التكامل

التكامل هو فرع من حساب التفاضل والتكامل (Calculus) يهتم بنظرية التكاملات وتطبيقاتها ويتعامل مع الحجم الكلي أو القيمة، مثل الأطوال والمساحات والحجوم. في حين يركّز حساب التفاضل على معدلات التغير {{معدل التغير: هو المشتقة التي تمثل تغير قيمة الدالة بالنسبة إلى تغير المتغير المستقل، ويُستخدم لوصف الميل اللحظي للمنحنى أو سرعة التغير عند نقطة معينة.}}، مثل ميل المماسات وإيجاد السرعة. يرتبط الفرعان (حساب التفاضل وحساب التكامل) بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، التي توضح كيف يُحسَب التكامل المحدود باستخدام التكامل غير المحدود. ومن تطبيقات النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، على سبيل المثال، أن تكامل دالة السرعة يعطي دالة المسافة، ما يتيح حساب المسافة التي يقطعها جسم ما خلال مدة زمنية معينة. تنبع الفائدة لحساب التكامل أيضًا من استخدامه في حل المعادلات التفاضلية. يعدُّ علم التفاضل والتكامل من أهم الأدوات الرياضية التي تدخل في تطبيقات واسعة؛ ففي الفيزياء يُستخدم لحساب السرعة والتسارع، وتحليل حركة الأجسام تحت تأثير القوى، وفي الكيمياء يساعد في نمذجة معدلات التفاعلات الكيميائية ودراسة تغير تركيز المواد مع الزمن، أما في الهندسة فيُستخدَم في تصميم المنحنيات، وفي حل معادلات الدوائر الكهربائية[1].

معدل التغير في الرياضيات، وخاصة في التفاضل والتكامل، هو المشتقة التي تمثل تغير قيمة الدالة بالنسبة إلى تغير المتغير المستقل، ويُستخدم لوصف الميل اللحظي للمنحنى أو سرعة التغير عند نقطة معينة.

وفي الاقتصاد يُطبَّق التفاضل لتحليل التكاليف الحدية والإيرادات، في حين يساعد التكامل في حساب القيم التراكمية مثل فائض المستهلك. كذلك يؤدي دورًا حيويًا في الإحصاء، إذ يُستخدم في تحديد دوال الاحتمال، وحساب المساحات تحت المنحنيات.

التكامل، في الرياضيات، إما قيمة عددية تساوي المساحة تحت الرسم البياني لدالة ما على فترة معينة (تكامل محدود) وإما دالة جديدة تكون مشتقتها هي الدالة الأصلية (تكامل غير محدود). ويرتبط هذان المعنيان بحقيقة أنه يمكن العثور على تكامل محدود لأي دالة (يمكن تكاملها) باستخدام التكامل غير المحدود. يرمز إلى التكامل المحدود (ما يُسمى الآن بتكامل ريمان) للدالة \(f(x)\) بالرمز \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) الذي يساوي المساحة المحصورة بين منحنى الدالة \(f(x)\) ومحور \(x\) والمستقيمين \(x=a, x=b\)، في حين يرمز للتكامل غير المحدود (معكوس المشتقة، Antiderivative) بالرمز \(\int_{}^{} f(x)dx\)، الذي يعبر عن دالة جديدة مشتقتها تساوي الدالة الأصلية \(f(x)\)[2].

مفهوم التكامل ونشأته

يمكن تعريف "حساب التفاضل والتكامل" بأنه ذلك الفرع من الرياضيات الذي يدرس خواص الدوال المرتبطة بتقنية النهاية وهي الاتصال، والاشتقاق، والتكامل. ويعد حساب التفاضل والتكامل المستوى التمهيدي لفرع آخر من الرياضيات هو فرع التحليل. يتعامل التحليل مع العمليات اللانهائية إذ يشمل مجالات متعددة مثل التحليل الحقيقي والتحليل المركب. في الواقع، إن مفاهيم التفاضل والتكامل قد دُرِست بوساطة عدد كبير من علماء الرياضيات على مر العصور[3].

