المصفوفة

المصفوفة (Matrix) في علم الرياضيات هي ترتيب للأرقام أو الرموز على شكل صفوف وأعمدة، ويُعدّ هذا الترتيب وسيلة فعالة لتنفيذ العمليات الرياضية مثل الجمع والطرح والضرب. وتوصف المصفوفة بحجمها الذي يتحدد بعدد الصفوف وعدد الأعمدة، وكذلك يمكن تعريفها في علم الحاسوب بأنها بنية بيانات مكونة من صفوف وأعمدة تخزن الأرقام. وتُستخدم المصفوفات في الخوارزميات المتعلقة بالمعالجة العددية، والرسوميات الحاسوبية، والشبكات العصبية، كذلك تُستخدم بوصفها جدولًا من القيم العددية لحل الأنظمة الخطية، وتمثيل المعادلات التفاضلية، وتحليل البيانات في العديد من المجالات والعلوم مثل: الحاسوب، والاقتصاد، والفيزياء، وعلم الأحياء.

​الخصائص العامة للمصفوفات

في عام 1855، قدَّم عالم الرياضيات الإنكليزي آرثر كايلي (Arthur Cayley، 1821-1895) "نظرية المصفوفات" بوصفها أحد فروع الجبر الخطي التي تهتم بدراسة الجانب النظري للمصفوفات، وتُستخدم في حل المشكلات المعقدة وتنظيم البيانات وتحليلها. كذلك، تعد المصفوفات أحد أهم مفاتيح الجبر الخطي، إذ يمكن استخدامها في دراسة التحويلات الخطية، والأنظمة الخطية، وحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​فالمصفوفة، عمومًا، دالة رياضية خطية تحول مجموعة البداية أي الانطلاق (مجال) إلى مجموعة الوصول أو النهاية (مدى). وبناءً على ما سبق يمكن القول إن المصفوفة هي مجموعة من الأعداد أو الرموز مرتبة على شكل صفوف وأعمدة مكتوبة بين معقوفين [ ]. وتُدعى الخطوط الأفقية في المصفوفة بالأسطر، بينما تُسمى الخطوط العمودية بـالأعمدة. أما الأعداد فتُسمى مدخلات المصفوفة، والبعض يُطلق عليها عناصر المصفوفة[1].

على سبيل المثال: المدخلات في المصفوفة الآتية هي 1، 2، 3، 4، ويمكن التعبير عنها في الشكل الآتي:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]

يُرمز لاسم المصفوفة بأحد أحرف اللغة الإنكليزية الكبيرة \(A,B,C,\ldots \) كما يأتي:

\[K= \begin{bmatrix} \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & \ldots \\ k_{21} & k_{22} & \ldots \\ ⋮ & ⋮ & \ldots \end{matrix} \\ \begin{matrix} ⋮ & ⋮ & \ldots \end{matrix} \\ \begin{matrix} ⋮ & ⋮ & \end{matrix}\ldots \\ \begin{matrix} k_{m1} & ⋮ & \ldots \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} k_{1n} \\ k_{2n} \end{matrix} \\ ⋮ \end{matrix} \\ ⋮ \\ \begin{matrix} ⋮ \\ k_{mn} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix}\]

يُلاحظ أن أسفل أي عنصر من عناصر المصفوفة يوجد رقمان صغيران، يُمثل الأول منهما رقم الصف، بينما يمثل الآخر رقم العمود كما يظهر ذلك في المصفوفة أعلاه، إذ إن عدد الصفوف يرمز له بالرمز \(m\)، ويُرمز لعدد الأعمدة بالرمز \(n\)[2].

تُعرف رتبة المصفوفة أو قياسها بأنها عدد الأسطر مضروب في عدد الأعمدة. فإذا كان عدد الصفوف = \(m\)، وعدد الأعمدة = \(n\)، فإن رتبة المصفوفة = 𝑚 × 𝑛. ومثال على ذلك؛ يمكن القول بأن رتبة المصفوفة المحتوية على 4 أسطر و3 أعمدة أو قياسها هو \(4\times 3\). ولا تُجرى عمليتا الجمع والطرح إلا على المصفوفات متساوية الرتب، إضافة إلى أن ضرب المصفوفات يمكن إجراؤه بشرط أن يتساوى عدد الأعمدة المكونة للمصفوفة الأولى مع عدد الصفوف المكونة للمصفوفة الثانية[3].

