الفضاء المتري

الفضاء المتري (Metric space) مفهوم أساسي في علم الرياضيات، وخاصة في التحليل الدالي والفضاءات الطوبولوجية (Topological Spaces). وتكمن أهميته في كونه يتضمن الفضاء المعياري وفضاء الضرب الداخلي، وكذلك في كونه فضاءً طوبولوجيًا. 

كما يوفر الفضاء المتري إطارًا أساسيًا لفهم الفضاءات الطوبولوجية، إذ إن العديد من المفاهيم الطوبولوجية، مثل التقارب والاستمرارية والمجموعات المغلقة والمفتوحة، يمكن فهمها باستخدام الفضاءات المترية. يرتبط الفضاء المتري بمفهوم دالة مسافة، وهو زوج مرتب \((X,d)\)، يتكون من مجموعة غير خالية \(X\) (يمكن أن تكون عناصرها نقاطًا، أو منحنيـات، أو دوال، أو مصفوفات، أو متتابعات أو غيرها)، معرّف عليها دالة تقييس (أو دالة مسافة)، بالشكل الآتي: \(d:X\times X\rightarrow [0,\infty )\)، إذ إن دالة المسافة \(d\) تحقق الشروط الآتية:

d1) \(d\left(x,y\right)=0\) عندما وفقط عندما \(x=y\)، لكل \(x\) و \(y\) في \(X\).

d2) \(d\left(x,y\right)=d(y,x)\)، لكل \(x\) ، \(y\) في \(X\) ("خاصية التماثل").

d3) \(d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d(z,y)\)، لكل \(x\) ، \(y\) ، \(z\) في \(X\). ("المتباينة المثلثية" [Triangle inequality]).

نبذة تاريخية

أثناء التعرّف على القطعة المستقيمة، وذلك من خلال الوصول من مكان (نقطة) ما إلى مكان آخر (نقطة ثانية) مباشرة، تجدر الإشارة إلى أن هناك طرقًا عديدة للوصول من نقطة إلى أخرى، يكون أقصرها "القطعة المستقيمة" نفسها. تقود هذه النتيجة مباشرة إلى ملاحظة أن طول أي ضلع في مثلث أصغر، أو يساوي، مجموع طولَي الضلعين الآخرين، التي سميت لاحقًا في الأدبيات الرياضية، مبرهنة "المتباينة المثلثية"، وصولًا إلى مفهوم دالة المسافة (Distance function) الذي طرحه عالم الرياضيات الفرنسي موريس رينيه فريشت (Maurice René Fréchet، 1878-1973) في أطروحته للدكتوراه في عام 1906. وبتزويد مجموعة ما من النقاط (العناصر)، بغضّ النظر عن ماهيتها ودرجة تجريدها، من خلال دالة المسافة يُحصَل على ما يسمى الفضاء المتري (Metric Space). وينطوي هذا الأخير على نوع من "البنية" الهندسية، بسبب أن شروط تعريفه ورثت خواص مفهوم "المسافة"، ما يقود إلى تعريف "الفضاء الطوبولوجي"، بغضّ النظر عن الزمن الذي استغرقته هذه الرحلة المضنية وعمق أصالتها[1].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​وقد وضع عالمُ الرياضيات البولندي ستيفان باناخ (Stefan Banach، 1892-1945)، أحد مؤسسي التحليل الدالي الحديث، العديدَ من المفاهيم الأساسية، مثل فضاءات باناخ (Banach spaces). ويُعدّ كتابه نظريات العمليات الخطّيّة (Théorie des opérations linéaires, 1932)، من الأعمال الرائدة في التحليل الدالي. وقد عرّف باناخ فضاءاته الخاصة بوصفها نوعًا من الفضاءات المترية[2].

