المحيط

الموجز

المحيط (Perimeter) يُعد مفهومًا من المفاهيم الأساسية في الرياضيات، إذ يُستخدم في وصف الأشكال المغلقة ثنائية الأبعاد ودراسة خصائصها الهندسية. فكما تعبّر المساحة عن قياس السطح الذي يشغله شكل ثنائي الأبعاد، فإن المحيط يعبّر عن طول الحدّ المغلق للشكل المستوي، أي الطول الكلي للأضلاع أو المنحنيات التي تُحيط بالشكل.

وتتجلّى أهمية المحيط في العديد من التطبيقات الحياتية والهندسية، مثل قياس أطوال الأسوار، وتحديد حدود الأراضي، وتصميم الحواف في المنشآت الهندسية ومجالات البناء والعمارة. ويمتد استخدامه أيضًا إلى ميادين أكثر تقدّمًا، كالهندسة التحليلية وحساب أطوال المنحنيات وتصميم المسارات الهندسية، ما يجعل فهم ماهية المحيط خطوةً أساسيةً لفهم القياس الهندسي في أبعاده النظرية والتطبيقية.

المفهوم

يُعرَّف المحيط في الرياضيات بأنه القياس الخطي الكلي للحدّ الخارجي لشكل هندسي مغلق. أي في المضلعات مثلًا هو مجموع أطوال جميع الأضلاع التي تُحيط بالشكل، وفي الأشكال المنحنية يمثل طول الحدّ المنحني المغلق. وهو كمية تعبّر عن طول الحدّ الخارجي المحيط بالشكل، وتُقاس بوحدات الطول مثل السنتيمتر أو المتر أو غيرها. ويُعَدّ المحيط من المقاييس الأساسية في الهندسة المستوية، ومن ثمّ يوفّر وصفًا دقيقًا لطول الحدود الخارجية لأي شكل هندسي ثنائي الأبعاد[1].

وتكمن أهمية المحيط في كونه أداة هندسية أساسية تُستخدم في العديد من التطبيقات العملية والعلمية، مثل تقدير أطوال الأسوار، وتحديد حدود الأراضي، وتصميم الإطارات والأشكال الهندسية الدقيقة. ويُمثّل أيضًا مفهومًا تمهيديًا لدراسة العديد من المفاهيم الهندسية الأكثر تعقيدًا. فإن المحيط يجسّد الفكرة الرياضية التي تربط بين الشكل وحدوده، وبين الكمّ والامتداد، وتختلف طريقة حسابه باختلاف نوع الشكل الهندسي.

المحيط والأشكال الهندسية

يرتبط مفهوم المحيط ارتباطًا وثيقًا بالأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد، إذ يمكن تحديد محيط أي شكل هندسي مغلق ثنائي الأبعاد بحساب طول حدوده الخارجية. ففي حالة المضلعات مثل المربع والمستطيل والمثلث وشبه المنحرف ومتوازي الأضلاع، إضافةً إلى متعددات الأضلاع عمومًا يمكن تعريف صيغة حساب المحيط بشكل عام على النحو الآتي:

المحيط = مجموع أطوال أضلاع الشكل الهندسي.

ويُعبَّر عن ذلك رياضيًا كما يلي:

إذا كان المضلع يتكوّن من \(n\) أضلاع أطوالها \(a_{1},a_{2},...,a_{n}\)، يمكن حساب محيطه باستعمال الصيغة التالية:

\[P=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \]

أمّا في حالة الأشكال الهندسية التي تتضمّن حدودًا منحنية مثل الدائرة أو بعض أجزاء الدائرة كالقطاع الدائري، فإن صيغة حساب المحيط تختلف تبعًا لطبيعة الشكل المدروس، وذلك لاختلاف البنية الهندسية المكوِّنة لحدوده. وفي ما يلي توضيح لكيفية حساب المحيط لأهم الأشكال الهندسية[2].

المربع

المربّع هو شكل هندسي مستوٍ يتكوّن من أربعة أضلاع مستقيمة متساوية في الطول وأربع زوايا قائمة، ويكون مجموع قياسات زواياه360∘ ويوضح (الشكل 1) المربع \(ABCD\) حيث طول كل ضلع يساوي \(a\).

