,4,5).

في الهندسة

تؤدّي مبرهنة فيثاغورس دَوْرًا محوريًّا في الهندسة المستوية والفراغية، إذ تُستخدَم في حساب أطوال الأقطار والمسافات في الأشكال الهندسية المختلفة، مثل المستطيلات والمكعّبات ومتوازي المستطيلات. كذلك تُستعمَل في المساحة والعمارة لضمان الزوايا القائمة ودقّة القياسات. علاوة على ذلك، تُعَدّ المبرهنة أداةً أساسيةً في دراسة التشابه والتناسب بين الأشكال الهندسية، وفي تحليل العلاقات بين الأبعاد في المنشآت الهندسية.

في الفيزياء

في الفيزياء، تُستخدَم مبرهنة فيثاغورس على نطاق واسع في تحليل المتّجهات، مثل حساب محصّلة القوى المتعامدة أو مركّبات السرعة والتسارع. تظهر كذلك في دراسة الحركة في بُعدَيْن، وحساب الإزاحة الكُلّية لجسم يتحرّك في اتجاهَيْن متعامدَيْن. تدخل النظرية أيضًا في مجالات مثل الميكانيكا الكلاسيكية، والكهرباء والمغناطيسية، إذ تُستخدَم لحساب شدّة المجالات والمتجهات الناتجة من مركّبات متعامدة.

[1] “When and where was Pythagoras born? When did Pythagoras die?,” Encyclopedia Britannica, accessed on 5/4/2026, at: https://acr.ps/hBxWaIS

[2] Serge Lang & Gene Murrow, Geometry: A High School Course (New York: Springer, 1988), pp. 95-110, 245-261.

[3] حسن زارع هديب [وآخرون]، الرياضيات: الصف الثاني عشر، للفرعين العلمي والصناعي، الفصل الدراسي الثاني (عمّان: إدارة المناهج والكتب المدرسية- وزارة التربية والتعليم الأردنية، 2018)، ص 204.

[4] “Pythagorean Identities – Formulas, Derivation, Examples,” GeeksforGeeks, 10/2/2026, accessed on 5/4/2026, at: https://acr.ps/hBxWaMJ

المراجع

العربية

هديب، حسن زارع [وآخرون]. الرياضيات: الصف الثاني عشر، للفرعين العلمي والصناعي، الفصل الدراسي الثاني. عمّان: إدارة المناهج والكتب المدرسية- وزارة التربية والتعليم الأردنية، 2018.

الأجنبية

Lang, Serge & Gene Murrow. Geometry: A High School Course. New York: Springer, 1988.

“Pythagorean Identities – Formulas, Derivation, Examples.” GeeksforGeeks. 10/2/2026. at: https://acr.ps/hBxWaMJ

“When and where was Pythagoras born? When did Pythagoras die?.” Encyclopedia Britannica. at: https://acr.ps/hBxWaIS