حل الأنظمة الخطية باستخدام المصفوفة العكسية

الموجز

حلُّ الأنظمة الخطية باستخدام المصفوفة العكسية (Inverse Matrix) طريقةٌ جبرية مباشرة من أبرز طرائق حل أنظمة المعادلات الخطية، تقوم على تحويل النظام إلى معادلة مصفوفية ثم ضرب طرفيها في المصفوفة العكسية لمصفوفة المعاملات، بشرط أن تكون هذه المصفوفة مربعة ومحددها غير صفري، والطريقة أداة فعالة في دراسة الأنظمة الخطية وتحليل خصائصها الرياضية والهندسية. وتُستخدم هذه الطريقة في تحليل الشبكات الكهربائية، وحل المسائل الهندسية، ومعالجة البيانات في علوم الحاسوب. كما تسهم الطريقة في فهم أعمق للعلاقات بين المصفوفات والتحويلات الخطية، وهو ما يساعد في الوصول إلى حلول دقيقة ومنظمة للأنظمة الرياضية المعقدة.

أنظمة المعادلات الخطية

يُعرّف نظام المعادلات الخطية بأنه مجموعة من المعادلات تضم عددًا من المجاهيل التي تظهر بصورة خطية، وفي سياق الجبر الخطي توضع بعض الصياغات لأشكال المعادلات الخطية مع مفاهيم أساسية ليسهل التعامل معها، فمثلًا إذا افتُرض وجود \(m\) من المعادلات الخطية في \(n\) من المجاهيل، مثل: \(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\) ، وليكن \(a_{ij}\) عددًا يرمز إلى معامل \(x_{j}\) في المعادلة \(i\) ، ولتكن \(b_{1},b_{2},\ldots , b_{m}\) ثوابت أيضًا عددها مساوٍ لعدد المعادلات، عندئذ يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية بالصيغة التالية[1]:

\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]

\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]

\[⋮ \]

\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]

أنواع الحلول

تكون قيم معينة للمجاهيل السابقة حلًا لنظام المعادلات السابق إذا حققت جميع معادلات النظام[2]،

كما يوجد في النظام التالي:

\[x_{1}-x_{2}=2\]

\[x_{2}=1\]

يمكن القول إن القيم التالية للمجاهيل \(x_{1}=3,x_{2}=1\) هي حلٌّ للنظام، وذلك لأنها تحقق جميع معادلاته.

تختلف أنظمة المعادلات الخطية بعضها عن بعض في طبيعة حلولها، فمنها ما يمتلك حلًا وحيدًا فقط، ومنها ما يمتلك عددًا لانهائيًا من الحلول، ومنها ما لا يمتلك حلًا أصلًا[3].

فمثلًا النظام التالي:

\[2x_{1}+4x_{3}=6\]

\[x_{2}-3x_{3}=1\]

يمتلك عددًا لانهائيًا من الحلول.

أما النظام التالي فليس له حل:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

التمثيل المصفوفي

يمكن تمثيل نظام المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات بحيث يصبح النظام على شكل معادلة مصفوفية \(AX=b\) ، إذ تكون \(A\) مصفوفة معاملات النظام. أما \(X\) فهو المتجه الرأسي أو المصفوفة الرأسية التي تحوي المجاهيل، في حين يكون \(b\) هو المتجه الرأسي أو المصفوفة الرأسية التي تحوي الثوابت في الطرف الآخر لكل معادلة. ولتوضيح طريقة التمثيل هذه، يمكن ملاحظة النظام التالي[4]:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

\[x_{1}+x_{2}=0\]

يمكن تمثيل هذا النظام على شكل معادلة مصفوفية \(AX=b\) كما يلي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]

بحيث إن:

\[A=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]

لاحظ أن عدد صفوف المصفوفة \(A\) يساوي عدد معادلات النظام، وعدد أعمدتها يساوي عدد مجاهيله.

تعميمًا على طريقة كتابة أنظمة المعادلات هذه، فإن أي نظام على الشكل:

\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]

\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]

\[⋮ \]

\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]

يمكن أن يُمثل بمعادلة مصفوفية \(AX=b\) كما يلي:

\[A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{bmatrix}\]

علمًا أن عدد صفوف المصفوفة \(A\) يساوي عدد المعادلات، وعدد الأعمدة فيها يساوي عدد المجاهيل[5].

علاوة على أسلوبي الحذف والتعويض التقليديين، فإن الجبر الخطي يتعامل مع عدة طرائق أساسية لحل أنظمة المعادلات الخطية، التي يُرمز إليها اختصارًا بالتعبير المصفوفي \(AX=b\) . وتُعد طريقة المصفوفة العكسية من أهم هذه الطرائق التي تقدم حلولًا سريعة في الأنظمة التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المجاهيل.

طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية لحل أنظمة المعادلات الخطية

من البديهي أنه من الصيغة \(AX=b\) لنظام المعادلات الخطية، إذا ضُرب طرفا المعادلة في المصفوفة العكسية \(A^{-1}\) من اليسار، يُحصل على الشكل \(X=A^{-1}b\) ، وهو ما يتيح إيجاد قيم المجاهيل بسهولة عبر حساب حاصل الضرب ثم مساواة العناصر المتناظرة، إلا أن تطبيق هذه الطريقة يقتضي التحقق أولًا من وجود المصفوفة العكسية \(A^{-1}\)، التي لا تكون موجودة إلا إذا كانت المصفوفة \(A\) غير مفردة، أي إن محددها لا يساوي الصفر. ولأن المحدد يُعرّف فقط للمصفوفات المربعة، فإن هذه الطريقة تصلح فقط عندما تكون المصفوفة \(A\) مربعة (أي عندما يكون عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل) ومحددها غير صفري[6].

وبناء عليه، فإن طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية تُستخدم فقط في الأنظمة التي تحقق هذين الشرطين، وهو ما يشكل الأساس لتحديد إمكانية تطبيقها في حل أنظمة المعادلات الخطية.

فمثلًا النظام التالي غير المتجانس:

\[3x_{1}-5x_{2}=-2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=-4\]

الشرط الأول فيه لاستعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية متحقق، وهو أن عدد معادلاته مساوٍ لعدد المجاهيل فيه، أما الشرط الثاني فهو دراسة محدد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\) كما يلي:

\[\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}=6-30=-24\neq 0\]

ولأنه غير صفري، فإنه يمكن استعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية.

أما النظام التالي:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

\[x_{1}+x_{2}=0\]

فهو مباشرةً غير قابل للحل باستعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية، وذلك لأن عدد معادلاته لا يساوي عدد المجاهيل فيه.

وأما النظام التالي:

\[3x_{1}-x_{2}=5\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

فهو على الرغم من أن عدد معادلاته يساوي عدد المجاهيل فيه، فإنه أيضًا غير قابل للحل باستخدام طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية، وذلك لأن محدد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\) يساوي الصفر:

\[\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}=6-6=0\]

أمثلة

كما ذُكر سابقًا، لاستعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية لحل أنظمة المعادلات الخطية يجب بدايةً التحقق من أن عدد معادلات النظام يساوي عدد مجاهيله، ومن ثم يُحسب محدد مصفوفة المعاملات، فإذا كان صفريًا كانت الطريقة غير قابلة للتطبيق، أما إذا لم يكن صفريًا فيمكن عندئذ استعمال هذه الطريقة. يبقى بعد ذلك لإيجاد حلول النظام أن تُحسب المصفوفة العكسية لمصفوفة المعاملات وأن يُضرب فيها طرفا المعادلة. وفي ما يلي بعض الأمثلة لتوضيح آلية عمل هذه الطريقة:[7]

المثال 1: جد حل نظام المعادلات الخطية التالي:

\[3x_{1}-5x_{2}=-2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=-4\]

الحل:

بدايةً، يُكتب النظام على شكل معادلة مصفوفية كما يلي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}\]

من الواضح أن عدد معادلاته مساوٍ لعدد مجاهيله. أما محدد مصفوفة المعاملات فهو كما يلي غير مساوٍ للصفر:

\[\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}=6-30=-24\]

لذا يمكن تطبيق طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية. بداية، تُحسب المصفوفة العكسية لمصفوفة المعاملات فتكون على الشكل التالي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}^{-1}=-\frac{1}{24}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{12} & -\frac{5}{24} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}\]

ومن ثم يُحصل على المعادلة المصفوفية التي تمثل الحل \(X=A^{-1}b\) :

\[\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{12} & -\frac{5}{24} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

وبمساواة العناصر المتناظرة يكون حل النظام هو \(x_{1}=x_{2}=1\) .

المثال 2: جد حل نظام المعادلات الخطية التالي:

\[x_{1}-2x_{2}=0\]

\[5x_{1}-x_{2}=0\]

يُلاحظ جليًّا إمكانية استعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية، وذلك لأن عدد معادلات النظام يساوي عدد المجاهيل، ومحدد مصفوفة المعاملات لا يساوي الصفر. ولذا يُبدأ بإيجاد المصفوفة العكسية لمصفوفة المعاملات:

\[\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ -1 & \frac{1}{5} \end{bmatrix}\]

ومن ثم تُكتب المعادلة المصفوفية التي تمثل الحل \(X=A^{-1}b\) :

\[\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ -1 & \frac{1}{5} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

وبتساوي العناصر المتقابلة يكون حل النظام هو \(x_{1}=x_{2}=0\) .

[1] معروف عبد الرحمن سمحان وعلي بن عبد الله السحيباني وفوزي بن أحمد الذكير، الجبر الخطي وتطبيقاته، ط 2 (الرياض: مكتبة العبيكان، 2006)، الفصول 1، 3.

[2] المرجع نفسه.

[3] المرجع نفسه.

[4] Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 11^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2013), Chapter 1.

[5] Ibid.

[6] Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4^th ed. (Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006), Chapter 2.

[7] Ibid.

المراجع

العربية

سمحان، معروف عبد الرحمن وعلي بن عبد الله السحيباني وفوزي بن أحمد الذكير. الجبر الخطي وتطبيقاته. ط 2. الرياض: مكتبة العبيكان، 2006.

الأجنبية

Anton, Howard. Elementary Linear Algebra. 11^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2013.

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4^th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006.