الدالة اللوغاريتمية

التعريف الرياضي

تُعَدّ الدالة اللوغاريتمية من الدوالّ الأساسية في الرياضيات، ولها دور بارز في العلوم الطبيعية والهندسية. وتعتمد فكرتها على تحديد القوة أو الأُسّ الذي يُرفَع به عدد موجب يُسمّى الأساس للحصول على قيمة مُعيّنة؛ أي إن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة \(f:(0,\infty )⟶\mathbb{R} \) المعرّفة بالقاعدة \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\)، حيث \(b\) عدد موجب لا يساوي الواحد، أي إن \(b>0, b\neq 1\)، ويكون مجالُها مجموعةَ الأعداد الحقيقية الموجبة \(\mathbb{R}^{+}\)، أي الفترة \((0,\infty )\)، ومداها هو جميع مجموعة الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R} \). يُذكَر أنه، وفي حالة كان أساس الدالة اللوغاريتمية هو العدد النيبيري {{العدد النيبيري: رمزه \(e\)، وهو عدد غير نسبي يُقارب \(2.718282.71828\)، ويُعرف بأنه أساس اللوغاريتم الطبيعي. يظهر في كثير من المجالات، مثل حساب التفاضل والتكامل، ولا سيما في نُموّ المتغيّرات والأُسس، ويُستخدَم في تعريف الدالة الأُسيّة \( e^{x}\)وله خصائص فريدة في المشتقة والتكامل.}}، فإن هذه الدالة تُسمّى عندئذٍ "الدالة اللوغاريتمية الطبيعية"، التي يُعبَّر عنها عادةً بالشكل \(f\left(x\right)=\ln (x)\)[1].

الخصائص الأساسية

تُعَدّ الدالة اللوغاريتمية من الدوال ذات الخصائص الفريدة التي تمنحُها أهمية خاصة في مجالات الرياضيات والعلوم، فهي تكشف عن العلاقة العكسية للنمو الأُسيّ، وتُوفّر وسيلة لفهم معدّلات التغيُّر النسبي بدقة. ومن خلال دراستها وتمثيلها البياني، يتَّضح كيف تترابط المتغيّرات بطريقة تدريجية غير خطّية. وتؤدي هذه الدالة أيضًا دورًا محوريًّا مهمًّا يُسهم في فهم العلاقات بين الأعداد بعضها ببعض، وذلك من خلال ربط عمليتَي الضرب والجمع، وتبسيط العمليات الحسابية المعقدة، الأمر الذي يجعلها أساسًا في بناء كثير من النماذج الرياضية والتطبيقات العلمية. وتُشكّل خصائصها مدخلًا جوهريًّا للتعمُّق في التحليل الرياضي وفهم الدوال المرتبطة به. ومن أبرز خصائصها ما يأتي:[2]

لتكن \(b\) تُمثّل عددًا موجبًا لا يُساوي الواحد، أي إن \(b>0, b\neq 1\)، فإن:

أولًا: المجال والمدى:

تمتاز الدالة اللوغاريتمية \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\) بأن مجالها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة \(\mathbb{R}^{+}=(0,\infty )\)، ومداها هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R} \).

ثانيًا: التماثل:

يعتمد تصنيف الدوال من حيث التماثل على تحقُّق شرطَيْن أساسيَّيْن، هما:

1. إذا كانت الدالة تُحقّق العلاقة \(f\left(-x\right)=f(x)\) لجميع قِيَم مجالها، فهي دالة زوجية.
2. أما إذا تحقَّقت العلاقة \(f\left(-x\right)=-f(x)\)، فهي دالة فردية.

وفي حال عدم تحقُّق أيٍّ من هاتَيْن العلاقتَيْن، تُصنَّف الدالة عندئذٍ بأنها دالة ليست زوجية ولا فردية. وبالنظر إلى الدالة اللوغاريتمية مجددًا، يتبيَّن أنها لا تستوفي أيًّا من هذَيْن الشرطَيْن، ومن ثَم فهي دالة ليست زوجية ولا فردية.

ثالثًا: القيم القصوى:

تُعَد الدالة اللوغاريتمية \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\) المعرّفة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة \(\mathbb{R}^{+}\)، من الدوال التي لا تحتوي على قِيَم قصوى، ذلك لأنها دالة متزايدة تمامًا أو متناقصة تمامًا وفق قيمة \(b\) نفسها.

رابعًا: فترات التزايد والتناقص:

تكون الدالة اللوغاريتمية متناقصة تمامًا على مجالها عندما يكون أساس الدالة \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\) محصورًا بين الصفر والواحد، أي إن \(0. في المقابل، فإن هذه الدالة تكون متزايدة تمامًا على مجالها عندما يكون أساسُها أكبر من الواحد، أي إن \(b>1\). بناءً على ذلك، فإن الدالة اللوغاريتمية لا تمتلك أيًّا من القِيَم القُصوى مطلقًا.

خامسًا: الأصفار:

يتقاطع منحنى الدالة اللوغاريتمية \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\) مع المحور الأفقي في نقطة واحدة فقط، وهي النقطة \((1,0)\)، أي إن الدالة اللوغاريتمية لها صفر وحيد، وهو عند القيمة \(x=1\).