إن مفهوم التكامل مرتبط بمفهومي المساحة والحجم، فقد حاول قدماء اليونان حساب مساحات المناطق المستوية إذ اعتمدوا في ذلك على الهندسة الأقليدية لإيجاد مساحات المضلعات، وحسب أرخميدس مساحة القطع الناقص، ومساحة مقطع من قطع مكافئ، وحسب المساحة السطحية للكرة وحجمها[4].

حسب ابن الهيثم (354هـ/965م – 430هـ/ 1039م) حجوم بعض المجسمات، وابتكر أفكارًا تتعلق بالتكامل الهندسي، ولكن لم يصل إلى تطوير نظرية التكامل كما هي معروفة الآن[5]. كذلك حسب كڤاليري (Cavalieri، 1598-1647) المساحة المحصورة بين منحنى الدالة \(y = x^{n}\) ومحور \(x\) ضمن مجال محدد، إذ إن \(n\) ينتمي إلى المجموعة \({1,2,⋯,9}\)، باستخدام المجاميع اللانهائية هو مشابه من حيث المبدأ للتكامل، ثم بعد ذلك خمن الصيغة العامة لهذه المساحة لكل \(n\)[6]. وقد حسب بيير دي فيرما (Pierre de Fermat، 1601-1665) المساحة المحصورة بين قطعين مخروطيين باستخدام المجاميع التي تكافئ الصيغة المستخدمة الآن في حساب التكامل، وكان ذلك من أولى الخطوات نحو تطوير المفاهيم الحديثة[7].

أدرك إسحاق بارو (Isaac Barrow، 1630-1677) العلاقة العميقة بين حساب التفاضل وحساب التكامل، وكانت هذه العلاقة الأساس لما يُعرف لاحقًا باسم "النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل" (Fundamental Theorem of Calculus). وقد مهّدت أعماله الطريق أمام الاكتشافات التي قدّمها إسحاق نيوتن (Isaac Newton، 1642-1727) وغوتفريد لايبنيتز (Gottfried Wilhelm Leibniz، 1646-1716)، اللذان توصّلا إلى صيغة هذه النظرية بشكل مستقل. وقد استخدم لايبنيتز رمز التكامل المتعارف عليه وهو ʃ المشتق من الحرف S في كلمة summa اللاتينية والتي تعني "المجموع" للتعبير عن التكامل، وهو الرمز المتعارف عليه حتى اليوم[8].

وفي القرن التاسع عشر، أوضح جوزيف ليوڤيل (Joseph Liouville، 1809-1882) أن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لا يمكن تطبيقها على الدوال الرئيسة جميعها عند حساب تكاملاتها، ما شكّل دافعًا لمزيد من التطوير في نظرية التكاملات غير الأولية[9].

أما جوزيبي بيانو (Giuseppe Peano، 1858-1932)، فقد أسهم في صياغة المفاهيم الأساسية بشكل أدق، إذ قدم تعريفًا رياضيًا صارمًا لمفهوم المساحة تحت المنحنى، كذلك وضع تعريفًا دقيقًا لطول القوس، الأمر الذي أسهم في تأسيس الصياغة[10].

استمر تطوير التفاضل والتكامل بعد نيوتن ولايبنيتز على يد عدد من العلماء البارزين، منهم جاكوب بيرنولي (Jacob Bernoulli، 1654-1705) ويوهان بيرنولي (Johann Bernoulli، 1667-1748)، اللذان قدّما إسهامات جوهرية في صقل المفاهيم الأساسية وتطوير التطبيقات التحليلية.[11]

وفي عام 1734، نشر الفيلسوف جورج بركلي (George Berkeley، 1685-1753) كتابًا بعنوان The Analyst، هاجم فيه الأسس المنطقية التي قام عليها التفاضل والتكامل، منتقدًا ما رآه افتقارًا إلى الدقة الرياضية، وسعى من خلاله إلى إثارة النقاش بشأن تعزيز الصرامة في الأساليب الرياضية المستخدمة في هذا المجال.[12]