تعريف الفضاء المتري

يتضمن حساب التفاضل والتكامل دراسة الدوال المعرّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية \(\mathbb{(R)} \). وبعد مزيد من التأمل، يصبح من الواضح أنه في عمليات إيجاد النهايات المختلفة، والعديد من المسائل الرياضية الأخرى، يُعتمد بشكل كبير على وجود دالة مسافة يُشار إليها بــ \(d\) معرّفة على \(\mathbb{R} \) بين النقطتين \(x\) و \(y\):

\(d\left(x, y\right)=\left|x - y\right|\)، لكل \(x\) و \(y\) في \(\mathbb{R} \)

في التحليل الدالي يُدرس مفهوم المسافة بشكل أعم؛ إذ قد تمثّل المجموعة موضع الدراسة أي مجموعة أخرى غير مجموعة الأعداد الحقيقية، وقد تعرّف دالة المسافة أيضًا بطريقة مختلفة، بكونها تحقق بعض الشروط التي تجعل منها دالة مسافة، إذ يعتبر الفضاء المتري مجموعة غير خالية، يمكن أن تكون عناصرها نقاطًا، أو منحنيـات، أو دوال، أو مصفوفات، أو متتابعات، أو غيرها، معرّف عليها دالة تقييس (أو دالة مسافة).

ولذا يمكننا تعريف الفضاء المتري رياضيًّا كما يلي[3]:

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية. تسمى الدالة \(d:X\times X\rightarrow [0,\infty )\) دالة مسافة على المجموعة \(X\)، إذا حققت الشروط الآتية[4]:

d1) \(d\left(x,y\right)=0\) عندما وفقط عندما \(x=y\)، لكل \(x\) و \(y\) في \(X\).

d2) \(d\left(x,y\right)=d(y,x)\)، لكل \(x\) ، \(y\) في \(X\) ("خاصية التماثل").

d3) \(d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d(z,y)\)، لكل \(x\) ، \(y\) ، \(z\) في \(X\) ("المتباينة المثلثية").

في هذه الحالة يسمّى الزوج المرتب \((X,d)\) فضاء متريًا.

تجدر الإشارة هنا إلى أن العناصر في المجموعة تسمى نقاطًا والعدد غير السالب \(d(x,y)\) يسمى المسافة بين \(x\) و \(y\). بشكل عام، ويمكن فهم التعريف الآنف ذكره كما يلي:

أ. المسافة بين نقطتين تساوي الصفر في حالة واحدة فقط، وهي أن تكون النقطتان تمثّلان النقطة نفسها.

ب. دالة المسافة متماثلة، أي أن المسافة بين \(x\) و \(y\) هي ذاتها المسافة بين \(y\) و \(x\).

ج. مصطلح "المتباينة المثلثية" مشتقّ من المبادئ الأساسية في الهندسة، كما هو موضّح في الشكل الآتي:

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​ترتبط الفضاءات المعيارية والمترية ببعضها البعض ترابطًا وثيقًا، إذ تعتمد الفضاءات المعيارية على الفضاءات المترية في تعريف المسافة بين النقاط؛ فعندما تُعرّف دالة المسافة (المتر) على الفضاء، يمكن استخدامها لتعريف دالة المسافة (المعيار) التي تميّز الفضاء المعياري، الأمر الذي يمكّن من استخدام الأفكار والمفاهيم المتعلقة بالفضاء المتري في دراسة الفضاء المعياري وفهمه، والعكس صحيح (الشكل 2)[5].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​يتّضح أن الفضاءات الطوبولوجية تتضمن كلًا من الفضاءات المترية والفضاءات المعيارية وفضاءات الضرب الداخلي (الشكل 2). في النهاية، تُعتبر الفضاءات المترية والمعيارية والضرب الداخلي جزءًا أساسيًا من التطوّر التاريخي للرياضيات، إذ ساهمت في تطوير الفهم للمسافة والتباعد في الفضاءات الرياضية، ومنحت إطارًا متينًا لفهم العديد من المفاهيم والنظريات في مجالات عدة من الرياضيات والعلوم.

