النهاية

النهاية (Limit)، مفهوم أساسي في علم التفاضل والتكامل يُستخدم لوصف سلوك دالّة رياضية {{الدالة: (Function) في الرياضيات هي علاقة أو قاعدة تربط بين متغير مستقل ومتغير تابع، إذ تُعيّن قيمة واحدة فقط للمتغير التابع لكل قيمة من قيم المتغيّر المستقل.}} عند اقتراب المتغيّر المستقل {{المتغير المستقل: هو متغير ينتمي إلى مجال الدالة (Domain)، أي إلى مجموعة القيم التي يُسمح له أن يأخذها. وتُحدد هذه القيم عادةً وفقًا لخصائص العلاقة الرياضية أو لقيود تجريبية أو واقعية مفروضة. وهو المتغير الذي يُختار مسبقًا بهدف دراسة تأثيره في متغير آخر يُعرف بالمتغير التابع (Dependent Variable).}} (وغالبًا ما يُرمَز له بـ \(x\)) من قيمة معينة (يُرمز لها غالبًا بـ \(c\)). لتكن \(f\left(x\right)\) دالّة معرّفة على مجال جزئي من الأعداد الحقيقية، ولتكن \(c\)عددًا حقيقيًا {{العدد الحقيقي: هو كل عدد يمكن تمثيله على خط الأعداد، بما في ذلك الأعداد الموجبة والسالبة، والصفر، والأعداد الكسرية، وغير النسبية.}}. يقال إن نهاية الدالّة \(f\left(x\right)\) عندما يقترب \(x\) من \(c\) تساوي \(L\)، ويُرمز لذلك بالصيغة:

\[\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L\]

بمعنى آخر، النهاية هي القيمة التي تؤول إليها \(f\left(x\right)\) عندما يقترب \(x\) من \(c\)، يُستخدم هذا المفهوم لتحديد سلوك الدالّة قرب نقطة معينة، حتى وإن لم تكن معرّفة عند تلك النقطة نفسها (أي إذا لم يكن للدالة قيمة عندها)، كما يمكن استخدامه كذلك لتحليل سلوك الدالّة عند نقاط معرّفة بالفعل.

تُعدّ النهايةُ في علم التفاضل والتكامل الأساسَ في تعريف العديد من المفاهيم الأخرى، مثل مفهوم الاشتقاق {{الاشتقاق: م​عدل التغيّر اللحظي للدالّة، ويستخدم في العديد من التطبيقات، مثل حساب سرعة جسم متحرك عند لحظة معينة.}} في علم التفاضل لدالّة عند نقطة معينة. وتُستخدم النهايات كذلك في حساب التكاملات، وهو مفهوم يعبّر عن المساحة تحت منحنى دالّة ما. والتكاملات مهمة جدًا في الفيزياء والهندسة والاقتصاد لحساب الكميات، مثل: المساحة، والحجم، وغيرها من التطبيقات المهمة.

نمو المفهوم

تعود جذور مفهوم النهاية في علم التفاضل والتكامل إلى العصور القديمة، إذ اهتم الفلاسفة والرياضيون بمحاولة فهم الحركة والتغيير. ومع ذلك، لم يتبلور هذا المفهوم بشكل دقيق حتى القرن السابع عشر، عندما قدّم إسحاق نيوتن {{إسحاق نيوتن: (Isaac Newton، 1642-1727) من أبرز الشخصيات في تاريخ العلوم، وقد أسهم إسهامًا غير مسبوق في صياغة أسس الفيزياء والرياضيات الحديثة. وُلد في إنكلترا، وعُرف منذ شبابه بذكائه الحاد وشغفه بالبحث في الظواهر الطبيعية، إلى أن أصبح رمزًا للثورة العلمية في أوروبا خلال القرن السابع عشر.}} وغوتفريد ڤيلهلم ليبنتز {{غوتفريد ڤيلهلم ليبنتز: (Gottfried Wilhelm Leibniz، 1646-1716) من أعلام الفكر الأوروبي في القرن السابع عشر، وقد جمع في شخصه بين الفيلسوف، والرياضي، والمؤرخ، واللغوي، ورجل الدولة. وُلد في لايبزيغ بألمانيا، وتوفي في هانوڤر، وامتدت إسهاماته لتشمل مجالات متعددة ترك فيها أثرًا فكريًا ومعرفيًا عميقًا.}} إسهاماتهما الكبرى في تطوير علم التفاضل والتكامل.