سادسًا: خطوط التقارب:

تمتلك الدالة اللوغاريتمية المعرّفة بالصورة القياسية \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\)مستقيمًا رأسيًّا مقاربًا {{المستقيم الرأسي المقارب: هو خط عمودي معادلته \(x=a\)، يقترب منه منحنى الدالة بلا حدود عندما تقترب قيم \(x\) من \(a\)، من دون أن يقطعه.}}، وهو المحور \(y\) الذي معادلته \(x=0\).

سادسًا: الاتصال:

تُعَد الدالة اللوغاريتمية \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\) متصلة بجميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

سابعًا: المشتقة والتكامل:

تُعَد الدالة اللوغاريتمة \(f\left(x\right)=\log_{b}(x)\) قابلة للاشتقاق والتكامل مع جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، فكُلٌّ من مشتقّتِها وتكامُلِها يُعطَيان وفق العلاقتَيْن الآتيتَيْن:

\[\frac{d}{dx}\left(\log_{b}(x)\right)=\frac{1}{\ln (b)x} , \int_{}^{} \log_{b}(x)dx=x\log_{b}(x)-\frac{x}{\ln (b)}+c \]

ثامنًا: متسلسلة القوة:

يمكن تمثيل الدالة اللوغاريتمية \(f\left(x\right)=\log_{b}(x+1)\) بوساطة متسلسلات القوة كما يأتي:

\[\log_{b}\left(x+1\right)=\frac{1}{\ln (b)}\left[x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\ldots \right], -1

ويمكن كتابتها على النحو الآتي:

\[\log_{b}\left(x+1\right)=\frac{1}{\ln (b)}\sum_{n=1}^{\infty } \left(-1\right)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}, -1

إذ إن مجال تقارب المتسلسلة هو \(x\in (-1,1]\)، ومركزها عند \(x=0\)، ونصف قطر فترة التقارب هو \(1\).

أما عندما يكون أساس هذه الدالة هو العدد النيبيري، فإنها تُكتَب على النحو \(f\left(x\right)=\ln (x+1)\) كما ذُكر سابقًا، ويكون تمثيلها باستخدام متسلسلات القوة على الصورة الآتية:

\[\ln\left(x+1\right)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\ldots , -1

التي يمكن كتابتها بالشكل الآتي:

\[\ln\left(x+1\right)=\sum_{n=1}^{\infty } \left(-1\right)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}, -1

فمجال تقارب هذه المتسلسلة هو \(x\in (-1,1]\) أيضًا، ومركزها عند \(x=1\)، ونصف قطر فترة التقارب هو \(1\).

تاسعًا: خصائص اللوغاريتمات:

تُعَد قوانين اللوغاريتمات ركنًا أساسيًّا في الرياضيات، فهي تضبط طريقة التعامل مع التعابير التي تحتوي على القوى، وتمنح وسائلَ مبسّطة لإجراء العمليات الحسابية المعقدة. وتساعد هذه القوانين كذلك على توضيح العلاقة مع الدوال الأُسيّة، وفهمها بصورة أعمق بوصفها معكوسًا للدوال اللوغاريتمية. فيما يأتي أبرز خصائص اللوغاريتمات:[3]

لأي ثلاثة أعداد حقيقية موجبة \(x,y,b\) وأي عدد حقيقي \(p\)، تتحقّق الخصائص الآتية، حيث \(b\neq 1\):

• \(\log_{b}\left(xy\right)=\log_{b}\left(x\right)+\log_{b}(y)\)
• \(\log_{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{b}\left(x\right)-\log_{b}(y)\)
• \(\log_{b}\left(x^{p}\right)=p\log_{b}\left(x\right)\)
• \(\log_{b}\left(b^{p}\right)=p\)
• \(\log_{b}\left(1\right)=0\)

وكما ذُكِر سابقًا، فإن الدالة اللوغاريتمية تُعبّر عن الأُسّ الذي يجب رفع عدد موجب إليه للحصول على قيمة مُعيّنة، حيث تُكتَب هذه العلاقة رياضيًّا كما يأتي:

\[\log_{b}\left(x\right)=y ⟺b^{y}=x\]

حيث إن \(x,b>0\) و \(b\neq 1\). تُعَدّ هذه الخاصية من أهم الخصائص المتعلقة بالدالة اللوغاريتمة التي تُسهم بشكل كبير في حلِّ كثير من المسائل وتبسيط كثير من الحسابات العددية المعقّدة، فعلى سبيل المثال، عندما يُطلب حساب القيمة \(\log_{8}\left(2\right)\)، يمكن استخدام العلاقة السابقة كما يأتي:

بدايةً، يُفترَض أن:

\[\log_{8}\left(2\right)=y \]

ثم باستحدام العلاقة السابقة، التي تُمكّن من تحويل الصيغة اللوغاريتمية السابقة إلى صيغة أُسيّة، ينتُج الآتي:

\[\log_{8}\left(2\right)=y ⟺8^{y}=2\]

ومن ثَم، يكفي هُنا حلّ المعادلة الأُسيّة أعلاه لإيجاد قيمة \(y\)، التي تُمثّل قيمة اللوغاريتم المطلوب، ويتمّ ذلك بدايةً بجعل أساس طرفَي المعادلة متساويًا كما يأتي:

\[8^{y}=2 ⟺\left(2^{3}\right)^{y}=2\]

وهذا يكافئ المقدار الآتي تبعًا لخصائص الأُسس:

\[2^{3y}=2^{1}\]

والآن، وبما أن الأساسات متساوية، فالأسس يجب أن تكون كذلك، أي إن:

\[3y=1 \implies y=\frac{1}{3}\]

إذًا، ستكون قيمة اللوغاريتم هي \(\log_{8}\left(2\right)=\frac{1}{3}\)، وهو المطلوب.