أنواع التكامل

التكامل المحدود

حاول كولين ماكلورين (Colin Maclaurin، 1698-1746) أن يُؤسس حساب التفاضل والتكامل على أساس هندسي ومنطقي، إلا أن المحاولة الأنضج والأكثر اكتمالًا في هذا الاتجاه تُنسب إلى العالم الفرنسي أوغستين لويس كوشي (Augustin-Louis Cauchy، 1789-1857)، ففي عام 1823، قدّم كوشي تعريفًا صارمًا للتكامل المحدود، أسهم في تحويل حساب التفاضل والتكامل من مستوى تقريبي قائم على الحدس إلى نظرية قائمة على أسس رياضية دقيقة، مهدت الطريق لتطور التحليل الرياضي الحديث.[13]

لتکن \(f\) دالةً متصلة معرفة على الفترة \([a,b]\) ولتكن \({a=x_{0},x_{1},⋯,x_{n}=b}\) تجزئة للفترة \([a,b]\) فإن نهاية المجموع الآتي عندما \(n\rightarrow \infty \)

\[\sum_{j=1}^{n} f\left(x_{j}\right)\left(x_{j}-x_{j-1}\right),\]

هو التكامل المحدود للدالة \(f\) على الفترة \([a,b]\)، كذلك عالج كوشي أيضًا التكاملات المعتلة[14].

بعد ذلك طوّر برنارد ريمان (Bernhard Riemann، 1826-1866) مجموع كوشي إلى ما عُرف لاحقًا باسم مجموع ريمان (Riemann Sum)، إذ استبدل النقطة \(x_{j}\) بنقطة أخرى اختيارية ضمن الفترة \([x_{j},x_{j+1}]\) وقد أدى هذا التعميم إلى ظهور مفهومي تكامل ريمان العلوي وتكامل ريمان السفلي، اللذين مثّلا تطورًا نوعيًا في تعريف التكامل بشكل أدق وأكثر صرامة. وكذلك أولى ريمان اهتمامًا كبيرًا بالشروط التي يجب توافرها حتى يكون مجموع كوشي متقاربًا، وهو ما أدى إلى بروز مجموعة من نظريات قابلية التكامل، التي تُعنى بتحديد متى تكون دالة ما قابلة للتكامل وفق تعريف ريمان[15].

ويُذكر أيضًا أن مجاميع ريمان العليا والسفلى تُعرف كذلك باسم مجاميع داربو (Darboux Sums)، نسبةً إلى الرياضي الفرنسي غاستون داربو (Gaston Darboux، 1842-1917)، الذي قدّم صياغة بديلة لمفهوم التكامل تعتمد على حدي مجموعي ريمان العلوي والسفلي، في ما يُعرف بـخصيصة داربو (Darboux Property)[16].

التكامل غير المحدود

على الرغم من أن مسألة إيجاد المساحة تحت المنحنى كانت البذرة الأساسية لفكرة التكامل، وهي تُعد تفسيرًا هندسيًا مهمًا، فإن دراسة التكامل غير المحدود تُسهّل الفهم الأولي لطبيعة التكامل، وتمهد الطريق لدراسة التكامل المحدود بشكل أعمق وأشمل.

الدالة \(F\) تعد معكوسًا لمشتقة الدالة \(f\) على الفترة \([a,b]\) إذا وفقط إذا كان[17]:

1. \(F\) متصل على الفترة \([a,b]\).
2. \(F^{'}\left(t\right)=f\left(t\right), \forall t\in [a,b]\).

وبناءً على مفهوم معكوس المشتقة يمكن تعريف التكامل غير المحدود.

على سبيل المثال الدالة \(F\left(t\right)=t^{3}\) هي معكوس لمشتقة الدالة \(f\left(t\right)=3t^{2}\).

علاوة على ذلك، فإن الدوال:

\[K\left(t\right)=t^{3},\]

\[G\left(t\right)=t^{3}+3,\]

\[H\left(t\right)=t^{3}-8,\]

هي أيضًا معكوس لمشتقة الدالة \(f\left(t\right)=3t^{2}\).

يُلحَظ من المثال السابق ما يأتي:

1. يوجد عدد لا نهائي من المعكوسات للمشتقة تختلف فقط في الحد الثابت.
2. الفرق بين أي معكوسي مشتقة لدالة ما هو عدد ثابت.

ومن ثم إذا كان \(F(t)\) معكوسًا لمشتقة الدالة \(f\) فإن الصيغة العامة لمعكوس مشتقة \(f\) هي \(F\left(t\right)+c\) بحيث يكون \(c\) عددًا ثابتًا[18].