وهكذا، فإن الفضاء المتري هو مفهوم أساسي في الرياضيات، يوفر إطارًا لفهم مفهوم المسافة والقرب بين عناصر المجموعة. وقد أصبحت الفضاءات المترية، التي ظهرت في أوائل القرن العشرين، أمرًا لا غنى عنه في مختلف فروع الرياضيات، بما في ذلك الطوبولوجيا والتحليل والهندسة. يعمم مفهوم الفضاء المتري فكرة المسافة من الفضاءات الإقليدية (Euclidean space) إلى إعدادات أكثر تجريدًا، ما يسمح بدراسة المساحات التي قد يكون فيها مفهوم المسافة مبهمًا. فالفضاء المتري هو مجموعة غير خالية، يمكن أن تكون عناصرها نقاطًا، أو منحنيـات، أو دوال، أو مصفوفات، أو متتابعات، أو غيرها، يُعرّف عليها دالة مسافة (دالة تقييس). وتكمن أهمية الفضاء المتري في أنه فضاء طوبولوجي يتميز بخصائص مهمة، مثل التكافؤ بين نقطة التراكم ونقطة النهاية، وبين الاتصال والاتصال تتابعيًا (الاتصال بواسطة المتتابعات)، وبين التراص والتراص تت​ابعيًا (التراص بواسطة المتتابعات)[6].

أمثلة

هناك العديد من الأمثلة على الفضاءات المترية، بما في ذلك الفضاء الإقليدي الذي يعتبر الفضاء ذا الأبعاد الثلاثة الذي نعيش فيه، وأيضًا الفضاءات الزمنية التي تستخدم في الفيزياء لوصف الزمان والمكان معًا. تختلف الفضاءات المترية في الخصائص التي تمتلكها، مثل الانحناء والأبعاد والتعقيد الهندسي، الأمر الذي يؤثر عميقًا في الظواهر التي يمكن أن تحدث فيها.

بشكل عام، تتيح دراسة الفضاءات المترية فهمًا عميقًا للبنية الرياضية للكون والعالم من حولنا، وتساعد في تطوير النظريات والنماذج التي تشرح سلوك الكواكب والجسيمات، وحتى الزمن نفسه. Top of Form

من أهم الأمثلة على الفضاءات المترية:

الفضاء المتري الاعتيادي (Real line \(\mathbb{R} \))​

ليكن \(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty )\) معرّفًا كما يلي:

\[d\left(x,y\right)=|x-y|\]

فإن \(d\) هو دالة مسافة على مجموعة الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R} \) ويسمى \((\mathbb{R} ,d)\) الفضاء المتري الاعتيادي.

معظم مفاهيم الفضاءات المترية هي تعميمات للمفاهيم المقابلة لها في الأعداد الحقيقية، وعادة ما يكون ذلك من خلال استخدام دالة مسافة القيمة المطلقة.

فضاء سيارة الأجرة (Taxicab metric)

ليكن \(d:\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}\rightarrow [0,\infty )\) معرّفًا كما يلي:

\[d\left(x,y\right)=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|x_{2}-y_{2}\right|\]

حيث \(x=\left(x_{1},x_{2}\right)، y=(y_{1},y_{2})\) فإن \(d\) هو دالة مسافة على \(\mathbb{R}^{2}\)، ويشار إليها أيضًا باسم مقياس "سيارة الأجرة"، وجاءت التسمية تمثيلًا للمسافة التي يقطعها شخص بسيارة الأجرة على شبكة مستطيلة من الشوارع[7].

فضاء القيمة العظمى (Maximum value space)

ليكن \(d:\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}\rightarrow [0,\infty )\) معرّفًا كما يلي:

\[d\left(x,y\right)=\max\left\{\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|\right\}\]

حيث \(x=\left(x_{1},x_{2}\right)، y=(y_{1},y_{2})\) فإن \(d\) هو دالة مسافة على \(\mathbb{R}^{2}\) وتسمى مسافة القيمة العظمى[8].