كان نيوتن وليبنتز يعملان بشكل مستقل، وعلى نحو متزامن، على تطوير أساليب جديدة لحساب معدّل التغيير، مثل: السرعة، والتسارع. ولتحقيق ذلك، كان من الضروري فهم سلوك الدوالّ الرياضية عند الاقتراب من نقاط معينة. هذا الفهم قاد إلى تطوير مفهوم النهاية التي أصبحت حجر الزاوية في علم التفاضل والتكامل[1].

استخدم نيوتن مفهوم النهايات في سياق التدفّق ومعدّل التغيير، إذ كان يدرس كيفية تغير كمية ما بشكل مستمر مع الزمن. في المقابل، استخدم ليبنتز الرموز الرياضية لتبسيط العمليات الحسابية. بعد أعمال نيوتن وليبنتز، استمر الرياضيون في تطوير مفهوم النهايات وتعميقه، حتى توصّل أوغستين لويس كوشي {{أوغستين لويس كوشي: (Augustine-Louie Cauchy، 1789-1857) من أهم الرياضيين الفرنسيين في القرن التاسع عشر، كان له دور جوهري في تحويل الرياضيات من علم وصفي إلى علم صارم قائم على البرهان. وُلد في باريس، وعاش في فترة شهدت تغيرات سياسية وعلمية عميقة، ساعدت في إعادة تشكيل النظريات الرياضية على أسس منطقية دقيقة.}} وكارل ڤايرشتراس {{كارل ڤايرشتراس: (Karl Weierstrass، 1815-1897) من أبرز رواد التحليل الرياضي في القرن التاسع عشر، وقد أسهم إسهامًا كبيرًا في ترسيخ البنية المنطقية والصرامة البرهانية التي أصبحت سمة مميزة للرياضيات الحديثة. وُلد في ألمانيا، واهتم منذ شبابه بالرياضيات، رغم أنه درس القانون والمالية في بداياته استجابةً لرغبة والده.}} إلى تعريف دقيق له في القرن التاسع عشر. قدّم هؤلاء العلماء تعريف النهاية؛ ما مكّن من تطبيقها في مختلف فروع الرياضيات والعلوم[2].

نهاية الدالّة \(f\left(x\right)\) تعني القيمة التي تقترب منها \(f\left(x\right)\) عندما يقترب المتغير \(x\) من قيمة معينة. لتكن \(f\left(x\right)\) دالّة، و \(a\) عددًا حقيقيًا، إنّ نهاية \(f\left(x\right)\) عندما يقترب المتغير \(x\) من \(a\) تساوي \(L\)، ويُرمز لذلك بالصيغة الآتية[3]:

\[\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\]

بمعنى آخر، تُعرَّف النهاية للدالّة \(f\left(x\right)\) عندما يقترب المتغير \(x\) من \(a\) بأنها القيمة التي تقترب منها الدالّة عندما يقترب \(x\) من \(a\)، أو في تعبير آخر، عندما يؤول إلى \(a\). فالنهاية مفهوم رياضي يعتمد على فكرة الاقتراب، وتُستخدم لتحديد سلوك الدالّة عند النقاط التي قد لا تكون معرّفة فيها، أي لا توجد لها صورة، ويمكن استخدامها كذلك للنقاط التي تكون الدالّة عندها لها قيمة معينة، فعلى سبيل المثال، الدالّة[4]

\[f\left(x\right)=\frac{x^{2} - 1}{x-1}\]