رتبة المصفوفة \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}\) هو \(3\times 3\) ويمكن كتابتها وفق الشكل الآتي \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}_{3\times 3}\)، بينما رتبة المصفوفة \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) هو \(3\times 1\) ويمكن كتابتها وفق الشكل الآتي: \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}_{3\times 1}\). وبصيغة أخرى،

\(\begin{bmatrix} 5 \\ 9 \end{bmatrix}_{الصفوف عدد \times الأعمدة عدد}=\begin{bmatrix} 5 \\ 9 \end{bmatrix}_{2 \times 1}\)

وتُعرف عناصر المصفوفة (أرقامًا، أو رموزًا، أو مقادير جبرية) على أنها كل ما هو موجود داخل المصفوفة. أما أهم خصائص المصفوفات فهي[4]:

أ- إذا كان عدد الصفوف والأعمدة في إحدى المصفوفات مساويًا لعدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة أخرى، فإن هاتين المصفوفتين تُعدّان متساويتين في الحجم.

ب- يُعبَّر عما داخل المصفوفة (أي العناصر) من خلال كتابة الحرف الذي يُعبّر عن اسم المصفوفة، وكتابة رقم الصف والعمود لذلك العنصر على الترتيب أسفل ذلك الحرف؛ أي اسم المصفوفة: صف، عمود.

وتتساوى مصفوفتان إذا تحقق كل من الشرطين الآتيين فقط[5]:

• الرتب لكلا المصفوفتين متساوية.
• العناصر المتناظرة متساوية.

مثال على مصفوفتين متساويتين:

\(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}_{3\times 3}\), \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}_{3\times 3}\)

نشأة المصفوفات وتطورها

يعود تاريخ المصفوفات إلى العصور القديمة، إذ كانت النظريات الرياضية البسيطة تستخدم لحل المشاكل العملية في حياة الناس اليومية. ومع مرور الوقت، تطورت هذه النظريات وأصبحت أكثر تعقيدًا، ونتيجة لذلك ظهر مفهوم المصفوفات لتمثّل أداة رياضية قوية متعددة الاستخدامات. ويمكن العثور على أقدم شكل لاستخدام المصفوفات في الكتاب الصيني الشهير فن الحساب بتسعة فصول (Jiuzhang Suanshu, 九章算术)، وهو لمؤلف مجهول، ولكن من المحتمل أنه جُمع في القرن الأول الميلادي، وصار مصدرًا أساسيًّا حتى القرن الثالث عشر الميلادي. يطرح الكتاب موضوعات متعددة في الرياضيات، بما في ذلك المصفوفات، ويقدم نظريات وتقنيات متقدمة في هذا المجال بالإضافة إلى مجموعة من التمارين العملية والتطبيقات. ويُعدّ الكتاب مصدرًا مهمًا لفهم تطور الرياضيات في الصين القديمة، وله تأثير كبير في تطور المصفوفات والرياضيات بشكل عام[6].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​كان لعا​لم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو (Seki Takakazu، 1642-1708)، الذي عاش في القرن السابع عشر، إسهاماتٌ بارزة في مجال الرياضيات، خاصةً في مجالَي الهندسة والجبر، فقد طوَّر تاكاكازو العديد من المفاهيم الرياضية الأساسية، ومن بينها نظرية المصفوفات، وقدّم مفاهيم جديدة وأساليب رياضية مبتكرة لتحليل المصفوفات وتطبيقها، ما جعله يُعدّ أحد رواد هذا المجال في زمانه. ومن أبرز الإسهامات الرياضية لتاكاكازو استخدامه المصفوفات في حل المسائل الجبرية المعقدة عام 1683، وتطويره للعديد من النظريات في هذا المجال. وقدّم تاكاكازو العديد من الأساليب الجديدة لحساب المصفوفات وتحليلها، ما أسهم في تطوير فهم هذه الأداة الرياضية المهمة. إضافة إلى إسهاماته في مجال المصفوفات، فقد كانت له أيضًا إسهامات عديدة في مجالات أخرى من الرياضيات مثل الهندسة الجبرية والجبر التفاضلي وغيرها، الأمر الذي ترك بصمة واضحة في تطور الرياضيات[7].

