الموجز
الجوار (Neighbourhood) هو منطقة قريبة حول نقطة معينة في فضاء رياضي، على خط الأعداد يتجسد في فترة مفتوحة صغيرة حول تلك النقطة، وفي الصياغة العامة للطوبولوجيا يفهم القرب عبر المجموعات المفتوحة إذ يمكن الحديث عن حدود واستمرارية وتقارب دون الحاجة إلى قياس عددي للمسافة. وقد ترسخت الدقة المنهجية في تحليل الحدود والاقتراب خلال القرن التاسع عشر، ثم أتاحت الطوبولوجيا، بوصفها نظرية عامة للقرب، تجريد فكرة الجوار إلى فضاءات واسعة تتجاوز خط الأعداد. لذلك يغدو الجوار لغةً موحدة لتعريف الحدّ والاستمرارية ونقاط التراكم، ويُستخدم بصورة محورية في البراهين الرياضية المعاصرة.
تعريفه الرياضي
الجوار هو مفهوم أساسي في التحليل الرياضي، يعبر عن مجموعة صغيرة حول عدد معين، تُعرف إذ تكون تلك المجموعة قريبة من النقطة التي شُكل الجوار من أجلها. ويُصاغ التعريف رياضيًا على الوجه الآتي[1]:
إذا كان \(a\) عددًا حقيقيًا وكان \(\epsilon >0\) عددًا صغيرًا موجبًا، فإن جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) هو المجموعة المعرفة على الشكل:
\[V_{\epsilon }\left(a\right)=\left\{x\in\mathbb{R}: \left|x-a\right|<\epsilon \right\}.\]
وباستخدام خواص القيمة المطلقة، فإن المتباينة \(\left|x-a\right|<\epsilon \) تكافئ:
\[-\epsilon <x-a<\epsilon ,\]
وعليه، فإن إضافة العدد \(a\) لكل جوانب المتتالية، يصبح لدينا:
\[a-\epsilon <x<a+\epsilon ,\]
وعليه فإن جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) يمكن كتابته بصيغة الفترة المفتوحة:
\[V_{\epsilon }\left(a\right)=\left\{x\in\mathbb{R}: \left|x-a\right|<\epsilon \right\}=\left(a-\epsilon ,a+\epsilon \right).\]
ويبين الشكل (1) جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) على خط الاعداد.
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
|
جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) على خط الاعداد
|
أمثلة عليه
يتضح من التعرف السابق أن جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) هي مجموعة جميع الأعداد التي تكون المسافة بينها وبين العدد \(a\) أصغر من العدد \(\epsilon \). لو افترض أن \(a=4\) وأن \(\epsilon =0.2\) فإن جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) ستكون المجموعة[2]:
\[V_{0.2}\left(4\right)=\left\{x\in\mathbb{R}: \left|x-4\right|<0.2\right\}=\left(4-0.2,4+0.2\right)=\left(3.8 , 4.2\right).\]
أحد أهم تطبيقات مفهوم الجوار هو تعريف النهاية، فالدالة \(f:X\rightarrow Y\) تُقال إنها تقترب من العدد \(L\) عندما يقترب المتغير \(x\) من النقطة \(c\) إذا تحقق الشرط الآتي:
لكل عدد موجب \(\epsilon \)، مهما كان صغيرًا، يوجد عدد موجب \(\delta \) يعتمد على العدد \(\epsilon \) إذ إنه لكل قيم \(x\) في المجال التي تحقق المتباينة
\[0<\left|x-c\right|<\delta \]
تكون المسافة بين \(f(x)\) والعدد \(L\) أصغر من العدد \(\epsilon \) ، أي:
\(\left|f(x)-L\right|<\epsilon .\)
من خلال التعريف السابق يُلحظ ما يأتي:
المتباينة \(0<\left|x-c\right|<\delta \) تتضمن أن \(x\neq c\) ، ويمكن إعادة كتابتها لتصبح على الشكل:
\[-\delta <x-c<\delta ,\]
وبإضافة \(c\) لكل أطراف المتباينة تصبح:
\[c-\delta <x<+c+\delta ,\]
أي أن \(x\) ينتمي لجوار \(\delta \) للعدد \(c\) ، لكن كما ذُكر \(x\neq c\) ، وبالتالي \(x\) ينتمي للمجموعة \(V_{\delta }\left(c\right)\left\{c\right\}\) ، أي:
\[x\in V_{\delta }\left(c\right)\left\{c\right\}.\]
أما بالنسبة للمتباينة \(\left|f(x)-L\right|<\epsilon \) فيمكن كتباتها باستخدام خصائص القيمة المطلقة لتصبح على الشكل:
\[-\epsilon <f(x)-L<\epsilon ,\]
وبإضافة العدد \(L\) لكل أطراف المتباينة، تصبح:
\[L-\epsilon <f\left(x\right)<L+\epsilon ,\]
أي أن \(f\left(x\right)\) ينتمي لجوار \(\epsilon \) للعدد \(L\) ، أي:
\[f(x)\in V_{\epsilon }\left(L\right).\]
وبالتالي يصبح تعريف النهاية باستخدام مفهوم الجوار على الوجه الآتي:
لكل عدد موجب \(\epsilon \) (مهما كان صغيرًا)، يوجد عدد موجب \(\delta \) يعتمد على \(\epsilon \) ، إذ إنه إذا كان \(x\) في مجال الدالة وينتمي لجوار \(\delta \) للعدد \(c\) وهو على الشكل \(V_{\delta }\left(c\right)\left\{c\right\}\) ، فإن \(f\left(x\right)\) ينتمي لجوار \(\epsilon \) للعدد \(L\) ، أي \(f(x)\in V_{\epsilon }\left(L\right)\) .