• تعريفه

إذا كان \(F(t)\) معكوسًا لمشتقة الدالة المتصلة \(f(t)\)، فإن الصيغة العامة لمعكوس المشتقة تسمى بالتكامل غير المحدود، وتكتب على الشكل[19]:

\[\int_{}^{} f(t)dt=F\left(t\right)+c.\]

الدالة \(f(t)\) تسمى الدالة المكاملة، المتغير \(t\) يسمى متغير التكامل، الثابت \(c\) يسمى ثابت التكامل.

بناءً على هذا التعريف، فإنه إذا علم \(f'(t)\) وطلب \(f(t)\) فيمكن إيجاده عن طريق التكامل غير المحدود كما يأتي:

\[f\left(t\right)=\int f^{'}\left(t\right)dt.\]

وفي ما يأتي بعض خصائص التكامل غير المحدود[20]:

1. \(\int_{}^{} kf\left(t\right)dt=k\int f\left(t\right)dt\)، بحيث يكون \(k\) أي عدد حقيقي.
2. \(\int_{}^{} (f(t)\mp g(t))dt=\int f(t)dt\mp \int g(t)dt\).

يجب التنبّه إلى أن[21]:

1. \(\int f\left(t\right)g\left(t\right)dt\neq \int f\left(t\right)dt \int g\left(t\right)dt\),
2. \(\int \frac{f\left(t\right)}{g\left(t\right)}dt\neq \frac{\int f\left(t\right)dt}{\int g\left(t\right)dt}\).

والمثال الآتي يوضح هذه الخصائص:

مثال: إذا كان \(\int 3f\left(t\right)dt=12\)، وكان \(\int (2f\left(t\right)-5g(t))dt=20\)، فإن التوصل إلى قيمة \(\int g\left(t\right)dt\) يكون كما يأتي:

الحل: حسب الخصيصة (1) أعلاه فإن:

\[\int 3f\left(t\right)dt=12\implies \int f\left(t\right)dt=4.\]

وباستخدام خصيصة (1) وخصيصة (2) فإن:

\[\int \left(2f\left(t\right)-5g\left(t\right)\right)dt=2\int f\left(t\right)dt-5\int g\left(t\right)dt.\]

ومن ثَمّ، فإن:

\[2\int f\left(t\right)dt-5\int g\left(t\right)dt=20 \Rightarrow 2\left(4\right)-5\int g\left(t\right)dt=20\]

\[\implies -5\int g\left(t\right)dt=12\]

بناءً على قواعد الاشتقاق، يمكن تحديد معكوس المشتقة (أي التكامل غير المحدود) لكثير من الدوال الأساسية، كما هو موضح في القائمة الآتية:[22]

مثال: أوجد كلًا من التكاملات الآتية:

1) \(\int \frac{1}{2t^{3}}dt\).

الحل:

\[\int \frac{1}{2t^{3}}dt=\int \frac{1}{2}t^{-3}dt=\frac{1}{2} \frac{t^{-2}}{-2}+c.\]

2) \(\int e^{2t}+3\sec^{2}(t)dt\).

الحل:

\[\int e^{2t}+3\sec^{2}(t)dt=\int e^{2t}dt+3\int \sec^{2}(t)dt=\frac{e^{2t}}{2}+3\tan(t)+c.\]

3) \(\int (\frac{1}{t}+2^{t}-\sqrt[4]{t})dt\).

الحل:

مسألة المساحة والتكامل المحدود

عند حساب مساحة شكل هندسي ما، فإن أول ما يتبادر إلى الذهن استخدام القوانين المشهورة لحساب المساحة مثل قانون مساحة المربع، أو المثلث، أو المستطيل، وهكذا. وإذا كان الشكل مكونًا من عدة مضلعات مركبة فإنه يمكن حساب مساحته عن طريق تقسيم الشكل إلى عدة أشكال أبسط وحساب مجموع المساحات للأشكال الناتجة. لكن عند حساب مساحة شكل ذي حوافّ منحنية فإنه من الصعوبة بمكان إيجاد مساحته باستخدام القوانين السابقة والخاصة بالمضلعات.