فضاء الدوال (Function space)

لتكن \(C(K)\) مجموعة كل الدوال المتصلة المعرّفة من \(K\) إلى \(\mathbb{R} \)، حيث \(K\)مجموعة متراصة (Compact set)، بمعنى مغلقة ومحدودة. وليكن \(d:C(K)\times C(K)\rightarrow [0,\infty )\) معرّفًا كما يلي:

\[d\left(f,g\right)=\max_{t\in K} |f\left(t\right)-g\left(t\right)|\]

فإن \(d\) هو دالة مسافة على \(C(K)\) ويسمى \((C\left(K\right),d)\) فضاء الدوال (Function space)[9].

فضاء المتتاليات (Sequence space)

لتكن \(X\) مجموعة كل المتتايات المحدودة في الأعداد المركبة، وليكن \(d:X\times X\rightarrow [0,\infty )\) معرفًا كما يلي:

\[d\left(x,y\right)=\sum_{i=1}^{\infty } \frac{1}{2^{i}}\frac{|x_{i}-y_{i}|}{1+|x_{i}-y_{i}|}\]

حيث \(x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )\)، \(y=(y_{1},y_{2},y_{3},\ldots )\)، فإن \(d\) هي دالة مسافة على \(X\) ويسمى \((X,d)\) فضاء المتتاليات (Sequence Space)[10].

في الأمثلة الآنف ذكرها، من السهل إثبات أن الدالة \(d\) تحقق شروط الفضاء المتري الثلاثة d1، d2، d3. ومما يجدر ذكره هنا أن صعوبةً ما قد ترافق إثبات المتباينة المثلثية \(d3\) في بعض الحالات، إذ لا بد من ذكر متباينة مينكوڤسكي للمجموع (Minkowski inequality for sums) التي عادة ما تساعد في استكمال الإثبات بشكل نهائي. مثال على ذلك[11]:

لتكن \(a=(a_{1},a_{2},\ldots )\) و \(b=(b_{1},b_{2},\ldots )\) متتاليتان، حيث \(\sum_{i=1}^{\infty } \left|a_{i}\right|^{p}<\infty \) و \(\sum_{i=1}^{\infty } \left|b_{i}\right|^{p}<\infty \)، \(p\geq 1\)، فإن

\[\left|\sum_{i=1}^{\infty } \left|a_{i}+b_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}\leq \left|\sum_{i=1}^{\infty } \left|a_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}+\left|\sum_{i=1}^{\infty } \left|b_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}\]

من هنا، يمكن القول إنه إذا وُجد عدد طبيعي \(n \)، حيث \(a_{i}=b_{i}= 0\) , لكل \(i>n\)، يمكن كتابة المتباينة على النحو الآتي:

\[\left|\sum_{i=1}^{n} \left|a_{i}+b_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}\leq \left|\sum_{i=1}^{n} \left|a_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}+\left|\sum_{i=1}^{n} \left|b_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}\]

​الفضاء الإقليدي (Euclidean space)

ليكن \(d:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow [0,\infty )\) معرّفًا كما يلي:

\[d\left(x,y\right)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}}\]

حيث \(x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right), y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\)، فإن \(d\) هي دالة مسافة على \(\mathbb{R}^{n}\)، ويسمى مسافة إقليدس. من الملاحظ أن دالة مسافة إقليدس هي ذاتها المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي[12].

