المستوى

المستوى (Plane)، أو السطح المستوي في الرياضيات، هو سطح منبسط ذو بُعدَيْن، يمتد بلا حدود في الاتجاهات جميعها من دون أي انحناء، ويُعَدّ مفهومًا أساسيًا في الهندسة الإقليدية {{الهن​دسة الإقليدية: فرع من الرياضيات، وضع أسُسَها إقليدس في كتابه العن​اصر ​(Elements) نحو عام 300 ق. م.، وتقوم على بديهيات ومسلمات تدرس خصائص الأشكال في المستوى والفضاء، مثل النقاط والمستقيمات والدوائر والمثلثات، وتُشكّل الأساس للهندسة التقليدية والتطبيقات العلمية.}}، إذ يتميّز بكونه مسطحًا تمامًا وذا بُعدَيْن: الطول والعرض. يُعرف المستوى هندسيًا بأنه مجموعة من النقاط التي تحقق معادلة خطية في نظام إحداثيات معين، يُرمَز له بأحد حروف الهجاء: \(A, B, C, \ldots \)، أو بثلاثة أو أربعة حروف تُمثّل نقاطًا تقع عليه، وليست على استقامة واحدة، مثل المستوى \(a,b,c\)، أو المستوى \(a,b,c,d\).

​تُعَدّ الهندسة (Geometry) أحد أقدم فروع الرياضيات، إذ تعود أصول دراستها إلى الحضارات القديمة، مثل الإغريق والمصريين والبابليين في عصور ما قبل الميلاد، وقد استمرت دراسته​ا وتطورها في العصور الإسلامية. والهندسة الفضائية (Space Geometry) هي فرع من فروع الهندسة، يُعنى بدراسة الأشكال الهندسية في الفضاء الثلاثي الأبعاد {{الفضاء الثلاثي الأبعاد: (Three-dimensional space) فضاء رياضي يُستخدم لوصف الأشكال التي تمتلك ثلاثة أبعاد، هي الطول والعرض والارتفاع. يُمثَّل هذا الفضاء باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية، إذ تُحدَّد النقاط بناءً على الإحداثيات \((x,y,z)\).}}، إذ يتعامل مع المجسمات الهندسية مثل المكعبات، والأسطوانات، والمخاريط، والكرات، والهرم، وغيرها.[1]

تهدف الهندسة الفضائية إلى تحليل خصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد، وإيجاد العلاقات الهندسية بينها، علاوة على حساب المساحات السطحية والأحجام، وهي امتداد للهندسة الإقليدية التي تركز في الأساس على الأشكال المستوية في البُعدَيْن. تؤدي الهندسة الفضائية دورًا مهمًا في كثير من التطبيقات العلمية والهندسية، مثل التصميم الهندسي، والعمارة، والهندسة الميكانيكية، والرسومات ثلاثية الأبعاد، وعلم الفلك​[2].