يرتبط التكامل المحدود ابتداءً بمشكلة المساحة ولا سيما للأشكال الهندسية غير المضلعة، وتعد مشكلة المساحة أيضًا جذرًا تاريخيًا أدى إلى ظهور التكامل المحدود وتطوره.

لتكن \(f(t)\) دالة متصلة ومحدودة في الفترة \([a,b]\) مع الأخذ في الحسبان مساحة المنطقة \(\Omega \) ( \(A(\Omega )\)) المحصورة بين منحنى الدالة \(f\) والمحور الأفقي والمستقيمين \(t = a\) ، \(t = b\). (الشكل 1).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

لتقريب المساحة المحصورة بين منحنى الدالة \(f\) والمحور الأفقي والمستقيمات \(t=a, t=b\) تُقسَّم أولًا الفترة \([a,b]\) إلى \(n\) من الفترات الجزئية للحصول على الفترات الجزئية \([t_{j-1},t_{j}]\) بحيث \(j=1,2,⋯,n\)، وبحيث:

\[a=t_{0}

وهذا التقسيم ينتج مستطيلات عددها \(n\) وعرض كل منها \(t_{j}-t_{j-1}=\Delta t_{i}\).

يمكن تقريب مساحة المنطقة \(\Omega \) ( \(A(\Omega )\)) عن طريق حساب مجموع مساحات المستطيلات الداخلية كما هو موضح في (الشكل 2) بحيث يكون طول المستطيل هو \(m_{j}\) أصغر صورة داخل الفترة الجزئية \([t_{j-1},t_{j}]\) وعرضه \(\Delta t_{j}\) والذي يسمى المجموع السفلي للدالة \(f\)، ومن ثم فإن \(A\left(\Omega \right)\approx \sum_{j=1}^{n} m_{j} \Delta t_{j}\). ولكن يجب ملاحظة أن:

\[A\left(\Omega \right)\geq \sum_{j=1}^{n} m_{j} \Delta t_{j}.\]

​كذلك يمكن تقريب مساحة المنطقة \(\Omega \) ( \(A(\Omega )\)) عن طريق حساب مجموع مساحات المستطيلات الخارجية كما هو موضح في (الشكل 3) بحيث يكون طول المستطيل \(M_{j}\) هو أكبر صورة داخل الفترة الجزئية \([t_{j-1},t_{j}]\) وعرضه \(\Delta t_{j}\) الذي يسمى المجموع العلوي للدالة \(f\)، ومن ثم فإن \(A\left(\Omega \right)\approx \sum_{j=1}^{n} M_{j} \Delta t_{j}\). مع ملاحظة أن:

\[A\left(\Omega \right)\leq \sum_{j=1}^{n} M_{j} \Delta t_{j}.\]

إذن، فكلٌ من المجموع السفلي والمجموع العلوي للدالة \(f\) يعد تقريبًا لمساحة المنطقة \(\Omega \)، علاوة على ذلك فإنه من خلال المتباينتين السابقتين نجد أن الرقم الذي يمكن أن يعبر عن مساحة المنطقة \(\Omega \) يجب أن يكون أكبر من المجموع السفلي للدالة \(f\)، وأقل من المجموع العلوي للدالة \(f\).

ليكن لدينا الفترة المغلقة \([a,b]\)، فإن المجموعة الجزئية \(P\) من هذه الفترة المغلقة تسمى تجزئة لها إذا كانت مجموعة منتهية وكانت تحتوي على \(a\) و \(b\)[23].

مثال: المجموعات الآتية: \(\left\{0,2\right\}, \left\{0,1,2\right\}, {0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},2}\) كلها تجزئة للفترة المغلقة \([0,2]\).

ملاحظة: إذا كانت \(P={t_{0}=a,t_{1},⋯,t_{n}=b}\) تجزئة للفترة المغلقة \([a,b]\) فإن \(P\) تقسم الفترة \([a,b]\) إلى فترات جزئية غير متداخلة وهي[24]:

\[\left[t_{0},t_{1}\right], \left[t_{1},t_{2}\right], ⋯, \left[t_{n-1},t_{n}\right],\]

وأيضًا أطوالها على الترتيب هي \(\Delta t_{1},\Delta t_{2},⋯,\Delta t_{n}\).