الشكل 1

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

بالاعتماد على الصيغة العامة لمحيط المضلعات، فإن محيط المربع \(ABCD\) يساوي مجموع أطوال أضلاعه الأربعة، أي:

\[P=a+a+a+a=4a\]

وذلك لأن جميع أضلاع المربّع متساوية في الطول. وبما أنّ \(P\) يمثّل قياسًا خطيًا لطول الحدّ الخارجي للشكل الهندسي، فإنه يُعرَّف فقط عندما تكون أطوال أضلاع الشكل موجبة، وعلى ذلك يكون المحيط مقدارًا موجبًا دائمًا. أمّا الحالة التي تكون فيها جميع الأطوال مساوية للصفر فلا تمثّل شكلًا هندسيًا فعليًا، ولذلك لا تُؤخذ في الاعتبار عند تعريف المحيط أو حسابه.

فمثلًا، لحساب محيط المربع \(ABCD\) الذي طول ضلعه هو 6cm يُطبَّق على صيغة محيط المربع كما يلي:

\[P=4\times 6=24cm \]

المستطيل

المستطيل هو شكل هندسي مستوٍ مغلق يتكوّن من أربعة أضلاع وأربع زوايا قائمة، بحيث يكون كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين في الطول، ويبلغ مجموع زواياه 360 درجة كما الحال في المربع. ويوضح (الشكل 2) المستطيل \(ABCD\) الذي طول أحد ضلعيه \(a\) والآخر \(b\).

الشكل 2

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

ويُحسب محيط المستطيل \(ABCD\) بجمع أطوال أضلاعه الأربعة كما يلي:

\[P=a+a+b+b=2\left(a+b\right),\]

وذلك لأن المستطيل فيه ضلعان متساويان في الطول وآخران كذلك.

\( \)فمثلًا، المستطيل الذي طوله 10cm وعرضه 4cm، يُحسب محيطه باستعمال الصيغة كما يلي:

\[P=2\left(10+4\right)=28cm\]

المثلث

المثلث هو شكل هندسي مستوٍ مغلق يتكوّن من ثلاثة أضلاع مستقيمة تلتقي عند ثلاث نقاط تُسمّى رؤوس المثلث، مكوّنة ثلاث زوايا مجموع قياسها دائمًا 180 درجة، ويمكن أن تتساوى أضلاعه أو تختلف، ويوضح (الشكل 3) المثلث \(ABC\) ذا الأضلاع \(a, b, c\).

الشكل 3

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

يُعرف محيط المثلث \(ABC\) الذي له ثلاثة أضلاع أطوالها \(a\)، \(b\)، و \(c\) باستعمال الصيغة العامة كما يلي:

\[P=a+b+c,\]

ويُذكَر أن أطوال محيط أي مثلث تحقق المتباينة المثلثية، وهي متباينة تعبر عن أن مجموع طولَيْ أي ضلعين في المثلث هو أكبر من طول الضلع الثالث.

وكما ذُكر سابقًا، فإن قيمة المحيط \(P\) تكون موجبة دائمًا لأن أطوال الأضلاع لا يمكن أن تكون سالبة، وبالتالي فإن \(P>0\).

فمثلًا، إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ما هي 4cm، 5cm،7cm فمحيطه يُحسب كما يلي:

\[P=4+5+7=16cm\]

تتعدد أنواع المثلث بناءً على طبيعة أطوال أضلاعه وقياسات زواياه، إلا أنه بشكل عام يمكن حساب محيطه بالصيغة العامة المذكورة نفسها سابقًا. ولتوضيح ذلك أكثر، يُعرض في ما يلي حساب محيط بعض أنواع المثلثات المختلفة.

المثلث المتساوي الأضلاع

وهو المثلث الذي تكون جميع أضلاعه متساوية في الطول، وجميع زواياه متطابقة وتساوي \(60^{∘}\) لكل زاوية. ونظرًا لتساوي الأضلاع، يمكن التعبير عن محيطه بطريقة مبسطة، لذا يكون القانون العام لمحيطه:

\[P=3a,\]

حيث يمثّل \(a\) طول ضلع المثلث.

فمثلًا، إذا كان طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع 6cm، فإن محيطه يساوي:

\[P=3\times 6=18cm\]

ويُلحَظ أن هذا النوع من المثلثات يُعد من أكثر الأشكال الهندسية توازنًا وتناظرًا، ولذلك يُستخدم كثيرًا في التصميمات الهندسية والمعمارية.