تُعدّ الهندسة الإقليدية النموذج التقليدي للهندسة التي تُدرَّس في المدارس، وهي تقوم على مجموعة من المسلمات {{المُسلَّمة: (Postulate) عبارة تُفترَض صحتُها من دون برهان داخل نسق رياضي أو هندسي محدّد، وتُستخدَم بوصفها أساسًا لصياغة نظريات ذلك النظام وتطويره. تُعَدّ المسلَّمات أدوات تأسيسية تُقبَل وتُفهَم ويُسلَّم بصحتها استنادًا إلى الحدس أو التصوّر الذهني، من دون الحاجة إلى إثبات منطقي مستقل.}} أو البديهيات {{البديهية: (Axiom) عبارة رياضيّة أو منطقيّة تُفترَض صحتُها من دون الحاجة إلى إثبات، وهي اللَّبِنات الأولى في بناء أيّ منظومة رياضيّة أو منطقية، ويُشتَقّ منها ما يليها من تعاريف ومبرهنات وفق قواعد الاستدلال المنطقي.}} التي تُعدّ صحيحة من دون الحاجة إلى إثبات، وتُبنى عليها النظريات الهندسية الأخرى. تتعامل الهندسة الإقليدية بشكل رئيس مع الأشكال المسطحة، مثل المثلثات والمربعات والدوائر في الفضاء ثنائي الأبعاد {{الفضاء ثنائي الأبعاد: (Two-dimensional space) فضاء رياضي يُستخدم لوصف الأشكال التي تمتلك بُعدَيْن فقط، هما الطولوالعرض. ويُمثَّل هذا الفضاء باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية، إذ تُحدَّد النقاط بناءً على الإحداثيَّيْن \((x,y)\).}}، وتُسمّى في بعض الأحيان بالهندسة المستوية، وتُطبَّق أيضًا في الفضاء الثلاثي الأبعاد الذي يحتوي على الأشكال الهندسية التقليدية، التي تُسمّى بالهندسة الفضائية. في الواقع، حتى النصف الثاني من القرن التاسع عشر، عندما جذبت الهندسات اللّاإقليدية انتباه علماء الرياضيات، كانت الهندسة تعني الهندسة الإقليدية، فهي تُعدّ الهندسة الأشيع في التفكير الرياضي العام[3].

تشمل الهندسة الإقليدية عددًا من الأسس، ومنها[4]:

1. النقطة: شيء ما لا جزء له لا يمتلك أبعادًا، أي إنها لا تحتوي على طول أو عرض أو عمق، بل تُمثّل موقعًا محددًا في الفضاء.
2. الخط: شكل هندسي له بعد واحد فقط (الطول)، ولا يمتلك عرضًا أو سمكًا، ويمكن مدّه في كلا الاتجاهين إلى ما لا نهاية.
3. المستوى: هو سطح يمتد بلا حدود في بُعدَيْن (الطول والعرض)، ولكنه لا يمتلك سمكًا، ويُعرف بأنه مجموعة لا نهائية من النقاط.

في نظام إقليدس الهندسي، لا يوجد تعريف مباشر لمفهوم الفضاء كما هي الحال مع النقطة والخط والمستوى، إذ لم يذكر إقليدس في كتابه أصول الهندسة، المسمى بالعربية كتاب عناصر الهندسة أو الأركان، تعريفًا صريحًا له، بل يُستنتَج المفهوم ضمنيًا من المسلَّمات والبديهيات التي وضعها، والتي تصف كيفية تفاعل النقاط والخطوط والمستويات داخل هذا النظام.

أما في الرياضيات الحديثة، فإن الفضاء يُعرَّف بشكل أكثر تجريدًا، ويأخذ مفاهيم أوسع مثل الفضاء الإقليدي \(\left(\mathbb{R}^{n}\right)\)، إذ يمكن تمثيل النقاط بإحداثيات عددية. كذلك الفضاءات المتجهية في الجبر الخطي، التي تُستخدَم في عدد من التطبيقات الهندسية والفيزيائية.

الفضاء هو الامتداد غير المحدود، الذي يحتوي على النقاط والخطوط والمستويات والأشكال الهندسية، ويتميز بعدد من الأبعاد التي تُحدّد مواضع العناصر داخله، ففي الهندسة الإقليدية يكون ثلاثي الأبعاد (الطول، والعرض، والارتفاع)، وفي فروع أخرى من الرياضيات، يمكن أن يكون بعده أعلى أو مختلف الخصائص.

الفضاء الإقليدي هو نوع من الفضاء في الهندسة يمكن أن يكون ثنائي الأبعاد أو ثلاثيها. في هذا الفضاء، تُستخدَم قواعد الهندسة الإقليدية ومبادئها، ويُمكن أن يشير أيضًا إلى فضاءات بأي عدد من الأبعاد، إذ تُحدَّد النقاط بإحداثيات واحدة لكل بعد. تُحسب المسافة بين نقطتين باستخدام صيغة محددة، ومن ثم فإنه يُقصَد بالهندسة الفضائية هندسة إقليدس في الفضاء الثلاثي الأبعاد، في حين أن الهندسة التي تهتم بدراسة الأشكال الهندسية التي تقع نقاطها كلها في مستوى واحد، تُسمّى الهندسة المستوية.

