المنطق الاقتراحي (Propositional Logic)، المعروف أيضًا باسم المنطق الجُمَلِيّ أو منطق القضايا، فرعٌ أساسي من فروع المنطق الرياضي (Mathematical Logic)، وهو أبسط نُظُمِه الشكلية وأكثرها تأسيسًا، إذ يُعنى بدراسة القضايا المنطقية وقِيَم الصواب والخطأ والعلاقات بينها، باستخدام لغة رمزية مُوحَّدة. يهدف هذا الفرع إلى تحليل البنى المنطقية للاستدلال الرياضي وصياغتها في إطارٍ صوريٍّ دقيق، بما يُتيح تمثيل العلاقات المنطقية بصورة مُجرَّدة ومستقلّة عن مضمون العبارات، ويضمن صحّة الاستنتاجات وسلامة البراهين. ويعد المنطق الاقتراحي الأساسَ الصوريَّ الأوّل الذي تُبنى عليه أنظمةٌ منطقيةٌ أكثر تعقيدًا، وترتبط بنيته ارتباطًا وثيقًا بجبر القضايا (Boolean Algebra). كذلك يُستخدَم بوصفه لغةً منطقيةً أوليةً في نظرية المجموعات (Set Theory)، ونظرية النموذج (Model Theory)، ونظرية الإثبات (Proof Theory)، ونظرية القابلية للاحتساب (نظرية الحَسُوبية/الحَوْسَبة Computability Theory)، فضلًا عن دَوْره الجوهري في علوم الحاسوب النظرية، ما يجعله مدخلًا لا غنى عنه لفهم البرهان الرياضي، وتنظيم مجالات الرياضيات المتقدّمة ضمن إطارٍ منطقي متماسك.
تعريف المنطق الاقتراحي
المنطق الاقتراحي هو العلم الذي يدرس العبارات المنطقية من حيث قِيَمها الصدقية (الصواب والخطأ)، ويُحلِّل طرق الاستدلال القائمة على تركيب هذه العبارات باستخدام أدوات الربط المنطقية، من دون النظر إلى مضمونها الداخلي. ويهدف هذا الفرع من المنطق الرياضي إلى فحص البنية الشكلية للاستنتاجات، والتحقّق من صحّتها اعتمادًا على القواعد المنطقية الصورية[1].
يُركِّز المنطق الاقتراحي على تمثيل العبارات بِلُغةٍ رمزية دقيقة تُتيح دراسة العلاقات المنطقية بينها بصورة مجرّدة، ما يُسهم في بناء استدلالات واضحة وخالية من الغموض. ويُعَدّ هذا النوع من المنطق المستوى الأولَ في الأنظمة المنطقية الصورية، إذ يُشكِّل الأساس الذي تُبنى عليه أنظمة أكثر تقدّمًا. ومن خلال هذا الإطار، يؤدي المنطق الاقتراحي دَوْرًا جوهريًا في تنظيم البرهان الرياضي وضبط التفكير المنهجي، ويُستخدَم كذلك على نطاق واسع في مختلف فروع الرياضيات وعلوم الحاسوب بوصفه الأداة الأساسية لتحليل صحّة الاستنتاجات[2].
المفاهيم الأساسية في المنطق الاقتراحي
تُعَدّ هذه المفاهيم الأساسَ الذي تُبنَى عليه دراسة المنطق الاقتراحي، فهي تُمثِّل الأدواتِ الأوليةَ لفهم بنيته الصورية وقواعد الاستدلال فيه. والإحاطة بهذه المفاهيم تُمكِّن من صياغة العبارات المنطقية بدقّة، وتحليل العلاقات بينها، والتحقّق من صحّة الاستنتاجات. وبالتالي، فهذه المفاهيم مدخل ضروري لفهم البرهان الرياضي وتطبيقات المنطق في الرياضيات والعلوم الأخرى. وفيما يأتي بعض أهم هذه المفاهيم:
القضية أو العبارة
القضية أو العبارة (Proposition) هي جملةٌ خَبَريةٌ يمكن أن تكون صوابًا أو خطأً، ولا يمكن أن تكون كليْهما في الوقت نفسه. بناءً على ذلك، فلكل قضيةٍ قيمةُ صدق واحدة فقط، إما صواب (T)، وإما خطأ (F). ويُرمَز إلى القضايا عادةً بالرموز: P, Q, R, S, …[3].