ليونهارد أو​يلر

وكانت لعالم الرياضيات السويسري ليونهارد أويلر (Leonhard Euler، 1707-1783)، الذي يُعدّ من أهم علماء الرياضيات في التاريخ، إسهاماتٌ بارزة في مجالي الجبر واستخدام المصفوفات، فقد قدّم العديد من الأفكار والتقنيات الجديدة في تحليل المصفوفات التي استُخدمت في حل مجموعة متنوعة من المسائل الرياضية. إضافة إلى ذلك، طور أويلر العديد من الأساليب والتقنيات الجديدة لحساب المصفوفات وتحليلها، ما جعلها أداة قوية في حل المسائل الرياضية المعقدة. وقد ترك إرثه الرياضي بصمة عميقة في تاريخ الرياضيات، وما يزال تأثيره ممتدًا في الأبحاث والتطبيقات الرياضية المعاصرة[8].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​وعلى الرغم من استخدام المصفوفات لحل مجموعة متنوعة من المسائل الرياضية في القرن الثامن عشر، فإن الفهم الحديث للمصفوفات وتطبيقاتها نشأ في القرن التاسع عشر على يد أرثر كايلي. فقد أدى كايلي دورًا مهمًا في تطور المصفوفات خصوصًا والرياضيات الحديثة عمومًا؛ إذ إن مفهوم المصفوفة لم يظهر بشكل مستقل حتى عام 1855 بعد أن وضع كايلي نظرياته حول المصفوفات بشكل عام[9].

أشكال المصفوفات

للمصفوفات أشكال متعددة، منها[10]:

• المصفوفة المربعة (Square Matrix): هي مصفوفة يكون فيها عدد الصفوف مساويًا لعدد الأعمدة، مثل:

\[\left[2\right]_{1\times 1}, \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}_{2\times 2}, \begin{bmatrix} 5 & -3 & 0 \\ 6 & 6 & 1 \\ 1 & 9 & 11 \end{bmatrix}_{3\times 3}, \ldots .\]

• المصفوفة ذات الصف الواحد (Row Matrix): هي مصفوفة تتكون من صف واحد فقط، مثل:

\[\left[2\right]_{1\times 1}, \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}_{1\times 2}, \begin{matrix} [ 1 2 3 & ] \end{matrix}_{1\times 3}, \ldots \]

• المصفوفة ذات العمود الواحدColumn matrix) ): هي المصفوفة التي تتكون من عمود واحد فقط، مثل:

\[\left[2\right]_{1\times 1}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}_{2\times 1}, \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{bmatrix}_{3\times 1}, \ldots \]

• المصفوفة الصفرية (Zero Matrix or Null Matrix): هي المصفوفة التي جميع عناصرها أصفار فقط؛ مثل: \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
• المصفوفة القُطرية (Diagonal Matrix): هي مصفوفة مربعة تقع عناصرها على القطر الرئيس فقط، أما باقي العناصر فهي أصفار؛ مثل: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\)
• المصفوفة القياسية (Scalar Matrix): وهي عبارة عن مصفوفة قطرية تتساوى جميع عناصرها الواقعة على القطر الرئيس، مثل: \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\)
• المصفوفة المثلثة العليا (Upper Triangle Matrix): مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر أسفل القطر الرئيس مساوية للصفر؛ مثل: \(\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
• المصفوفة المثلثة السفلى (Lower Triangle Matrix): هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الواقعة فوق القطر مساوية للصفر؛ مثل \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}\)
• مصفوفة الوحدة (Identity Matrix or Unity Matrix): وهي مصفوفة قطرية مربعة، يمكن لحجمها أن يكون 2×2، 3×3، أو حتى 100×100، ويتكوّن القطر الرئيس فيها من العدد \(1\) فقط، وهي تُعدّ حالة خاصة من المصفوفات، لأن نتيجة ضربها في أية مصفوفة أخرى تُعطي المصفوفة الأخرى نفسها؛ ومن الأمثلة على مصفوفة الوحدة:

\[\left[1\right],\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\ldots .\]

العمليات على المصفوفات

الجمع

لكي تُجمَع مصفوفتان لا بد أن تكونا من الرتبة نفسها. ويُعرف حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة عن عملية جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين[11].