المستوى

من المفاهيم الأساسية في الهندسة الإقليدية النقطة، وتتحدّد بموقع ليست له أبعاد (طول، عرض، ارتفاع)، ويُرمَز لها بأحد أحرف الهجاء: \(A,B,C,\ldots \). أما المستقيم، فيتكوّن من مجموعة من النقط غير المنتهية الواقعة على استقامة واحدة، ويمتد من طرفَيْه إلى ما لا نهاية، وهو ذو بعد واحد، ويُرمَز له عادةً بأحد حروف الهجاء أو بنقطتَيْن واقعتَيْن عليه.

المستوى: هو سطح منبسط ذو بُعدَيْن، يمتد بلا حدود من الجهات كلها، وغالبًا ما يُمثَّل هندسيًا لأغراض الدراسة بمنطقة رباعية، ويُرمَز له بأحد حروف الهجاء، أو بثلاثة أحرف (أو أربعة) تُمثّل ثلاث نقاط (أو أربعًا) تقع عليه، وليست على استقامة واحدة (الشكل 1)، وهو يُمثّل المستوى \(X\) أو المستوى \(a,b,c\)، أو المستوى \(a,b,c,d\)[5].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​​ومن الأمثلة على المستويات سطح الطاولة، وسطح الجدار، وسطح ملعب كرة القدم. إن دراسة العلاقة بين النقاط والمستقيمات التي يحتويها مستوى واحد، تُسمّى الهندسة المستوية، التي هي هندسة إقليدس ثنائية الأبعاد، والتي يمكن تمثيلها في المستوى البياني.

تندرج دراسة المستويات في الهندسة الإقليدية تحت دراسة الهندسة الفراغية، أو هندسة المجسمات، وقد عرّف إقليدس الجسم الصلب (المجسم) بأنه شكل له طول وعرض وعمق أو ارتفاع. في المراحل الدراسية الأساسية، يدرس الطلاب كثيرًا من المجسّمات، مثل الأسطوانة ومتوازي المستطيلات والكرة، وهي تُمثّل أشكالًا هندسية ذات ثلاثة أبعاد: طول، وعرض، وارتفاع (الشكل 2)[6].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​وبالنظر إلى المحيط الخارجي، توجد أجسام كثيرة ثلاثية الأبعاد، مثل البنايات والأثاث والسيارات. إن الدراسة الهندسية لمثل هذا النوع من الأشكال التي تشغل حيزًا في الفضاء، تُسمّى في بعض الأحيان بالهندسة الفضائية، التي هي ذاتها هندسة إقليدس للأشكال ثلاثية الأبعاد (أو المجسمات)، إذ يُعرَف الفضاء في الهندسة بأنه مجموعة غير منتهية من النقاط تحوي المستقيمات والمستويات، ومن ثم فإن الهندسة الفضائية تهتم بدراسة العلاقة بين تلك المستقيمات والمستويات التي يحويها الفضاء.

القضايا الأساسية في الهندسة الفضائية

بُنِيت الهندسة الإقليدية على مفردات أولية غير معرّفة مثل النقطة والمستقيم، وتعريفات ومسلَّمات يُؤخَذ بصحتها من دون برهان، ونظريات يمكن إثبات صحتها. فيما يأتي القضايا الأساسية (Propositions) المتعلقة بالهندسة الفضائية التي قدمها إقليدس، والتي هي بطبيعة الحال مستمدة من المسلَّمات الخمس للهندسة الإقليدية[7]:

تعريف: إذا وقعت مجموعة نقاط على مستقيم واحد تُسمّى نقاطًا مستقيمة، وإذا وقعت في مستوى واحد تُسمّى نقاطًا مستوية.