المثلث متساوي الساقين

هو المثلث الذي يتساوى فيه ضلعان في الطول بينما يختلف الضلع الثالث عنهما، وتكون الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين متطابقتين. ويُحسب محيطه كما يلي:

\[P=2a+b\]

حيث يمثّل \(a\) طول الساقين و \(b\) طول القاعدة.

فمثلًا، إذا كان طول ساقي المثلث المتساوي الساقين 5cm وطول قاعدته 8cm، فإن محيطه يُحسب كما يلي:

\[P=2\times 5+8=18cm\]

المثلث مختلف الأضلاع

هو المثلث الذي تختلف فيه جميع الأضلاع في الطول كما تختلف جميع زواياه في القياس، ولا يوجد فيه أي تماثل في الأبعاد، ولذلك يُعد الشكل الأكثر عمومية بين أنواع المثلثات. ويُحسب محيطه باستخدام الصيغة العامة للمحيط:

\[P=a+b+c\]

فمثلًا، إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ما هي 4cm،5cm ، 7cm، فإن محيطه يُحسب كما يلي:

\[P=4+5+7=16 cm\]

شبه المنحرف (Trapezoid)

شبه المنحرف هو شكل هندسي مستوٍ يتكوّن من أربعة أضلاع، يوجد فيه زوج واحد فقط من الأضلاع المتقابلة المتوازية يُسمّى القاعدتين، بينما الضلعان الآخران غير متوازيين. ويوضّح (الشكل 4) شبه المنحرف \(ABCD\) الذي طول قاعدتيه المتوازيتين هما \(a\) و \(b\).

الشكل 4

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

يُحسب محيط شبه المنحرف \(ABCD\)الذي له أربعة أضلاع أطوالها \(a\)، \(bو\)، \(cو\)، \(dو\) باستعمال الصيغة العامة كما يلي:

\[P=a+b+c+d\]

فمثلًا، شبه المنحرف الذي طول قاعدتيه المتوازيتين 5cm, 7cm وطول ضلعيه الجانبيين4cm, 3cm يُحسب محيطه باستعمال الصيغة كما يلي:

\[P=5+7+3+4=19cm\]

الدائرة

الدائرة هي شكل هندسي مغلق تتكوّن من جميع النقاط التي تبعد مسافة ثابتة عن نقطة معينة تُسمّى المركز، وتُسمّى تلك المسافة نصف القطر، ويوضح (الشكل 5) دائرة مركزها \(O \)ونصف قطرها \(r\).

الشكل 5

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

يُرمز لمحيط الدائرة عادة بالرمز \(C\). ويُحسب محيط الدائرة بصيغة تختلف عما سبق من الأشكال الهندسية، وذلك بسبب وجود الإنحناء في الشكل الهندسي، ويُحسب محيط الدائرة بالصيغة التالية:

\[C=2\pi r,\]

حيث يمثل \(r\) نصف قطر الدائرة المراد معرفة مقدار محيطها، وأما \(\pi \) عدد ثابت يُقارب 3.141593.

ويُعرف قطر الدائرة بأنه قطعة مستقيمة تمر بالمركز وتصل بين نقطتين من الدائرة، ويساوي ضعف نصف القطر، أي إن قطر الدائرة الذي نصف قطرها \(r\) هو:

\[d=2r\]

وبناءً على ذلك يمكن حساب محيط الدائرة باستخدام القطر كما يلي:

\[C=\pi d\]

فمثلًا، إذا كان نصف قطر دائرة ما طوله 7cm، فإن محيطها يُحسب كما يلي:

\[C=2\pi r=2\pi \times 7=14\pi cm,\]

وإذا استُخدم القطر \(d=2r=2\times 7=14\)، فإن المحيط يُحسب كما يلي:

\[C=\pi d=\pi \times 14=14\pi cm\]

القطاع الدائري

القطاع الدائري هو جزء من الدائرة يُحدَّد بنصفي قطرين وقوس يصل بينهما، وتُقاس زاويته عند مركز الدائرة، ويوضح (الشكل 6) القطاع الدائري \(AOB\) الذي نصف قطره \(r\) وزاويته المركزية \(\theta \)وطول قوسه \(l\).

الشكل 6

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

يُحسب محيط القطاع الدائري بجمع طولي نصفي القطر مع طول القوس، أي:

\[C=2r+L\]

حيث إن \(r\) هي نصف القطر، و \(C\) هو محيط القطاع الدائري و \(L\) هو طول القوس، ويُعطى طول القوس بالصيغة التالية:

\[L=r\theta ,\]

عندما تكون الزاوية المركزية \(\theta \) مقاسة بالراديان.