يُعَدّ الثبات والتحديد من الخصائص الأساسية للقضية؛ فالثبات يعني أن تحمل القضية قيمةَ صدقٍ واحدةً فقط، إما صوابًا وإما خطأً، ولا يمكن أن تحمل كلتيْهما في الوقت نفسه. أمّا التحديد فيعني أن تكون القضية مُحدَّدةً وواضحةَ الدلالة، وخاليةً من الغموض أو الالتباس. ومن أمثلة القضايا:
- «السماء زرقاء» (صواب).
- «2 + 2 = 5» (خطأ).
- «العدد 2 عدد أولي» (صواب).
- «الحديد أصلب من النحاس» (خطأ).
في حين أن الجمل الآتية لا تُعَدّ قضايا، لأنها لا تحتمل الحكم بالصواب أو الخطأ:
- كم عدد النجوم في السماء؟
- لماذا نتعلّم الرياضيات؟
- \(x^{2}=4\)
وتُقسم القضايا إلى قسمَيْن: قضايا بسيطة، وقضايا مركّبة. فالقضية البسيطة هي قضية تتكوّن من جملة واحدة فقط؛ أمّا القضية المركّبة فتتشكّل بربط قضيتَيْن أو أكثر باستخدام الروابط المنطقية[4].
الروابط المنطقية
تُستخدَم الروابط المنطقية (Logical Connectives) لربط القضايا ببعضها. ومن أهمّ هذه الروابط: العطف (AND)، والفصل (OR)، والنفي (NOT)، والشرط (IF-THEN)، وثنائي الشرط (IF AND ONLY IF). وتُعرَّف مفاهيم العطف والفصل والنفي رياضيًا على النحو الآتي[5]:
بافتراض أن \(P, Q\) قضيتان، فإن:
- العطف أو الوصل (Conjunction) يُرمَز إليه بالرمز \(˄\)، وتُعَدّ \(P˄Q\) قضية مركّبة من \(P\) و \(Q\). وتكون \(P˄Q\) صوابًا \((T)\) في حال كان كُلٌّ من \(P\) و \(Q\) صوابًا.
- التخيير أو الفصل (Disjunction) يُرمَز إليه بالرمز \(˅\)، وتُعَدّ \(P˅Q\) قضية مركّبة من \(P\) و \( Q\). وتكون \(P˅Q\) صوابًا \((T)\) في حال كانت واحدة من \(P\) أو \(Q\) على الأقل صوابًا.
- النفي (Negation) يُرمَز إليه بالرمز \(~P\)، ويعني نفي القضية \(P\)، وتُستخدَم "ليس" أو "لا" لنفي القضية \(P\)، وتكون صوابًا \((T)\) في حال كانت \(P\) خطأً \((F)\).
مثال: إذا كانت القضية \(P\): عمّان عاصمة الأردن؛ وكانت القضية \(Q\): لندن عاصمة بريطانيا، فإن:
- \(P˄Q\): تُعبّر عن القضية المركّبة (عمّان عاصمة الأردن ولندن عاصمة بريطانيا).
- \(P˅Q\): تعبّر عن القضية المركّبة (عمّان عاصمة الأردن أو لندن عاصمة بريطانيا).
- \(~P\): عمّان ليست عاصمة الأردن.
جدول الحقيقة
يمكن تحديد صحّة القضية المركّبة من خلال عرض كُلِّ تركيبٍ ممكن لقِيَم الحقيقة الخاصة بمكوّنات القضية، فيما يُعرَف بجدول الحقيقة أو جدول الصحّة (Truth Table)، وهو أداة منطقية تُستخدم لعرض جميع القِيَم الممكنة للصواب والخطأ للعبارات المنطقية البسيطة، وبيان كيفية تأثير هذه القِيَم في تحديد القيمة المنطقية للعبارات المركّبة الناتجة من استخدام أدوات الربط المنطقية[6].
