كتاب الهندسة (ديكارت)

الموجز

كتاب الهندسة (La Géométrie) كتابٌ في الرياضيات للفيلسوف والرياضي الفرنسي رينيه ديكارت (René Descartes، 1596-1650)، نشرَعام 1637 باللغة الفرنسية القديمة، ضمن ملحقات كتابه مقال عن المنهج وتُرجِم إلى العربية عام 2021.

يُعَدّ الكتاب إنجازًا رياضيًّا مهمًّا، وضعَ بفضله ديكارت المفاهيم الأساسية للهندسة التحليلية. ويتضمَّن ثلاث مقالات تُعالِج مسألة البناء الهندسي للمعادلات الجبرية، في سياق أوسع يتعلّق بمسألة العلاقة بين الجبر والهندسة. فقد سبقت هذا العمل إسهامات في الرياضيات العربية والإسلامية، ذلك أن بدايات الجبر الهندسي تعود إلى القرن الرابع الهجري/ العاشر الميلادي في الرياضيات العربية، بالاستفادة من أعمال محمد بن موسى الخوارزمي في علم الجبر في القرن السابق.. ثم أخذَ هذا التزاوج يظهر بشكل واضح مع جَبْرِ عمر الخيّام في القرن الخامس الهجري/ الحادي عشر الميلادي.

وقد ظهرت مع تطوّر علم الجبر مسألتان: تحويل مسألة هندسية إلى مسألة حلّ معادلة جبرية؛ وتحويل مسألة حلّ معادلة جبرية إلى مسألة بناء هندسي بوساطة المُنْحَنَيَات. وكان شرف الدين الطوسي قد كتب رسالة عن المعادلات درس فيها النهايات العُظمى للتعابير الجبرية، وهذا ما يرجع إلى إدخال مفهوم المشتقات من دون أن يُعطيها اسمًا.

مقالات الكتاب

المقالة الأولى: مسائل يمكن بناؤها باستخدام الدوائر والخطوط المستقيمة

يُبيِّن ديكارت في بداية كتابه كيف تستند عمليات الحساب إلى عمليات الهندسة، ويُقدِّم أمثلةً بسيطة تُظهر كيف يمكن، باستخدام بعض الخطوط، تحديد الخطّ المطلوب بوساطة إحدى عمليات الحساب: الجمع أو الضرب أو الطرح أو القسمة أو استخراج الجذور، إذا كانت وحدة الطول معلومة. فلو طُرِحت على سبيل المثال مسألة استخراج الجَذر التربيعي للطول GH، تُضاف إليه وحدة الطول FG، فيُحصَل على FH الذي يُعَدّ قطر الدائرة FIH، ثمَّ يُرسَم العمود GI على FH، فيكون GI الجَذر المطلوب (الشكل 1).

ثم يُبيِّن ديكارت كيفية الوصول إلى المعادلات التي تُستخدَم في حلّ المسائل: يتوجَّب في أول الأمر عَدُّ المسألة محلولةً لاستخلاص العلاقات بين الخطوط المجهولة وغير المجهولة، ويجب أن يكون عدد هذه العلاقات مساويًا لعدد الخطوط المجهولة لكي تكون المسألة مُحَدَّدة. وإن كان عدد العلاقات أقلَّ من عدد الخطوط المجهولة، فإن المسألة تكون غير محدّدة بشكل كامل. ويمكن اختزال الكميات المجهولة إلى كمية واحدة عند التوصُّل إلى بناء المسألة بدوائر وخطوط مستقيمة، أو بقطوع مخروطية، أو بخطوط أعلى تركيبًا بدرجةٍ أو درجتَيْن.

وتكون المسألة مُسطَّحةً عندما يُمكن حلّها باستخدام خطوط مستقيمة ومستديرة على سطح مُنبسِط. ويُعطي ديكارت هنا مسألة سهلة الحَلّ، ثم يعرض مسألة مُعقَّدة مأخوذة من بداية المقالة السابعة لكتاب لِبابُّوس الإسكندراني (Pappus of Alexandria، نحو 290-350م)، لم يستطع -حسب قوله- بابّوس ولا إقليدس ولا أبُلونيوس إيجاد حلٍّ لها بشكل كامل. وموجز المسألة:

إذا كانت هناك ثلاثة خطوط مستقيمة في وضع مُعيّن، ويُراد أن يُقام عليها انطلاقًا من نقطة واحدة ثلاثة خطوط أخرى بزوايا مُعيّنة، وكانت نسبة المستطيل المحصور بين اثنَيْن من الخطوط المقامة إلى مربّع الثالث مُعطاةً، فإنَّ هذه النقطة توجد على مكان مجسّم وضعُه معطًى، أي على أحد القطوع المخروطية الثلاثة. وإذا كانت هناك أربعة خطوط مستقيمة في وضع مُعيّن، يُراد أن تُقام عليها انطلاقًا من نقطة واحدة خطوطٌ بزوايا مُعيّنة، وكانت نسبة مستطيل اثنَيْن من الخطوط المُقامة إلى مستطيل الاثنَيْن الآخرَيْن مُعطاةً، فستوجد النقطة أيضًا على قطع مخروطي وضعُه مُعطًى. وإذا كان عدد الخطوط المستقيمة اثنَيْن فقط، فمعروفٌ أنَّ المكانَ مُسطّح.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

ثم يُعيد صياغة المسألة عدة مرات، مع زيادة عدد الخطوط المُعطاة إلى ستة وحتى تسعة، فتكون المسألة مسطّحة، إذا كان عدد الخطوط المُعطاة لا يتجاوز خمسة. وإذا كان هذا العدد من ستة إلى تسعة، فيمكن دائمًا إيجاد النقاط بوساطة هندسة المجسَّمات باستخدام أحد القطوع المخروطية، باستثناء الحالة التي تكون فيها الخطوط المُعطاة متوازية. وكلما زاد عدد الخطوط، ازدادت درجة المنحني الذي توجد عليه النقاط. ثمّ يُفصِّل في النهاية الحلَّ في الحالة التي تكون فيها أربعة خطوط مُعطاة، وذلك بإدخال مجهولَيْن يُحدِّدان موضع النقطة المجهولة[1].

المقالة الثانية: في طبيعة الخطوط المنحنية

يتطرّق ديكارت في المقالة الثانية[2] إلى مسائل الهندسة المسطّحة والخطّية والمجسَّمة التي يمكن بناؤها بوساطة الخطوط المستقيمة والدوائر، أو بوساطة القطوع المخروطية على الأقل، أو فقط باستخدام خطوط أعلى تركيبًا. ويلوم ديكارت القُدماء الذين لم يَهتمّوا بما فيه الكفاية بهذه الخطوط الأخيرة التي يُمكن رسمها بحركتَيْن منفصلتَيْن، وفق الشكل الذي يُعطيه (الشكل 2).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

يتبيّن أن الزاوية XYZ إذا فُتِحت، فإن النقطة B ترسم الخط AB وهو دائرة، وترسم النقاط D وF وH، إذ تتقاطَع بقيّةُ المساطر مع خطوط منحنية أخرى: AD، AF، AH، وهي في الترتيب أعلى تركيبًا من الأولى AD، التي هي أعلى تركيبًا من الدائرة.

ثم يُفرِّق ديكارت الخطوط المنحنية إلى أجناس: الجنس الأوّل يضمّ الدائرة والقطوع المخروطية؛ والجنس الثاني (أو الثالث ترتيبًا) يكون عندما ترتفع المعادلة إلى البُعْد الثالث أو الرابع (البُعْد الخامس والسادس ترتيبًا) بالنسبة إلى الكميات المجهولة، إلخ.

ويعود ديكارت إلى مسألة بابّوس التي استخرج معادلتها في المقالة الأولى، فيستنتج أن المُنحني هو من الجنس الأول في الحالة التي يكون فيها عدد الخطوط المُعطاة ثلاثة أو أربعة، ويكون من الجنس الثاني عندما لا يزيد عدد الخطوط على ثمانية، ويكون من الجنس الثالث إذا كان هذا العدد لا يتجاوز اثني عشر. ثم يُقدّم حلًّا مفصَّلًا للمسألة في الحالة التي يكون فيها عدد الخطوط المُعطاة ثلاثة أو أربعة، فيحصل على الحل على شكل قطع مخروطي.

ثم يشرح أربعة أجناس من البيضاويات التي تُستخدَم في البصريات، في انعكاس الضوء وانكساره، ويدلُّ على طريقةِ رَسْمِها ويدرسُ مميّزاتها ويبرهنُ معادلاتها. كذلك يدرس الأشكال الزجاجية التي تجعل الأشعة الآتية من نقطة ما تتجمّع كلها في نقطة أخرى بعد اجتيازها الزجاجة[3].