وبالتعويض في الصيغة الأولى تصبح صيغة حساب محيط القطاع الدائري كما يلي:

\[C=2r+r\theta =r\left(2+\theta \right)\]

فمثلًا إذا كان لدينا قطاع دائري نصف قطره 5cm وزاويته المركزية قائمة \(\left(\theta =\frac{\pi}{2}\right)\)، فإن محيطه يُحسب كما يلي:

\[C=5\left(2+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{20+5\pi}{2}\]

يُلحَظ أن الزاوية القائمة بالراديان هي \(\frac{\pi}{2}\).

المحيط وطول المنحنى

يُعَدّ مفهوم المحيط من المفاهيم الأساسية في الرياضيات والهندسة، إذ يُستخدم لقياس الطول الكلي للحدود الخارجية للأشكال الهندسية. غير أن حساب المحيط يصبح أكثر تعقيدًا عندما تكون حدود الشكل منحنية أو غير منتظمة، وفي هذه الحالة يبرز التكامل بوصفه أداة رياضية دقيقة لحساب طول المنحنى (Arc Length)، الذي يمثل الامتداد الحقيقي للمنحنيات في المستوى أو الفضاء.

ومن خلال مفهوم طول المنحنى يمكن تعميم مفهوم المحيط ليشمل الأشكال الهندسية المعقدة وغير المنتظمة، التي لا يمكن التعامل معها باستخدام القوانين البسيطة للمضلعات أو الدوائر. ويعد هذا التعميم أحد التطبيقات المهمة للتكامل في التحليل الرياضي[3].

الصيغة العامة لطول المنحنى

لحساب محيط الأشكال غير المنظمة، تُعرَّف دالة أو علاقة رياضية معينة بحيث يمثل منحنى هذه الدالة أو العلاقة للشكل المراد حساب المحيط له، كتعريف \(y=f(x)\)، بعد ذلك تُحسب قيمة التكامل التالية[4]:

\[L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx,\]

حيث تمثّل الفترة \([a,b]\) المجال الذي يكون عليه منحنى الدالة مطابقًا لحدود الشكل المراد حساب محيطه.

أو أن تكون العلاقة على الشكل \(x=g(y)\)، ويُحسب التكامل التالي:

\[L=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}dy,\]

حيث إن الفترة \([c,d]\) هي الفترة التي يكون عليها منحنى العلاقة يطابق الشكل المطلوب حساب قيمة محيطه.

وفي أي من الحالتين، يمثل قيمة التكامل المحسوب طول منحنى معين على الفترة التي يُحسب عليها التكامل.

فمثلًا، (الشكل 7) التالي ناتج عن تقاطع المستقيمين \(x=1\) و \(x=0\) مع منحنى الدالة \(f\left(x\right)=x^{2}\) والمحور الأفقي \(x\).

الشكل 7

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

يمكن حساب محيطه عن طريق اتباع ما يلي من الخطوات:

بداية، باستعمال صيغة التكامل السابق لحساب طول المنحنى على هذه الفترة، يكون ما يلي:

\[L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx=\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left(2x\right)^{2}}dx,\]

وهو تكامل تُحسب قيمته عن طريق استخدام ما يُسمى بـ التكامل بالتعويض المثلثي، إذ يُفرض أن:

\[\tan\left(t\right)=2x\implies dx=\frac{1}{2}\sec^{2}\left(t\right)dt,\]

وتكون حدود التكامل تحت هذا الفرض كما يلي:

\[x=0\implies t=0, x=1\implies t=\tan^{-1}(2),\]

إذًا يصبح التكامل على الشكل التالي:

\[L=\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left(2x\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \sqrt{1+\tan^{2}(t)}\sec^{2}(t)dt\]

\[=\frac{1}{2}\int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \sec^{3}(t)dt,\]

وباستخدام النتيجة القياسية:

\[\int_{}^{} \sec^{3}(xdx=)\frac{1}{2}\left|\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)+\ln \left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right|+c,\]

يُستنتج أن قيمة التكامل هي:

\[\left[\frac{1}{4}\left|\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)+\ln \left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right|\right]_{0}^{\tan^{-1}\left(2\right)}\]

وبحساب ناتج طرح تعويض الحد السفلي من تعويض الحد العلوي، يصبح:

\[L\approx 1.48 .\]

وهو طول منحنى الدالة \(f\) على الفترة \([0,1]\).