فيما يلي، على سبيل المثال، جداول الحقيقة للقضيتَيْن \(P˄Q\) و \(P˅Q\) (الجدولان 1، 2).
| [الجدول 1] - جدول الحقيقة للقضية \(P˅Q\) | [الجدول 2] - جدول الحقيقة للقضية \(P˄Q\) |
| | |
كما يُستخدم جدول الحقيقة لعرض كيفية تأثير عملية النفي في القِيَم الحقيقية للقضية. وبافتراض وجود القضية \(P\)، فإنه وفقًا لجدول الحقيقة للقضية \(~P\) (الجدول 3)، إذا كانت \(P\) صوابًا (T)، فإن \(~P\) ستكون خطأً(F) ، وإذا كانت \(P\) خطأً (F)، فإن \(~P\) ستكون صوابًا (T).
[الجدول 3] - جدول الحقيقة للقضية \(~P\)
وباعتماد مبدأ العدّ، إذا كانت القضية مكوّنة من قضايا عددها \(n\)، فإن هناك \(2^{n}\) تركيبة ممكنة لقِيَم الحقيقة لهذه القضية. ويتضح ذلك من المثال الآتي:
مثال: اكتب جدول الحقيقة للقضية \(P˅(Q˄~R)\).
الحلّ: بما أن القضية مكوّنة من 3 قضايا مرتبطة، فإنه يوجد \(2^{3}=8\) تراكيب ممكنة لقِيَم الحقيقة (الجدول 4).
[الجدول 4] - جدول الحقيقة للقضية \(P˅(Q˄~R)\)
| \[P˅(Q˄ ~R)\] | \[Q˄~R\] | \[~R\] | \[R\] | \[Q\] | \[P\] |
| T | F | F | T | T | T |
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | F | T |
| T | F | T | F | F | T |
| F | F | F | T | T | F |
| T | T | T | F | T | F |
| F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F |
تكافؤ القضايا
في المنطق الاقتراحي، يُعرَّف تكافُؤ القضايا (Logical Equivalence of Propositions) بالاعتماد على مفهوم جداول الحقيقة، إذ يُقال عن قضيتَيْن إنهما متكافِئتان منطقيًا إذا كانت لهما قِيَمُ الصدق نفسُها في جميع حالات جدول الحقيقة[7].
مثال: القضيتان \(P˄(Q˅R)\) و \((P˄Q)˅(P˄R)\)متكافِئتان (الجدول 5).
[الجدول 5] - جدول الحقيقة للقضيتَيْن \(P˄(Q˅R)\) و \((P˄Q)˅(P˄R)\)
| \[P˄(Q˅R)\] | \[(Q˅R)\] | \[(P˄Q)˅(P˄R)\] | \[P˄R\] | \[P˄Q\] | \[R\] | \[Q\] | \[P\] |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | T | F | T | F | T | T |
| T | T | T | T | F | T | F | T |
| F | F | F | F | F | F | F | T |
| F | T | F | F | F | T | T | F |
| F | T | F | F | F | F | T | F |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
الجمل الشرطية، والمعكوس والمكافئة العكسية، والجمل ثنائية الشرط
إن أهمّ نوعٍ من القضايا في الرياضيات هو الجمل التي تأتي على شكل: "إذا كان \(P\)، فإن \(Q\)". ومن الأمثلة عليها: "إذا كان مَيْلَا الخطَّيْن المستقيمَيْن متساويَيْن، فإن المستقيمَيْن متوازيان".