فإذا كانت المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\) والمصفوفة \(B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}\)، فإن

\[A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{bmatrix}\]

مثال ذلك: إذا كانت المصفوفة \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}\) \(A=\) والمصفوفة \(B=\begin{bmatrix} 4 & 8 & 7 \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{bmatrix}\)، فإن

\(\begin{bmatrix} 8 & 8 & 7 \\ 2 & 10 & 2 \\ 6 & 7 & 12 \end{bmatrix}\) \(A+B=\)

يُلاحظ مما سبق أن رتبة المصفوفة الناتجة من حاصل جمع المصفوفتين \(A,B\) مساوية لرتبة المصفوفة \(A\) والمصفوفة \(B\).

الطرح

عند طرح المصفوفات لا بد أن تكون جميع المصفوفات المراد طرحها متساوية في الحجم؛ أي ينبغي أن يتساوى عدد الصفوف والأعمدة في كلا المصفوفتين، أما إذا كان عدد الصفوف في مصفوفة ما 5 وكان عدد الأعمدة 3، فإنه يمكن طرحها من مصفوفة أخرى فقط، وإذا كان عدد صفوفها أيضًا 5 وفيها 3 أعمدة، وفي المقابل لا يمكن طرحها من مصفوفة أخرى عدد صفوفها 5 وأعمدتها 4[12].

فإذا كانت \(\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}\) \(B=\) و \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)، فإن:

\[A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} \end{bmatrix}\]

ومثال ذلك:إذا كانت المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}\) والمصفوفة \(\begin{bmatrix} 4 & 8 & 7 \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{bmatrix}B=\)، فإن حاصل طرح المصفوفة \(A\)من المصفوفة \(B\) يساوي

\[B-A=\begin{bmatrix} 4-4 & 8-0 & 7-0 \\ 1-1 & 5 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\]

الضرب والقسمة

- ضرب المصفوفات في عدد حقيقي أو القسمة عليه:

عند ضرب مصفوفة ما في عدد حقيقي أو القسمة عليه فإن ضرب العدد في جميع عناصر المصفوفة أو قسمتها عليه على جميع عناصر المصفوفة[13].

فإذا كانت المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)، فعند ضرب هذه المصفوفة بالثابت \(k\) يكون حاصل الضرب كالآتي:

\(\begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33} \end{bmatrix}\) \(kA=\)

أما إذا قُسمت المصفوفة على الثابت \(k\) فإن حاصل القسمة يكون كالآتي:

\[\frac{1}{k}A=\begin{bmatrix} \frac{1}{k}a_{11} & \frac{1}{k}a_{12} & \frac{1}{k}a_{13} \\ \frac{1}{k}a_{21} & \frac{1}{k}a_{22} & \frac{1}{k}a_{23} \\ \frac{1}{k}a_{31} & \frac{1}{k}a_{32} & \frac{1}{k}a_{33} \end{bmatrix}\]

والمثال الآتي يوضح ذلك، فلإيجاد حاصل ضرب مصفوفة بعدد ثابت وحاصل قسمة مصفوفة على عدد ثابت.