غير معرّفة عندما يكون \(x\) مساويًا 1، فالبسط والمقام في هذه الحالة يساويان 0، وهذه تُعَدُّ صيغة غير معرّفة. أما بالنسبة إلى أية قيمة أخرى لـ \(x\) غير 1، فإنه يمكن تحليل البسط نحو ما يأتي:

\[f\left(x\right)=\frac{x^{2} - 1}{x-1}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}=\left(x+1\right)\]

وبناء عليه، فإن الدالّة تصبح \[f\left(x\right)=x + 1\] لجميع قيم \(x\) باستثناء العدد 1 الذي ليست له صورة. ومع ذلك، يمكن اعتبار العدد 2 نهاية للدالّة \(f\left(x\right)\) عندما يقترب \(x\) من العدد 1 الذي ليست له قيمة. أي إنه كلما اقتربت قيم \(x\) من العدد 1، فإن قيمة الدالّة \(f(x)\) تقترب من العدد 2 كما هو موضح في (الشكل 1).

[الشكل 1] - التمثيل البياني للدالّة \(f\left(x\right)=(x^{2} - 1)/(x - 1)\)

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​في هذه الحالة، يُقال إن نهاية الدالّة \(f(x)\) عندما يقترب \(x\) من العدد 1 تساوي 2، وتكتب بالطريقة الآتية:

\[\lim_{x\rightarrow 1} f(x)=2\]

إذا كان \(f(x)\)دالّة كثير الحدود، فإنه يمكن إيجاد النهاية من دون الحاجة إلى التمثيل البياني للدالة، إذ إن نهاية الدالّة \(f(x)\) عندما يقترب \(x\) من العدد \(c\) هي صورة ذلك العدد \(f(c)\)، فمثلًا

\[\lim_{x\rightarrow 3} ( x^{2}-2x+1)=3^{2}-2\left(3\right)+1=4\]

يمكن صَوغ تعريف دقيق للنهاية، بـما يُعرف بـتعريف ( \(،ϵ\)\(\delta \)) للنهاية، كما يأتي[5]:

تعريف: لتكن الدالّة \(f\) معرّفة على فترة مفتوحة حول \(c\) (ليس بالضرورة أن تكون معرّفة عند \(c \))، فإن \[\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L\] إذا وفقط إذا كان لكل \(ϵ>0\) يوجد \(\delta >0\) بحيث إنه إذا كان \(0<\left|x-c\right|<\delta \) فإن \[\left|f\left(x\right)-L\right|<ϵ\]

وتُكتب بصيغة رياضية بالشكل الآتي:​

\[\forall ϵ>0, \exists \delta >0:\left|x-c\right|<\delta \rightarrow \left|f\left(x\right)-L\right|<ϵ\]

بمعنى آخر، إنه لكل قيمة​ صغيرة جدًا موجبة \(ϵ\)، يمكن إيجاد قيمة صغيرة جدًا موجبة \(\delta \)، وإذا كانت ضمن المجال \(\delta+c<x<\delta-c\)، فإن قيمة الدالّة \(f\left(x\right)\)​​​ تكون ضمن المجال \(ϵ-L<f\left(x\right)<​ϵ+L\) كما ​هو موضح في (الشكل 2)[6].​

[ال​شكل 2] - توضيح لمفهوم \(\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L\)

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​النهاية من اليمين والنهاية من اليسار​

بشكل عام، نهاية الدالّة \(f(x)\) عندما يقترب \(x\) من \(c\) تساوي \(L\). وإذا كانت قيمة الدالّة \(f(x)\) تقترب من العدد \(L\) عندما يقترب \(x\) من العدد \(c\)، فإن الأعداد حول العدد \(c\) تنقسم إلى قسمين:

• أعداد على يمين \(c\) (أكبر من \(c\)).
  
• أعداد على يسار \(c\) (أصغر من \(c\)).
  