الجمل الشرطية
على افتراض أن \(P\) و \(Q\) قضيتان، فإن الجملة الشرطية (Conditional Sentences) \(P\rightarrow Q\) (تُقرَأ \(P\) تؤدي إلى \(Q\)) هي القضية: "إذا كان \(P\)، فإن \(Q\)". تُسمَّى القضية \(P\) المقدّمة أو الفرضية (Hypothesis or Antecedent)، والقضية \(Q\) النتيجة أو التالي (Conclusion or Consequent)[8].
ويُكافِئ الجملة الشرطية \(P\rightarrow Q\) "أن تكون المقدمة خطأً أو تكون النتيجة صوابًا"، أي إن \(P\rightarrow Q\) تُكافِئ القضية \(~P˅Q\).
ملحوظة:في القضية الشرطية \(P\rightarrow Q\)، فإن جميع التعابير الآتية تؤدي إلى المعنى نفسه:
- \(P\) هي شرط كافٍ لـــ \(Q\) ( \(P\)is sufficient condition for \(Q\)).
- \(Q\) هي شرط ضروري لـــP ( \(Q\) is necessary for \(P\)).
- \(P\) تقتضي \(Q\) ( \(P\) impllies \(Q\)).
- \(Q\) تُستنتج من \(P\) ( \(Q\) provided \(P\)).
كما في قيم جدول الحقيقة للجمل الشرطية \(P\rightarrow Q\) (الجدول 6).
| [الجدول 6] - جدول الحقيقة للقضية \(P\rightarrow Q\) |
| \[P\rightarrow Q\] | \(Q\) (النتيجة) | \(P\) (المقدمة) |
| T | T | T |
| F | F | T |
| T | T | F |
| T | F | F |
ومن الأمثلة على الجمل الشرطية ما يأتي:
- إذا كان \(x\) عددًا زوجيًا، فإن \(x+1\) عددٌ فردي.
- إذا كان \(x^{2}\) عددًا فرديًا، فإن \(x\) عدد فردي.
- إذا كان كل عدد طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل حاصل جمع عددَيْن أوليَّيْن، فإن كل عدد طبيعي فردي أكبر من 5 يمكن كتابته على شكل حاصل جمع ثلاثة أعداد أولية.
المعكوس والمكافئة العكسية
في المعكوس والمكافِئة العكسية (Converse and Contrapositive)، إذا كانت \(P\) و \(Q\) قضيتَيْن، فإن[9]:
- معكوس الجملة \(P\rightarrow Q\) هو \(Q\rightarrow P\) (Converse).
- المكافِئة العكسية للجملة \(P\rightarrow Q\) هي \(~Q\rightarrow ~ P\) (Contrapositive).
مثال: إذا كانت الجملة الشرطية هي: "إذا كان الاقتران \(f(x)\) قابلًا للاشتقاق عند \(x=c\)، فإنه متّصلٌ عند \(x=c\)"؛ فإن المعكوس هو: "إذا كان الاقتران \(f(x)\) متصلًا عند \(x=c\)، فإنه قابل للاشتقاق عند \(x=c\)".
والمكافِئة العكسية هي: "إذا كان الاقتران \(f(x)\) غير متصل عند \(x=c\)، فإنه غير قابل للاشتقاق عند \(x=c\)".
ترتبط الجملة الشرطية مع المكافِئة العكسية والمعكوس بعلاقة وثيقة تُحدّدها النظرية الآتية:
مبرهنة: إذا كانت \(P\) و \(Q\) قضيتَيْن، فإن:
- \(P\rightarrow Q\) تكافِئ \(~Q\rightarrow ~P\)
- \(P\rightarrow Q\) لا تكافِئ \(Q\rightarrow P\)
البرهان (جدول الحقيقة 7):
[الجدول 7] - جدول الحقيقة للقضايا \(P\rightarrow Q\) و \(~Q\rightarrow ~P\) و \( Q\rightarrow P\)
| \[~Q\rightarrow ~ P\] | \[Q\rightarrow P\] | \[P\rightarrow Q\] | \[~Q\] | \[~P\] | \[Q\] | \[P\] |
| T | T | T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T |
| T | F | T | F | T | T | F |
| T | T | T | T | T | F | F |
الجمل ثنائية الشرط
في الجمل ثنائية الشرط (Biconditional Sentences)، إذا كانت \(P\) و \(Q\) قضيتَيْن، فإن الجملة ثنائية الشرط \(P\leftrightarrow Q\) هي \(P\)، إذا وفقط إذا \(Q\)[10].