التمثيل البياني

يُعَد التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية وسيلة أساسية لفهم خصائصها وسلوكها الرياضي، فمِن خلال مُنحناها البياني يمكن ملاحظة أنها دالة متصلة وغير متقطعة على مجالها، وأنها غير معرّفة عند القِيَم السالبة أو الصفر، ويقترب منحناها كذلك من المحور العمودي من دون أن يقطعه، ما يشير إلى وجود خط تقاربي رأسي عند ذلك المحور. وتتميّز الدالة اللوغاريتمية بأنها دالة متزايدة تمامًا إذا كان أساسها أكبر من 1، بينما تكون متناقصة تمامًا إذا كان أساسها بين 0 و1. وهذا السلوك يبرز أهميتها في تمثيل الظواهر المرتبطة بالنموّ النسبي أو التغيُّرات التي تعتمد على المقاييس اللوغاريتمية[4].

التطبيقات والاستخدامات

تُعَد الدالة اللوغاريتمية من أبرز الدوال الرياضية وأكثرها ارتباطًا بالتطبيقات العملية، نظرًا لخصائصها الفريدة وقدرتها على تبسيط العمليات الحسابية المُعقّدة. في الرياضيات، تُسهم هذه الدالة في تسهيل حل المعادلات الأُسيّة {{المعادلات الأُسيّة: معادلات يكون فيها المتغيّر واقعًا في الأُسّ، وتتميّز بنموّ أو تناقص سريع، وتُحَلّ عادةً بتحويلها باستخدام خصائص الأُسس واللوغاريتمات.}}، وتُستخدم في تحويل عمليات الضرب إلى جمع، والقسمة إلى طرح، وغيرها الكثير من تبسيط العمليات الحسابية الأخرى. كذلك، تؤدي دورًا محوريًّا في التحليل الرياضي والمعادلات التفاضلية وكثير من العلوم التطبيقية الأخرى؛ ففي العلوم مثلًا، تُسهم في وصف كثير من الظواهر ذات التغيُّرات السريعة أو التدرُّجية، كقياس شدة الصوت (مقياس الديسيبل) في الفيزياء، ودراسة درجات الحموضة (pH) لكثير من المواد في الكيمياء. تدخل كذلك في مجالات الاقتصاد، كتحليل معدّلات النمو النسبي، وحساب الفوائد، ودراسة التضخُّم والتغيُّرات السوقية المتراكمة. وفي علوم الحاسوب، تُستَخدم اللوغاريتمات في تصميم الخوارزميات التي تتطلب كفاءة عالية في معالجة البيانات، مثل ضغط الملفات، والبحث الثنائي، والتعقيد الزمني للبرامج. بفضل هذه التطبيقات المتنوعة، تُعَد الدالة اللوغاريتمية أداةً أساسيةً تربط بين الرياضيات والعلوم الطبيعية والتقنية الحديثة، ما يمنحها مكانة مركزية في الفهم النظري والتطبيق العملي على حدٍّ سواء[5].

[1] عمر أبو غليون [وآخرون]، الرياضيات: الصف الحادي عشر، الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول (عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم، 2023)، ص 165-178؛ فتحي خليل حمدان، أساسيات التفاضل والتكامل، ط 4 (عمّان: دار وائل، 2008)، ص 52-55.

[2] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 9^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009), pp. 409-427, 491-500; James Stewart, Calculus, 8^th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2015), pp. 54-67, 486-493; George B. Thomas et al., Thomas' Calculus, 14^th ed. (Boston, MA: Pearson, 2018), p. 6.

[3] عمر أبو غليون [وآخرون]، الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرعان العلمي والصناعي، الفصل الدراسي الأول (عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم، 2023)، ص 182.

[4] Anton, Bivens & Davis, pp. 409-427.

[5] Ibid.; Stewart.

المراجع

العربية

أبو غليون، عمر [وآخرون]. الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرعان العلمي والصناعي، الفصل الدراسي الأول. عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم، 2023.

________. الرياضيات: الصف الحادي عشر، الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول. عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم، 2023.

حمدان، فتحي خليل.أساسيات التفاضل والتكامل. ط 4. عمّان: دار وائل، 2008.

​الأجنبية

Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 9^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009.

Stewart, James. Calculus. 8^th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2015.

Thomas, George B. et al. Thomas' Calculus. 14^th ed. Boston, MA: Pearson, 2018.