المقالة الثالثة: في بناء المسائل المجسَّمة وفوق المجسَّمة

يستخدم ديكارت الشكل السابق: الآلة XYZ، لابتكار عدّة متوسِّطات متناسبة:

\(\frac{YA}{YC}=\frac{YC}{YD}=\frac{YD}{YE}\)، فيستخرج منها المتوسِّط المطلوب YD، إذا كان الخط YE معلومًا مثل النسبة المشترَكة. ثم يتحدّث عن عدد الجذور التي يمكن إيجادها في معادلة مُعطاة، وهو مثل الخيّام والطوسي لا يقبل الجذور السالبة التي يُسمّيها "الجذور الخاطئة"، ذلك لأن الأعداد السالبة لم تكن مقبولة بعدُ في عصر ديكارت[4].

وإذا كان أحد الجذور معلومًا، فإنه يقسم مجموع المعادلة على ذي الحدَّيْن المؤلَّف من الكمية المجهولة منقوصةً من أحد الجذور، فيحصل على معادلة أبعادها تنقص واحدًا عن أبعاد المعادلة الأصلية. وإذا زيدت قيمة الجذور المُحقّقة من معادلة ما، يُنقَص قيمة الجذور الخاطئة، وهو يُعطي مثالًا على ذلك. كذلك يمكن جعل الجذور الخاطئة جميعها محقَّقة، بزيادةِ كميةٍ على الجذور المحقَّقة أكبر من أيٍّ من الجذور الخاطئة. كذلك لم تكن نظرية الأعداد العقدية معروفة في عصر ديكارت، لذلك كانت الجذور العقدية غير موجودة، بل كانت تُسمّى "جذورًا خيالية" (Imaginary roots)[5].

ثم يهتمّ ديكارت باختزال المعادلات التي لها أربعة أبعاد وتكون مسطّحة أو مجسّمة، فهي تكون مسطّحة إذا أمكن قسمتها على ذي حدَّيْن للحصول على معادلة ذات ثلاثة أبعاد. ويمكن أن تُقسَم مرة أخرى على ذي حدَّيْن، فتكون مسطّحة. ثم يُعطي مثالًا عن هذه الاختزالات، ويتحدّث عن إمكانية إضافة قاعدة عامّة لاختزال المعادلات التي تفوق مربّع المربّع أو مربّع المكعّب، حتى مرتبة فوق المجسمة أو أعلى من ذلك[6]، ولكنه لا يخوض في التفاصيل، بل يُعطي مثالًا لهذا الاختزال.

في مثال تثليث الزاوية \(NOP=\theta\) (الشكل 3)، يكون نصف قطر الدائرة مساويًا لوحدة الطول، ويكون \(q=NP\) وتر القوس \(NQTP\)، ويكون \(z=NQ\) وتر القوس الذي يوتِّر ثلث القوس \(NQTP\). فإذا أُخِذ \(QS\) موازيًا لـ\(TO\)، واستُخدِمت المثلثات المتشابهة ومتساوية الساقَيْن \(NOQ\) و\(SQR\) و\(QNR\)، نحصل على \(QR=z^{2}\) و\(RS=z^{3}\). ويكون أيضًا:

\[z=2\cdot\sin(\theta/6),\quad NP=z+2\cdot z\cdot\cos(\theta/3)=z+2\cdot z\cdot(1-z^{2}/2)=3\cdot z-z^{3}\]

وهذا ما يعطي المعادلة: \(z^{3}=3.z-q\) التي يُحصَل عليها إذا افتُرِض أن المسألة محلولة. ويجب إيجاد الحل \(z\) إذا كان \(q\) معلومًا، وهذا ما يحصل عليه ديكارت بوساطة التقاطع بين دائرة وقطع مكافِئ، فيبرهن أن لهذه المعادلة ثلاثة جذور، منها اثنان مُحقَّقان والثالث خاطئ، فيأخذ الجذر الأصغر الذي هو z = NQ، في حين أن QP يُمثِّل الجذر الأكبر.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

بعد ذلك، يُعمِّم ديكارت هذا الحلَّ بوساطة التقاطع بين دائرة وقطع مكافِئ على المعادلات الثلاث:

\(z^{3}=-p.z+q\)، \(z^{3}=+p.z+q\) وَ \(z^{3}=+p.z-q\)،

ويُعطي أيضًا "صيغة كاردان" (Cardan formula) للجذور الموجِبة لكلٍّ من هذه المعادلات التكعيبية.