تكون الجملةُ ثنائيةُ الشرط \(P\leftrightarrow Q\) صوابًا إذا كانت للمقدّمة والنتيجة قِيَمُ الحقيقة نفسُها (الجدول 8).
| [الجدول 8] - جدول الحقيقة للقضية \(P\leftrightarrow Q\) |
| \[P\leftrightarrow Q\] | \[Q\] | \[P\] |
| T | T | T |
| F | F | T |
| F | T | F |
| T | F | F |
ترتبط جميعُ أدوات الربط المنطقية السابقة بعضُها ببعض وفقًا للنظرية التي تنصّ على ما يأتي[11]:
مبرهنة: إذا كانت \(P\)، \(Q\)، \(R\) ثلاث قضايا، فإن:
- \(P\leftrightarrow Q\) تكافئ \((P\rightarrow Q)˄(Q\rightarrow P)\)
- \(~(P˄Q)\) تكافئ \(~P˅~ Q\)
- \(~ (P˅Q)\) تكافئ \(~ P˄~Q\)
- \(~ (P\rightarrow Q)\) تكافئ \(P˄ ̴ Q\)
- \(~(P˄Q)\) تكافئ \(P\rightarrow ~ Q\)
- \(P˄(Q˅R)\) تكافئ \((P˄Q)˅(P˄R)\)
- \(P˅(Q˄R)\) تكافئ \((P˅Q)˄(P˅R)\)
وفيما يأتي بعض الأمثلة لترجمة الجمل الشرطية إلى رموز:
مثال: اكتب الجمل الآتية باستخدام الرموز:
- المجموعة \(U\) مجموعة متراصّة (Compact) إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة.
- إذا كان \(n\) عددًا صحيحًا، فإنه عدد زوجي أو فردي.
- إذا كان \(k\) عددًا أوليًّا يقسِم \(ab\)، فإن \(p\) يقسم \(a\) أو \(b\).
الحلّ:
- بافتراض أن \(P\): المجموعة \(U\) مجموعة متراصّة (Compact)؛ و \(Q\): المجموعة \(U\) مجموعة مغلقة ومحدودة، فإن الجملة تُترجم إلى \(P\leftrightarrow Q\).
- بافتراض أن \(P\): \(n\) عدد صحيح، و \(Q\): \(n\) عدد زوجي، و \(R\): \(n\) عدد فردي، فإن الجملة تُترجَم إلى \(P\rightarrow (Q˅R)\).
- بافتراض أن \(P\): \(k\) عدد أولي، و \(Q\): \(k\) يقسم \(ab\)، و \(R\): \(k\) يقسم \(a\)، و \(S\): \(k\) يقسم \(b\)؛ فإن \((P˄Q)\rightarrow (R˅S)\).
أهمية المنطق الاقتراحي
للمنطق الاقتراحي تطبيقات عدّة في مجالات مختلفة من الرياضيات وعلوم الحاسوب والفلسفة واللغويات، إذ يُوفّر أساسًا للاستدلال الرياضي الصارم، ويساعد على إضفاء الطابع الشكلي (Formal) على المبرهنات والبراهين الرياضية، فيجعلها أكثر دقّةً وقابليةً للفهم.
وتُعَدّ أهمية المنطق الاقتراحي من الركائز الأساسية لفهم البنية الصورية التي تقوم عليها الرياضيات الحديثة، إذ لا يقتصر دَوْره على دراسة العبارات المنطقية وقِيَم الصواب والخطأ، بل يُمثّل الإطار المنهجي الذي يُنظّم التفكير الرياضي ويضبط صحّة الاستدلالات، فهو اللغة الأولى التي تُصاغ بها القوانين، والأداة التي تُبنى بها البراهين، والمعيار الذي تُقاس به سلامة النتائج واتّساقها المنطقي.