ويُلحَظ أن الشكل يتكون من منحنى الدالة بالإضافة إلى الحدود المستقيمة، وبالتالي فإن المحيط يُحسب كما يلي:

محيط الشكل = طول المنحنى + طول الحدود المستقيمة.

أما طول المستقيم الرأسي الأيمن الموضح في الشكل، فهو صورة القيمة \(x=1\) في الدالة، أي إنها:

\[f\left(1\right)=1^{2}=1.\]

المستقيم الأفقي الذي يحد الشكل من الأسفل، فهو الفرق بين القيمتين \(x=0\) و \(x=1\) وهي:

\[1-0=1.\]

وبجمع كل هذه الأطوال المحسوبة:

\[1.48+1+1\approx 3.48 ,\]

ينتج محيط الشكل المطلوب.

ويُذكَر أن الأطوال دائمًا تُعامل بقيمتها الموجبة كما ذُكر سابقًا، أي على سبيل المثال لو حُسِب الفرق السابق على الشكل التالي:

\[0-1=-1, \]

فتُؤخذ القيمة المطلقة للمقدار لتمثل الطول المطلوب.

الأهمية

يحتل مفهوم المحيط مكانة محورية في الرياضيات والهندسة، إذ يُستخدم لقياس طول الحدود الخارجية للأشكال الهندسية المغلقة، مثل المضلعات والدوائر. وفي الهندسة التطبيقية، يُعدّ المحيط أساسًا لتقدير المواد اللازمة في أعمال البناء، مثل تحديد أطوال الأسوار أو الإطارات قبل تنفيذ التصميمات.

وفي الفيزياء يظهر مفهوم المحيط بصورة واضحة في دراسة الحركة الدائرية، إذ ترتبط المسافة التي يقطعها الجسم في دورة كاملة مباشرة بمحيط المسار الدائري. أما في الجغرافيا والمساحة، فيُستخدم المحيط لتقدير أطوال الحدود الجغرافية والسواحل وحدود الأراضي الزراعية.

ويؤدي المحيط أيضًا دورًا مهمًا في الرسم الهندسي والتصميم الصناعي عند تحديد الأبعاد للأشكال أو النماذج الهندسية. وفي الرياضيات البحتة، تمثّل دراسة المحيط مدخلًا أساسيًا لفهم مفاهيم أكثر تقدّمًا مثل المساحة، والحجم، والانحناء، والهندسة التفاضلية.

وعلى ذلك، فإن المحيط يُعدّ مفهومًا أساسيًا في الرياضيات والهندسة، ويُجسِّد أحد أهم مظاهر القياس الهندسي في مختلف مجالات المعرفة[5].

المراجع

العربية

حمدان، فتحي خليل. أساسيات التفاضل والتكامل. ط 4. عمّان: دار وائل للنشر والتوزيع، 2008.

الأجنبية

“Perimeter of Trapezoid.” Cuemath, at: https://acr.ps/hBy6F7c

“Polygons, Perimeter, and Circumference.” OpenStax. at: https://acr.ps/hBy6Etm

“What Is Perimeter? Definition, Formula & Examples.” Study.com, 21/11/2023, at: https://acr.ps/hBy6EU5

Anton, Howard, Irl C. Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012.

Stewart, James, Daniel Clegg & Saleem Watson. Calculus: Early Transcendentals. 9th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2020.

“Perimeter of Triangle.” GeeksforGeeks, 23/7/2025, at: https://acr.ps/hBy6Fkj

[1] “What Is Perimeter? Definition, Formula & Examples,” Study.com. 21/11/2023, accessed on 26/4/2026, at: https://acr.ps/hBy6EU5 .

[2] “Perimeter of Trapezoid,” Cuemath, accessed on 26/4/2026, at: https://acr.ps/hBy6F7c; “Perimeter of Triangle,” GeeksforGeeks, 23/7/2025, accessed on 26/4/2026, at: https://acr.ps/hBy6Fkj; “Polygons, Perimeter, and Circumference,” OpenStax, accessed on 26/4/2026, at: https://acr.ps/hBy6Etm

[3] Howard Anton, Irl C. Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012), pp. 371-377

[4] James Stewart, Daniel Clegg & Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2020), 560-567; فتحي خليل حمدان، أساسيات التفاضل والتكامل، ط 4 (عمّان: دار وائل للنشر والتوزيع، 2008)، ص 262-266.

[5] Howard, Bivens & Davis, op. cit.