في العديد من الحالات، قد تختلف القيمة التي تقترب منها الدالّة \(f(x)\) عند الاقتراب من يمين \(c\) عن القيمة التي تقترب منها عند الاقتراب من يسار \(c\)، ولذلك وجب التمييز بينهما.

النهاية من اليمين: يُقال إن نهاية الدالّة \(f(x)\) عندما يقترب \(x\) من \(c\) من جهة اليمين تساوي \(L\)، إذا كانت قيمة الدالّة \(f(x)\) تقترب من العدد \(L\) عندما يقترب \(x\) من العدد \(c\) من اليمين. وتكتب بالطريقة الآتية[7]:

\[\lim_{x\rightarrow c^{+}} f(x)=L​\]

النهاية من اليسار: يُقال إن نهاية الدالّة \(f(x)\) عندما يقترب \(x\) من \(c\) من جهة اليسار تساوي \(K\)، إذا كانت قيمة الدالّة \(f(x)\) تقترب من العدد \(K\) عندما يقترب \(x\) من العدد \(c\) من اليسار. وتكتب بالطريقة الآتية[8]:

\[\lim_{x\rightarrow c^{-}} f(x)=K\]

وبناء عليه، فإن[9]

\(\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L\) إذا وفقط إذا كان \(\lim_{x\rightarrow c^{+}} f(x)=\lim_{x\rightarrow c^{-}} f(x)=L\)

أي إن النهاية موجودة في حالة واحدة فقط، إذا كانت النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار. وإذا كانت النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار، فإنّ \(\lim_{x\rightarrow c} f(x)\) غير موجودة[10].

فعلى سبيل المثال: إذا كان \(f\left(x\right)=x+2\)، فبالنظر إلى (الجدول 1) يُلاحَظ أنه كلما اقترب \(x\) من العدد 3 من جهة اليمين فإن \(f(x)\) تقترب من العدد 5، أي إن \(\left(\lim_{x\rightarrow 3^{+}} f\left(x\right)=5\right)\). وأيضًا كلما اقترب \(x\) من العدد 3 من جهة اليسار، فإن \(f(x)\) تقترب من العدد 5، أي إن \(\left(\lim_{x\rightarrow 3^{-}} f\left(x\right)=5\right)\)، وبناء عليه فإن \(\lim_{x\rightarrow 3} f\left(x\right)=5\)،

\[\lim_{x\rightarrow 3^{+}} f\left(x\right)=5 \\ \lim_{x\rightarrow 3^{-}} f\left(x\right)=5\rightarrow \lim_{x\rightarrow 3} f\left(x\right)=5\]

[الجدول 1] - الدالّة \(f\left(x\right)=x+2\)

تجدر الإشارة إلى أن النهاية عند نقطة لا علاقة لها بوجود صورة لهذه النقطة أو عدم وجودها، والمثال الآتي يوضح ذلك:

مثال: في (الشكل 3) الذي يمثل منحنى الدالّة \(g \)، يُلاحَظ أن صورة العدد 2 هي 1 أي إن \(g\left(2\right)=1\)، في حين:

\[\lim_{x\rightarrow 2^{-}} g(x)=3\]

\[\lim_{x\rightarrow 2^{+}} g(x)=1\]

وبناء عليه، فإن \(\lim_{x\rightarrow 2} g(x)\) غير موجودة.

[الشكل 3] - منحنى الدالة \(g(x)\)

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​يُلجَأ إلى دراسة النهاية من اليمين ومن اليسار في حالة الدالّة المتشعبة، عندما يكون العدد الذي يقترب منه \(x\) نقطة تشعّب، مثال على ذلك إذا كان[11]

\[f\left(x\right)=\begin{cases} x^{2}-3x, & x>2, \\ 5-2x, & x\leq 2. \end{cases}\]

فإن

\[\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}} x^{2}-3x=-2\]

\[\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 2^{-}} 5-2x=1\]

بما أن النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار، فإن \(\lim_{x\rightarrow 2} f(x)\) غير موجودة، مع أن \(f\left(2\right)=1\).