من المعلوم أن النقطة يمرّ بها عدد لا نهائي من المستقيمات، وهذا ينطبق على النقطة في الفضاء، أما عدد المستقيمات التي تمر بنقطتَيْن مختلفتَيْن في الفضاء، فتحدده القضية الآتية:

قضية 1: أي نقطتَيْن مختلفتَيْن في الفضاء يمر بهما مستقيم واحد.

من الملاحظ من هذه القضية أن أي مستقيم في الفضاء يحوي نقطتَيْن على الأقل.

قضية 2: إذا تقاطع مستقيمان مختلفان فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة.

بالنظر إلى (الشكل 3)، يُلحظ أن النقاط الثلاث \(a,d,b\) تقع في مستويَيْن مختلفَيْن هما: \(abe\)، \(abc\). في حين تقع النقاط الثلاث \(a,b,c\) في مستوى واحد فقط هو \(abc\)، وهذا ما يُميّز مجموعة النقاط \(a,d,b\) عن مجموعتَي النقاط \({a,b,e}\)، و \({a,b,c}\)، إذ إن النقاط في المجموعة الأولى هي نقاط مستقيمة، أما النقاط في المجموعتَيْن الثانية والثالثة فغير مستقيمة، وهذا ما تنص عليه القضية الثالثة.

قضية 3: لأي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يوجد مستوى واحد فقط يحويها.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​وبالاعتماد على القضية 3 يتعيّن المستوى بإحدى الحالات الثلاث الآتية:

1. مستقيم ونقطة خارجة (الشكل 4)، وذلك لأن المستقيم يحوي نقطتَيْن على الأقل، وهناك نقطة خارج المستقيم، فيصبح هناك ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة، وتُعيّن مستوًى واحدًا.
   

   

   

   

   

   حذف الصورة؟

   سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

   حذف إلغاء
   ​​
   

2. مستقيمان متقاطعان (الشكل 5)، إذ إن أحد المستقيمَيْن يحوي نقطتَيْن على الأقل، ويمكن اختيار نقطة ثالثة على المستقيم الآخر، بحيث تختلف عن نقطة التقاطع، وبذلك يكون هناك ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة، وتعيّن مستوًى وحيدًا في الفضاء.
   

3. مستقيمان متوازيان، إذ يمكن اختيار نقطتَيْن على أحد المستقيمين، ونقطة ثالثة على المستقيم الآخر، فتتوفّر ثلاث نقاط على الأقل لا تقع على استقامة واحدة، وتعيّن مستوًى واحدًا.

قضية 4: من نقطة خارج مستقيم يمكن رسم مستقيم واحد فقط يوازيها (الشكل 7).

قضية 5: إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الذي يحويهما يقع كاملًا في المستوى نفسه.

قضية 6: إذا تقاطع مستويان مختلفان فإن تقاطعهما مستقيم.

يُسمّى المستقيم المشترك بين المستويَيْن خط تقاطع المستويين (الشكل 8).

​ملحوظتان:

1. يمكن رسم مستوى واحد فقط يحوي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة، وإذا اشترك مستويان في ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة فإنهما ينطبقان.
2. إذا اشترك مستويان في نقطة واحدة فإنهما يشتركان في نقطة أخرى على الأقل.
   

تمثيل المستوى بمعادلة رياضية في الفضاء الثلاثي الأبعاد

من خصائص المستوى في الرياضيات أنه يمكن تمثيله بمعادلة رياضية تصف النقاط جميعها التي تنتمي إليه. في الفضاء الثلاثي الأبعاد، يُعبَّر عن المستوى بمعادلة خطية من الشكل[8]:

\[a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y- y_{0}\right)+c\left(z-z_{0}\right)=0.\]