إذا كان \(A=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 2 & 4 & 10 \end{bmatrix}\)، فإن

• \(2A=\begin{bmatrix} 2\times 4 & 2\times 0 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 8 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 4 & 2\times 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 4 & 16 & 0 \\ 4 & 8 & 20 \end{bmatrix}.\)

• \(\frac{A}{2}=\begin{bmatrix} \frac{4}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ \frac{2}{2} & \frac{8}{2} & \frac{0}{2} \\ \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{10}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\)

ولا تُعدّ عملية ضرب المصفوفات عملية تبديلية، ولا يشترط فيها تساوي الرتب للمصفوفات المراد ضربها، وحتى يُتمكن من إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين، ينبغي أن يتساوى عدد الأعمدة المكونة للمصفوفة الأولى مع عدد الصفوف المكونة للمصفوفة الثانية، أي أنه إذا أُريد ضرب المصفوفة \(A_{nm}\) بالمصفوفة \(B_{xy}\)، فلا بد أن يكون \(m=x\)[14].

مثال ذلك:إذا كانت المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix}\) والمصفوفة \(B=\begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{bmatrix}\)، فإن

\[A\times B=\begin{bmatrix} \left(a_{11}\right)\left(b_{11}\right) & \left(a_{12}\right)\left(b_{21}\right) & \left(a_{13}\right)\left(b_{31}\right) \end{bmatrix}\]

يُلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر؛ وبناءً عليه، يمكن القول إن حاصل ضرب مصفوفة وحيدة العمود بمصفوفة وحيدة الصف ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.

مثال ذلك:إذا كانت المصفوفة \(C=\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}\) والمصفوفة \(B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix}\)، فإن حاصل ضرب \(C\times B\)، يكون وفق الشكل الآتي:

\[C\times B=\begin{bmatrix} \begin{matrix} c_{11} \\ c_{21} \end{matrix} & \begin{matrix} c_{12} \\ c_{22} \end{matrix} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix}\]

\(C\times B=\begin{bmatrix} c_{11}b_{11}+c_{12}b_{21} & c_{11}b_{12}+c_{12}b_{22} & c_{11}b_{13}+c_{12}b_{23} \\ c_{21}b_{11}+c_{22}b_{21} & c_{21}b_{12}+c_{22}b_{22} & c_{21}b_{13}+c_{22}b_{23} \\ c_{31}b_{11}+c_{32}b_{21} & c_{31}b_{12}+c_{32}b_{22} & c_{31}b_{13}+c_{32}b_{23} \end{bmatrix}\)

مثال ذلك:إذا كان \(A=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\) و \(B=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}\)، فإنه يُلاحظ أن عملية ضرب المصفوفات عملية ليست تبديلية، ولا يشترط فيها تساوي الرتب للمصفوفات المراد ضربها، وحتى يُتمكن من إيجاد ناتج ضرب المصفوفتين، ينبغي أن يتساوى عدد الأعمدة المكونة للمصفوفة الأولى مع عدد الصفوف المكونة للمصفوفة الثانية، مثل[15]:

\[B\times A=\begin{bmatrix} \left(2\times 1\right)+\left(6\times 2\right)+\left(2\times 3\right) & \left(2\times 4\right)+\left(6\times 3\right)+\left(2\times 2\right) \\ \left(1\times 1\right)+\left(4\times 2\right)+\left(3\times 3\right) & \left(1\times 4\right)+\left(4\times 3\right)+\left(2\times 3\right) \end{bmatrix}\]

\[=\begin{bmatrix} 20 & 30 \\ 18 & 22 \end{bmatrix}\]

\[A\times B=\begin{bmatrix} \left(1\times 2\right)+\left(4\times 1\right) & \left(1\times 6\right)+\left(4\times 4\right) & \left(1\times 2\right)+\left(4\times 3\right) \\ \left(2\times 2\right)+\left(3\times 1\right) & \left(2\times 6\right)+\left(3\times 4\right) & \left(2\times 2\right)+\left(3\times 3\right) \\ \left(3\times 2\right)+\left(2\times 1\right) & \left(3\times 6\right)+\left(2\times 4\right) & \left(3\times 2\right)+\left(2\times 3\right) \end{bmatrix}\]

\[=\begin{bmatrix} 6 & 24 & 15 \\ 7 & 24 & 13 \\ 8 & 26 & 12 \end{bmatrix}\]