ثم يعود في النهاية إلى الطريقة العامّة لبناء المسائل التي لا تزيد معادلاتها على ستّة أبعاد (الشكل 4).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

ويضع الشروط لإرجاع المعادلة إلى الشكل الآتي:

\(y^{6}-p.y^{5}+q.y^{4}-r.y^{3}+s.y^{2}-t.y+u=0\)،

إذ يكون\(q>p^{2}/4\) وهكذا، يرسم القطع المكافِئ الذي له الضلع القائم n = \(\sqrt{\frac{t}{\sqrt{u}}+q-\frac{1}{4}p^{2}}\)، على النحو الذي ينطبق فيه محوره DE على الخط BK، على أن يكون DE = \(\frac{2.\sqrt{u}}{p.n}\). ثم يرسم الخط المستقيم EA الذي يقطع القطع المكافِئ في النقطة C التي ترسم الخط المنحني ACN الذي يحتاج إليه في بناء المسألة المعروضة. ثم ينتقل ديكارت إلى البحث عن جذور المعادلة[7].

يُنهي ديكارت كتابه بتقديم طريقة لابتكار أربع وسائط متناسبة، إذ يُرجع الأمر إلى التقاطع بين قطع مكافئ ودائرة.

الأثر التاريخي للكتاب

يدرس ديكارت في الكتاب مسألة البناء الهندسي للمعادلات الجبرية. في سبيل ذلك، يستخدم التقاطع بين مُنحنيَيْن ليُحدّد جذور المعادلة، ثم يبحث عن الجذور الموجِبة المقبولة ويرفض الجذور السلبية، لأن الأعداد السلبية لم تكن معروفة في عصره ولا في عصر شرف الدين الطوسي ومَن سبقه من الجبريّين العرب. أما الجذور العقدية فلم تكن معروفة في عهد ديكارت، لذلك يُسمّيها "الجذور الخيالية". كذلك لم يكن ديكارت على علم بالمشتقّات التي تُساعد في رسم المنحنيات، في حين أن شرف الدين الطوسي بحثَ عن النهايات العُظمى للتعابير الجبرية، فاقترب من إدخال مفهوم الدالة المُشْتَقّة[8].

ويتضح من اجتهاد ديكارت في الكتاب كيف وضع المفاهيمَ الأساسية للهندسة التحليلية، التي أخذت تتطوّر من بعده بإدخال الأعداد السالبة والعقدية وأنظمة الإحداثيات ومفهوم الدالة ومشتقّاتها، وهذا ما سمح بالتزاوج الكامل بين الجبر والهندسة، ومهّدَ الطريق لظهور الهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية.

[1] ‫René‬ Descartes, La Géométrie (Paris, 1637), reprint Hermann, pp. 11-14.

[2] Ibid., p. 15.

[3] Ibid., pp. 41-47.

[4] Bahman Kalantari & Rahim Zaare-Nahandi, "On Tusi’s Classification of Cubic Equations and its Connections to Cardano’s Formula and Khayyam’s Geometric Solution," Palestine Journal of Mathematics, vol. 11, no. 4 (2022), pp. 7-22, Online at: https://arxiv.org/abs/2201.13282

[5] Carl Boyer & Uta C. Merzbach, A History of Mathematics (Hoboken, NJ: Wiley, 1991), pp. 439-445.

[6] Descartes, pp. 75-76.

[7] Ibid., pp. 80-83.

[8] حول استخدام مفهوم المشتق من قبل الطوسي، يُنظر: نقولا فارس، الجبر: ولادته وتطوّره في التقليد الريّاضي العربي (بيروت: دار الفارابي، 2017)، ص 246؛ رشدي راشد، الجبر والهندسة في القرن الثاني عشر: مؤلَّفات شرف الدين الطوسي، ترجمة نقولا فارس (بيروت: مركز دراسات الوحدة العربية، 1998)، ص 43؛

Nicolas Farès, "Le calcul du maximum et la "dérivée" selon Sharaf al-Dīn al-Tūsī," Arabic Sciences and Philosophy, vol. 5 (1995), pp. 219-238.

المراجع

العربية

ديكارت، رينيه. كتاب الهندسة. ترجمة نقولا فارس وبدوي المبسوط. دمشق: دار نينوى، 2021.

الأجنبية

Boyer, Carl & Uta C. Merzbach. A History of Mathematics. Hoboken, NJ: Wiley, 1991.

Descartes, René. La Géométrie. Paris: Editions Jacques Gabay, 1991.

Farès, Nicolas. "Le calcul du maximum et la "dérivée" selon Sharaf al-Dīn al-Tūsī." Arabic Sciences and Philosophy. vol. 5, no. 2 (1995). pp. 219-238.

Kalantari, Bahman & Rahim Zaare-Nahandi. "On Tusi’s Classification of Cubic Equations and its Connections to Cardano’s Formula and Khayyam’s Geometric Solution." Palestine Journal of Mathematics. vol. 11, no. 4 (2022). pp. 7-22.

Smith, D. E. & M. L. Latham. The Geometry of René Descartes. Garden City, NY: Dover Publications, 1954[1925].