البرهان: [13]من السهل إثبات \(d1\) و \(d2\) من تعريف الفضاء المتري مباشرة. ففي إثبات المتباينة المثلثية \(d3\). لتكن \(x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\)، \(y=\left(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right)\)، \(z=(z_{1},z_{2},\ldots , z_{n})\) أي نقط في \(\mathbb{R}^{n}\)، فإنه وبتطبيق متباينة مينكوڤسكي عندما \(p=2\)، يُحصل على:

\[d\left(x,y\right)=\left|\sum_{i=1}^{n} \left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right|^{\frac{1}{2}}=\left|\sum_{i=1}^{n} \left|x_{i}-z_{i}+z_{i}-y_{i}\right|^{2}\right|^{\frac{1}{2}}\]

\[\leq \left|\sum_{i=1}^{n} \left|x_{i}-z_{i}\right|^{2}\right|^{\frac{1}{2}}+\left|\sum_{i=1}^{n} \left|z_{i}-y_{i}\right|^{2}\right|^{\frac{1}{2}}\]

\[=d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)\]

فضاء​\(l^{p}\)(Sp​ace \(l^{p}\))

ليكن \(p\geq 1\) عددًا حقيقيًا، ولتكن \(l^{p}\) مجموعة كل المتتاليات التي تحقق الشرط[14]:

\[\sum_{i=1}^{\infty } \left|x_{i}\right|^{p}<\infty \]

ولتكن دالة المسافة معرّفة كما يلي:

\[d\left(x,y\right)=\left|\sum_{i=1}^{\infty } \left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}\]

حيث \(x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\)، \(y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\)، فإن \(d\) هو دالة مسافة على \(l^{p}\) و يسمى فضاء \(l^{p}\).

البرهان: كما في برهان المثال الآنف ذكره، يكون استخدام متباينة مينكوڤسكي لإثبات \(d3\):

لتكن \(x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\)، \(y=\left(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right)\)، \(z=(z_{1},z_{2},\ldots , z_{n})\)، أي نقط في \(l^{p}\)، فإنه وبتطبيق متباينة مينكوڤسكي يُحصل على:

\[d\left(x,y\right)=\left|\sum_{i=1}^{n} \left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}=\left|\sum_{i=1}^{n} \left|x_{i}-z_{i}+z_{i}-y_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}\]

\[\leq \left|\sum_{i=1}^{n} \left|x_{i}-z_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}+\left|\sum_{i=1}^{n} \left|z_{i}-y_{i}\right|^{p}\right|^{\frac{1}{p}}\]

\[=d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)\]

من الجدير بالذكر أن من الفضاء \(l^{2}\) يمكن الحصول على الفضاء الشهير المعروف باسم فضاء هيلبرت (Hilbert space)، عندما \(p=2\)، الذي قدّمه ودرسه في عام 1912 ديفيد هيلبرت (David Hilbert، 1862-1943) في ما يتعلق بالمعادلات التكاملية[15].

[1] إقبال جبريل وأحمد جمال محمد إبراهيم، التحليل الدالي (الهفوف: جامعة الملك فيصل، 2017).

[2] Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (New York: John Wiley & Sons, 1978).

[3] جبريل وإبراهيم، مرجع سابق.

[4] Kreyszig, op. cit.

[5] Wilson Sutherland, Introduction to Metric and Topological Spaces (Oxford: Oxford University Press, 2009).

[6] Mícheál Ó Searcóid, Metric Spaces (London: Springer, 2007).

[7] Sutherland, op. cit.

[8] Ibid.

[9] Searcóid, op. cit.

[10] Kreyszig, op. cit.

[11] جبريل وإبراهيم، مرجع سابق.

[12] Sutherland, op. cit.

[13] Ibid.

[14] جبريل وإبراهيم، مرجع سابق.

[15] Kreyszig, op. cit.

المراجع

العربية

جبريل، إقبال وأحمد جمال محمد إبراهيم. التحليل الدالي. الهفوف: جامعة الملك فيصل، 2017.

​الأجنبية

Kreyszig, Erwin. Introductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley & Sons, 1978.

Searcóid, Mícheál O'. Metric Spaces. Springer London, 2007.

Sutherland, Wilson. Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford: Oxford University Press, 2009.