​بحيث \(a,b, c\) هي معاملات تُمثِّل مركبات المتجه العمودي (Normal Vector) \(n=\left(a,b,c\right)\) على المستوى، و \(\left(x_{0}, y_{0} ,z_{0}\right)\) هي إحداثيات أي نقطة تقع على المستوى.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​​أمثلة على معادلة المستوى في الفضاء الثلاثي الأبعاد:

المثال الأول: مستوى يمر بنقطة ومتعامد مع متجه:

إذا كان المستوى يمر بالنقطة \(P_{0}\left(-3, 1 ,3\right)\) وكان متعامدًا على المتجه \(n=\left(2, 4 ,8\right)\)، فإن معادلته تُكتَب بالشكل:

\[2\left(x+3\right)+4\left(y-1\right)+8\left(z-3\right)=0.\]

بعد التبسيط:

\[2x + 4y + 8z-22=0,\]

بضرب الحدود في المعادلة وتبسيطها، نحصل على معادلة المستوى بالشكل العام:

\[A=ax + by + cz + d=0,\]

\[A=2x + 4y + 8z-22=0.\]

المثال الثاني: مستوى أفقي يوازي محور \(xy\)

إذا كان المستوى أفقيًا وموازيًا للمستوى \(xy\) عند ارتفاع \(z=5\)، فإن معادلته تكون:

\[z=5.\]

وهذا يعني أن النقاط جميعها على المستوى لها قيمة الإحداثي \(z\) نفسها.

المثال الثالث: مستوى رأسي يوازي محور \(yz\)

إذا كان المستوى يوازي المحور \(yz\) ويمر عند \(x=-2\)، فإن معادلته تكون:

\[x=-2\]

وتعني أن النقاط جميعها في هذا المستوى لها قيمة الإحداثي \(x\) نفسها.

المثال الرابع: مستوى يمر بثلاث نقاط

على افتراض أن المستوى يمر بالنقاط \(A (1,2,3)\)، و\(B(4,5,6)\) و \(C(7,8,9)\)، فيمكن تحديد معادلته باستخدام ضرب المتجهات، وإيجاد المعادلة الخطية التي تحقق مرور النقاط جميعها فيها.

تمثيل المستوى رياضيًا يساعد في فهمه وتحليله بسهولة، ويمكن تعريفه بعدة طرق، منها: بمتجه عمودي ونقطة معلومة؛ ومعادلة عامة من الشكل \(A=ax + by + cz + d=0 \)؛ ومستوى أفقي أو رأسي بمعادلات بسيطة مثل \(x=c\) أو \(z=d \)؛ وبتمريره عبر ثلاث نقاط غير متوازية.

المراجع

Anton, Howard, Irl C. Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10^th ed. Hoboken, NJ: Wiley John Wiley & Sons, 2009.

Euclid. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. T. L. Heath (trans.). Cambridge: Cambridge University Press, 1908.

Fujita, Taro et al. “Spatial Reasoning Skills about 2D Representations of 3D Geometrical Shapes in Grades 4 to 9.” Mathematics Education Research Journal. vol. 32 (2020). pp. 235-255.

Straume, Eldar. “A Survey of the Development of Geometry up to 1870.” arXiv. 4/9/2014. at: https://acr.ps/1L9F2ty

[1] Eldar Straume, “A Survey of the Development of Geometry up to 1870,” arXiv, 4/9/2014, accessed on 14/10/2025, at: https://acr.ps/1L9F2ty

[2] Taro Fujita et al., “Spatial Reasoning Skills about 2D Representations of 3D Geometrical Shapes in Grades 4 to 9,” Mathematics Education Research Journal, vol. 32 (2020), pp. 235-255.

[3] Euclid, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, T. L. Heath (trans.) (Cambridge: Cambridge University Press, 1908).

[4] Ibid.

[5] Howard Anton, Irl C. Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10th ed. (Hoboken, NJ: Wiley John Wiley & Sons, 2009), pp. 813-832.

[6] Euclid, op. cit.

[7] Ibid.

[8] Anton, Bivens & Davis, op. cit.