وتكمن أهميته في كونه الأساسَ الصوري لكل برهان رياضي، إذ يمكن تحليل أي برهان على أنه سلسلة من القضايا المترابطة باستخدام أدوات الربط المنطقي، بحيث تؤدي صحة المقدّمات وسلامة البنية الاستدلالية إلى صحة النتيجة. من خلال هذا الدور، يُوفِّر المنطق الاقتراحي الإطار العقلي واللغوي الذي يضمن خلوّ البراهين من التناقض، ويُمكِّن من التمييز بين الاستدلال الصحيح والحدس غير المنضبط[12].
يرتبط المنطق الاقتراحي ارتباطًا وثيقًا بمختلف فروع الرياضيات؛ ففي الجبر المجرّد (Abstract Algebra) يُستخدم في صياغة التعريفات والبراهين البنيوية؛ وفي نظرية المجموعات يُمثّل الأداة المنطقية التي تُبنى بها القوانين الأساسية والعلاقات بين المجموعات. كذلك يعتمد التحليل الرياضي (Mathematical Analysis) في بنيته البرهانية على صِيَغٍ منطقيةٍ دقيقةٍ تُنظّم العلاقة بين الفرضيات والنتائج. يمتدّ تأثير هذا الفرع كذلك إلى علوم الحاسوب النظرية (Theoretical Computer Science)، حيث يُعَدّ الأساس المنطقي لتصميم الخوارزميات والتحقّق من صحّتها. لذلك، لا يُنظر إلى المنطق الاقتراحي بوصفه فرعًا ثانويًا، بل بوصفه قاعدةً منهجيةً تُوحِّد فروع الرياضيات ضمن إطار منطقي متماسك[13].
[1] “Propositional Calculus,” Encyclopedia Britannica, accessed on 7/3/2026, at: https://acr.ps/1L9B9Ot
[2] Ibid.
[3] Douglas Smith, Maurice Eggen & Richard St. André, A Transition to Advanced Mathematics, 8th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2014), pp. 1-18.
[4] Ibid.
[5] Iqbal H. Jebril, Hemen Dutta & Ilwoo Cho, Concise Introduction to Logic and Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2021), pp. 3-10.
[6] Ibid.
[7] عمران قوبا، الجبر 1: مبادئ الجبر المجرد، ط 2 (دمشق: المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا، 2009)، ص 1-6.
[8] William Johnston & Alex M. McAllister, A Transition to Advanced Mathematics: A Survey Course (Oxford, New York: Oxford University Press, 2009), pp. 22-30.
[9] Ibid.
[10] Ibid.
[11] Smith, Eggen & St. André, op. cit.
[12] Johnston & McAllister, chapter 2.
[13] Joseph A. Gallian, Student Solutions Manual Contemporary Abstract Algebra, 8th ed. (Boston, Cop.: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013); Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. (New York: McGraw-Hill, 1976); Smith, Eggen & St. André, op. cit.
المراجع
العربية
قوبا، عمران. الجبر 1: مبادئ الجبر المجرد.ط 2. دمشق: المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا، 2009.
الأجنبية
Gallian, Joseph A. Student Solutions Manual Contemporary Abstract Algebra. 8th ed. Boston, Cop.: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013.
Jebril, Iqbal H., Hemen Dutta & Ilwoo Cho. Concise Introduction to Logic and Set Theory. Boca Raton, FL: CRC Press, 2021.
Johnston, William & Alex M. McAllister. A Transition to Advanced Mathematics: A Survey Course. Oxford, New York: Oxford University Press, 2009.
Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis.3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1976.
Smith, Douglas, Maurice Eggen & Richard St. André. A Transition to Advanced Mathematics. 8th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2014.
“Propositional Calculus.” Encyclopedia Britannica. at: https://acr.ps/1L9B9Ot