التطبيقات

المصفوفات هي مجموعة من الأرقام المرتبة في صفوف وأعمدة داخل جدول، لذا فإنها تُعدّ أداة قوية في الفيزياء والفلك والطب والاقتصاد وعلم الحاسوب، إذ إنها تُستخدم للتعبير عن العديد من المفاهيم المختلفة، ومن أمثلة ذلك ما يلي[16]:

أ. في الفيزياء والفلك: تُستخدم المصفوفات لتمثيل الحركة والتغيرات الزمنية في الأنظمة الديناميكية، مثل حركة الجسيمات والموجات الكهرومغناطيسية وتفاعل الأجسام السماوية، ويمكن استخدامها لحساب العواقب الحركية للتفاعلات الفيزيائية المختلفة، مثل تفاعلات الانحراف والتشتيت والتفاعلات النووية.

ب. في الطب: تُستخدم المصفوفات في المجالات التي تتعامل مع تحليل البيانات الطبية الكبيرة، مثل التصوير الطبي والتحاليل الطبية، فهي تُستخدم لتمثيل البيانات وتنظيمها بطريقة تسهل معالجتها بالحواسيب.

ت. في الاقتصاد: تُستخدم المصفوفات في تحليل البيانات والمعلومات المالية والاقتصادية، مثل تقييم الأسهم وتوقعات السوق والمحافظة على التوازن الاقتصادي وإدارة المخاطر.

ث. في علم الحاسوب: تُستخدم في الخوارزميات المتعلقة بالمعالجة العددية، والرسوميات الحاسوبية، والشبكات العصبية.

وعمومًا، تساعد المصفوفات في تمثيل البيانات المختلفة وتحليلها بطريقة منظمة وفعالة، وتتيح للباحثين والمهندسين والمتخصصين في مجالات مختلفة إجراء الحسابات والتوقعات واتخاذ القرارات المناسبة.

المراجع

العربية

السبتي، جورج ضايق. الجبر الخطي. البصرة: دار الحكم، 1988.

الطويل، مجدي. المصفوفات: النظرية والتطبيق. القاهرة: دار النشر للجامعات، 1999.

الأجنبية

Anton, Howard. Elementary Linear Algebra. 10^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc, (2010).

Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 3^rd ed. New York: Springer, 2015.

Chemla, Karine Carole. “East Asian mathematics.” Encyclopedia Britannica. accessed on 23/6/2025, at: https://www.britannica.com/science/East-Asian-mathematics

Hackbusc, Wolfgang. Hierarchical Matrices: Algorithms and Analysis. Springer Series in Computational Mathematics 49. Berlin: Springer, 2015.

Lay, David C., Steven R. Lay & Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications. 5^th ed. Boston, MA: Pearson, 2015.

Smith, David Eugene & Yoshio Mikami. A History of Japanese Mathematics. Chicago, IL: Open Court Publishing, 1914.

Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. 5^th ed. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 2016.

[1] Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 3^rd ed. (New York: Springer, 2015).

[2] Ibid.

[3] Ibid.

[4] Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 5^th ed. (Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 2016).

[5] Ibid.

[6] مجدي الطويل، المصفوفات: النظرية والتطبيق (القاهرة: دار النشر للجامعات، 1999)؛ Karine Carole Chemla, “East Asian mathematics,” Encyclopedia Britannica, accessed on 23/6/2025, at: https://www.britannica.com/science/East-Asian-mathematics

[7] David Eugene Smith & Yoshio Mikami, A History of Japanese Mathematics (Chicago, IL: Open Court Publishing, 1914); Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 10^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc, 2010).

[8] Anton, op. cit.

[9] جورج ضايق السبتي، الجبر الخطي (البصرة: دار الحكم، 1988).

[10] David C. Lay, Steven R. Lay & Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 5^th ed. (Boston, MA: Pearson, 2015).

[1​1] الطويل، مرجع سابق.

[12] المرجع نفسه.

[13] المرجع نفسه.

[14] السبتي، مرجع سابق.

[15] Wolfgang Hackbusc, Hierarchical Matrices: Algorithms and Analysis, Springer Series in Computational Mathematics 49 (Berlin: Springer, 2015).

[16] Lay, R. Lay & McDonald, op. cit.