عند إيجاد النهاية عندما يقترب \(x\) من عدد آخر غير نقطة التشعب، لا يُلجأ إلى دراسة النهاية من اليمين واليسار، فمثلًا في المثال السابق يُلاحظ أن

\[\lim_{x\rightarrow 4} f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 4} x^{2}-3x=4\]

\[\lim_{x\rightarrow -1} f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 4} 5-2x=7\]

نظريات في النهايات

يوجد العديد من النظريات الأساسية في دراسة النهايات، وهي تُشكّل أدوات رياضية فعّالة تساعد في حساب النهايات وتحليل سلوك الدوال. يسهم استخدام هذه النظريات في تبسيط إيجاد النهايات، خصوصًا في المسائل التي يصعب فيها الاعتماد على تعريف النهاية بشكل مباشر.

في ما يأتي عرضٌ لأهم هذه النظريات، مع تقديم أمثلة توضيحية لكل منها، ما يسهم في ترسيخ الفهم وتسهيل التطبيق العملي[12].

1. إذا كان \(K\) عددًا ثابتًا، فإن \(\lim_{x\rightarrow c} K=K\)

\[\lim_{x\rightarrow 3} 8=8.\]

2. إذا كان \(f(x)\) دالة كثيرة الحدود، فإن \(\lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)\)

\[\lim_{x\rightarrow 2} 2x^{3}-x^{2}+1=2\left(2^{3}\right)-2^{2}+1=13\]

3. إذا كان \(\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L\) وكان \(\lim_{x\rightarrow c} g(x)=K\)، فإن:

• \(\lim_{x\rightarrow c} \left(\alpha f\left(x\right)\right)=\alpha \cdot L\)، حيث \(\alpha \mathbb{∈R} \)
• \(\lim_{x\rightarrow c} \left(f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right)=L\pm K\)
• \(\lim_{x\rightarrow c} \left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=L\cdot K\)
• \(\lim_{x\rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{K}\)، بشرط أن \(K\neq 0\)

مثال: إذا كان \(\lim_{x\rightarrow 1} f(x)=4\) وكان \(\lim_{x\rightarrow 1} g(x)=-5\)، أوجد النهايات الآتية:

1. \(\lim_{x\rightarrow 1} 2f(x)\)
   
2. \(\lim_{x\rightarrow 1} (2f\left(x\right)-3g\left(x\right))\)
3. \(\lim_{x\rightarrow 1 } (4f\left(x\right)\cdot g(x))\)
   
4. \(\lim_{x\rightarrow 1} \frac{2f(x)}{g(x)}\)
   

الحل:

1. \(\lim_{x\rightarrow 1} 2f\left(x\right)=2\left(4\right)=8\)
   
2. \(\lim_{x\rightarrow 1} (2f\left(x\right)-3g\left(x\right))=2\left(4\right)-3\left(-5\right)=23\)
   
3. \(\lim_{x\rightarrow 1 } (4f\left(x\right)\cdot g(x))=4\left(4\right)\left(-5\right)=-80\)
   
4. \(\lim_{x\rightarrow 1} \frac{2f(x)}{g(x)}=\frac{2(4)}{-5}=-\frac{8}{5}\)
   

طرق إيجادها

توجَدُ النهاية بطرق متعددة، منها:

1. التعويض المباشر: إذ يُعوَّض الرقم الذي يقترب منه \(x\) داخل الدالّة، ويكون ناتج التعويض هو قيمة النهاية، وهذه الطريقة ناجحة إذا لم يُحصل على صيغة غير معرّفة من التعويض المباشر، وبشرط أن يكون ما داخل النهاية معرّفًا حول العدد الذي يقترب من \(x\)، فمثلًا
   

\[\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-3}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{2^{2}-3}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1\]

في حين، إذا نُظِر إلى النهاية \(\lim_{x\rightarrow 3} \sqrt{x-3}\)، يُلاحَظ أن ناتج التعويض المباشر هو 0، لكن ما داخل النهاية غير معرّف من يسار العدد 3، وبناء عليه فإن \(\lim_{x\rightarrow 3^{-}} \sqrt{x-3}\) غير موجودة، ما يعني أن \(\lim_{x\rightarrow 3} \sqrt{x-3}\) غير موجودة على الرغم من أن النهاية من جهة اليمين موجودة وتساوي 0 (ناتج التعويض المباشر)[13].