رياضيًا يمكن أن يكتب على الشكل التالي: \(\forall \epsilon >0 , \exists \delta =\delta \left(\epsilon \right)>0\)
إذ إن
\[ f(x)\in V_{\epsilon }\left(L\right) ). \]
لكل النقاط \(x\) التي تحقق
\[x\in V_{\delta }\left(c\right)\left\{c\right\}.\]
تقارب المتتاليات باستخدام الجوار
يقال إن متتالية الأعداد الحقيقية \(\left(x_{n}\right)\) متقاربة للعدد \(L\)، إذا وفقط إذا، كان لأي عدد موجب \(\epsilon \) (مهما كان صغيرًا)، عدد طبيعي \(N\) يعتمد على \(\epsilon \)، فإذا كان مؤشر حدود المتتالية \(n\) أكبر من \(N\) ، فإن المسافة بين الحد العام للمتتالية \(x_{n}\) و \(L\) أصغر من \(\epsilon \) ، أي:
\[\left|x_{n}-L\right|<\epsilon.\]
وباستخدام الجوار يمكن صياغة ذلك على الوجه الآتي:
\[\forall \epsilon >0 , \exists N=N\left(\epsilon \right)>0 : n\geq N \Rightarrow x_{n}\in V_{\epsilon }\left(L\right).\]
خصائصه
يمتاز الجوار للعدد الحقيقي \(a\) بعدد من الخصائص التي تميزه عن غيره من المفاهيم الأخرى ومن أهمها[3]:
- احتواء النقطة:
جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) يحتوي دائمًا على العدد نفسه، أي: \(a\in V_{\epsilon }\left(a\right)\).
- التماثل حول النقطة:
جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) متناظر حول \(a\) .
- نصف القطر:
جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) نصف قطره \(\epsilon \) .
- إمكانية الحصول على جوار أصغر:
لأي عدد صغير موجب \(\epsilon \) يوجد عدد موجب \(\gamma \) أصغر منه إذ إن جوار \(\delta \) للعدد \(a\) محتوى في جوار \(\epsilon \) للعدد \(a\) ، أي أن \(V_{\gamma }(a)\subseteq V_{\epsilon }\left(a\right)\) .
- تقاطع الجوارين:
تقاطع أي جوارين لنفس النقطة يعطي جوارًا جديدًا لنفس النقطة، أي أن \(V_{\delta }(a)\cap V_{\epsilon }\left(a\right)=V_{\gamma }(a)\) إذ إن \(\gamma \) هو العدد الأصغر بين \(\epsilon \) و \(\delta \) ، أي \(\gamma =min\left\{\epsilon ,\delta \right\}\) .
- اللانهاية داخل الجوار:
كل جوار لنقطة يحتوي عددًا لا نهائيًا من النقاط.
[1] R. G. Bartle & D. R. Sherbert, Introduction to real analysis, 3rd ed. (New York: John Wiley & Sons, 2000), pp. 33.
[2] Ibid., pp. 31-34, 53-60, 97-105; A. Kumar & S. Kumaresan, A basic course in real analysis (Florida: CRC Press, 2014), pp. 28-40.
[3] Bartle & Sherbert, pp. 31-34; S. Johar, The big book of real analysis: From numbers to measures, (Cham, Switzerland: Springer Nature Switzerland AG, 2024).
المراجع
Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. Introduction to real analysis. 3rd ed. New York: John Wiley & Sons, 2000.
Johar, S. The big book of real analysis: From numbers to measures. Cham, Switzerland: Springer Nature Switzerland AG, 2024.
Kumar, A. & S. Kumaresan. A basic course in real analysis. Florida: CRC Press, 2014.