2. التحليل والتبسيط: تُستخدم هذه الطريقة في حال كان ناتج التعويض المباشر كمية غير معرّفة مثل النوع \(\frac{0}{0}\)، وتعتمد هذه الطريقة على تحليل كل من البسط والمقام، ثم اختصار العوامل المشتركة بينهما، ثم التعويض المباشر، فمثلًا عند إيجاد \(\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{6-2x}\)، فإن ناتج التعويض المباشر هو \(\frac{0}{0}\)، وباستخدام التحليل، يُلاحَظ أن[14]

\[\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{6-2x}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)}{2(3-x)}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)}{-2(x-3)}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x+3)}{-2}\]

وباختصار العوامل المشتركة، ثم التعويض المباشر، يكون الناتج

\[\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{6-2x}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x+3)}{-2}=\frac{(3+3)}{-2}=-3\]

نهاية الدوالّ المثلثية: يعتمد إيجاد النهايات التي تحتوي دالّة مثلثية {{الدوال المثلثية: (Trigonometric Functions) من أشيع المفاهيم الرياضية وأكثرها أهمية، تُستخدم لربط الزوايا بأطوال الأضلاع في المثلثات، كما تؤدي دورًا محوريًا في وصف الظواهر الدورية في الفيزياء والهندسة والرياضيات التطبيقية. وهي: \(\sin\left(x\right),\cos\left(x\right),\tan\left(x\right),\sec\left(x\right),\csc\left(x\right), \cot (x)\).}} إلى حد كبير على النظرية التي تنص على أن \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin (a(x))}{bx}=\frac{a}{b}\)

مثال: \(\left(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{3\sin(4x)}{5x}=\frac{12}{5}\right)\)[15].

3. قاعدة لوبيتال: قد يؤدي التعويض المباشر إلى الحصول على صيغة غير معرّفة، مثل \(\left(0*\infty ,\infty -\infty ,0^{0} ,\infty^{0},1^{\infty }, \frac{\infty}{\infty} , \frac{0}{0}\right)\). عند الحصول على إحدى هذه الصيغ غير المعرّفة، يمكن استخدام قاعدة لوبيتال لحساب النهايات. تنص قاعدة لوبيتال على أنه إذا كان هناك دالّتان \(f(x)\) و\(g(x)\) قابلتان للاشتقاق عند النقطة \(c\)، وتقترب نهايتهما من الصفر أو اللانهاية عندما يقترب \(x\) من النقطة \(c\)، وكانت \(\lim_{x\rightarrow c} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}\) موجودة، فإن \(\left(\lim_{x\rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}\right)\)[16].

مثال: لإيجاد \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{7x+\sin x}{x}\)، يُتَّبَع الحل الآتي:

الحل: الخطوة الأولى في إيجاد النهاية هو التعويض المباشر، لذلك لا تُستخدم قاعدة لوبيتال بشكل مباشر قبل التأكد من نتيجة التعويض، فتُصبح

\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{7(0)+\sin x}{x}=\frac{0+\sin\left(0\right)}{0}=\frac{0}{0}\)

، أي صيغة غير معرفة. \(\frac{0}{0}\) يُلاحظ أن ناتج التعويض المباشر في النهاية هو

يُلجَأ في هذه الحالة إلى الاستعانة بقاعدة لوبيتال، فيُشتق البسط والمقام، كلٌ على حدة، ثم تُعوّض القيمة التي يقترب منها \(x\)، وفق ما يأتي:

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{7+\cos (x)}{1}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}\left(7x+\sin x\right)}{dx}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{7+\cos (x)}{1}=\frac{7+\cos (0)}{1}=\frac{7+1}{1}=8\]

4. نظرية الشطيرة (نظرية الحصر): تستند إلى فكرة أنه إذا كانت دالّة ما محصورة بين دالّتين أخريين لهما النهاية نفسها عند نقطة معينة، فإن تلك الدالّة لها نفس النهاية أيضًا عند تلك النقطة.

وتنص النظرية على أنه إذا كانت \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\)لجميع قيم \(x\) في مجال حول \(c\)ما عدا عند \(c\)نفسها ربما، وإذا كانت[17]

\[\lim_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow c} h\left(x\right)=L,\]

فإن

\[\lim_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=L.\]

مثال: لإيجاد \(\lim_{x\rightarrow 1} x^{2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)\)، يُتّبَع الحل الآتي:

الحل:

\[-1\leq \sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq 1\rightarrow -x^{2}\leq x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq x^{2}.\]

وإذ إن \(،\\lim_{x\rightarrow 1} x^{2}=\lim_{x\rightarrow 1} -x^{2}=0\) فإن \(\lim_{x\rightarrow 1} x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0\).

هذه الطرق التي ذُكِرت هي الطرق الأشيع لإيجاد النهاية للدوالّ، وتُسهم في معرفة حساب النهايات، وفهم سلوك الدوالّ بشكل أدق، وتحديد القيم التي تقترب منها عند نقاط معينة، ما يمكِّنُ من حل العديد من المسائل الرياضية وتطبيقها في مجالات متنوعة مثل: الفيزياء، والهندسة، والاقتصاد.

المراجع

العربية

الرياضيات: الصف الحادي عشر - الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول. عمّان: إدارة المناهج والكتب المدرسية، 2023.

الأجنبية

Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 9^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009.

Bartle, Robert G. & Donald R. Sherbert. Introduction to Real Analysis. 3^rd ed. [Hoboken, NJ]: John Wiley & Sons, 2000.

Borovik, Alexandre & Mikhail G. Katz. “Who Gave you the Cauchy-Weierstrass Tale? The Dual History of Rigorous Calculus.” Foundations of Science. vol. 7, no. 3 (2012). pp. 245-276.

Boyer, Carl B. The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover Publications, 1959.

Stewart, James, Daniel K. Clegg & Saleem Watson. Calculus. 9^th ed. [Boston]: Cengage Learning, 2020.

[1] Carl B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development (New York: Dover Publications, 1959); Alexandre Borovik & Mikhail G. Katz, “Who Gave you the Cauchy-Weierstrass Tale? The Dual History of Rigorous Calculus,” Foundations of Science, vol. 7, no. 3 (2012), pp. 245-276.

[2] Ibid.

[3] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 9th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009), p. 52.

[4] James Stewart, Daniel K. Clegg & Saleem Watson, Calculus, 9th ed. ([Boston]: Cengage Learning, 2020), p. 84.

[5] Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3rd ed. ([Hoboken, NJ]: John Wiley & Sons, 2000), p. 98.

[6] Ibid., p. 99.

[7] Anton, Bivens & Davis, p. 54.

[8] Ibid.

[9] Ibid., p. 55.

[10] Ibid.

[11]الرياضيات: الصف الحادي عشر - الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول (عمّان: إدارة المناهج والكتب المدرسية، 2023)، ص 90-105.

[12] Stewart, Clegg & Watson, pp. 95-97.

[13]الرياضيات: الصف الحادي عشر؛

Anton, Bivens & Davis, p. 63.

[14] Ibid.

[15] Anton, Bivens & Davis, p. 103.

[16] Ibid., p. 442.

[17] Stewart, Clegg & Watson, op. cit.