إذا كانت الدالة \(f\) متصلة على الفترة \([a,b]\)، فإنه على كل فترة جزئية \([t_{i-1},t_{i}]\) يكون للدالة \(f\) قيمة عظمى \(M_{i}\) وقيمة صغرى \(m_{i}\). وبناءً على ذلك ستُستَخدم الرموز الآتية للتسهيل في ما يأتي[25]:

1. \(P\) المجموع العلوي للدالة \(f\)

\[U_{f}\left(P\right)=\sum_{j=1}^{n} M_{j} \Delta t_{j}.\]

2. \(P\) المجموع السفلي للدالة \(f\)

\[L_{f}\left(P\right)=\sum_{j=1}^{n} M_{j} \Delta t_{j}.\]

بناءً على ما سبق يعرف التكامل المحدود للدالة \(f\) من \(a\) إلى \(b\) كما يأتي:

تعريف: (التكامل المحدود) (تعريف داربو)

التكامل المحدود هو العدد الحقيقي الوحيد \(I\) الذي يحقق المتباينة:[26]

\(L_{f}\left(P\right)\leq I\leq U_{f}\left(P\right) \)، لكل تجزئة \(P\) للفترة \([a,b]\).

تسمى هذه الطريقة بطريقة داربو نسبة إلى العالم الفرنسي جان غاستون داربو (Jean-Gaston Darboux، 1842-1917).

يسمى التكامل المحدود للدالة \(f\) من \(a\) إلى \(b\)، ويرمز للتكامل المحدود للدالة \(f\) من \(a\) إلى \(b\) بالرمز \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) (الشكل 4).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

مثال: إذا كان \(f\left(t\right)=4\) لكل \(t\in \left[a,b\right]\)، فأوجد \(\int_{a}^{b} f(t)dt\).

الحل: لتكن \(P={t_{0},t_{1},⋯,t_{n}}\) أي تجزئة.

بما أن الدالة \(f\) ثابت على الفترة \([a,b]\) فإنه أيضًا ثابت على كل فترة جزئية \(\left[t_{i-1},t_{i}\right]\)، ومن ثم فإن \(M_{i}=m_{i}=4\)

وهذا يؤدي إلى أن:

وبالطريقة نفسها يُستنتج أن \(L_{f}\left(P\right)=4(b-a)\).

ومن ثم فإن من الواضح أن \(L\left(f\right)\leq 4\left(b-a\right)\leq U(f)\).

إذن حسب التعريف فإن \(\int_{a}^{b} f(t)dt=4(b-a)\).

بشكل عام فإن \(\int_{a}^{b} kdt=k(b-a)\).

التكامل المحدود على شكل نهاية مجموع ريمان

إذا كانت الدالة \(f\) متصلة على الفترة المغلقة \([a,b]\)، فإنه يمكن تعريف التكامل المحدود على شكل نهاية مجموع ريمان كالآتي:

تعريف: (تكامل ريمان) لتكن \(P\) أي تجزئة للفترة \([a,b]\)، وليكن \(||P||=\max_{1\leq i\leq n} \Delta t_{i}\)، وللفترة الجزئية \([t_{i-1},t_{i}]\) اختر عنصرًا (أي عنصر) من هذه الفترة وليكن \(t_{i}^{*}\)، فإن تكامل ريمان هو[27]:

\[\int_{a}^{b} f(t)dt=\lim_{\left|\left|p\right|\right|\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(t_{i}^{*})\Delta t_{i},\]

يسمى المجموع \(S^{*}\left(P\right)=\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}^{*}\right)\Delta (t_{i})\) بمجموع ريمان.

يُلحظ أن \(L_{f}\left(P\right)\leq S^{*}\left(P\right)\leq U_{f}(P)\)، ومن ثم فإن التعريفين متكافئان، أي إن الدالة \(f\) قابلة للتكامل بمفهوم داربو (مجموع علوي، مجموع سفلي) إذا وفقط إذا كانت قابلة للتكامل بمفهوم مجموع ريمان.

في حين أن مجموع ريمان غالبًا ما يكون أكثر عملية للحسابات العددية، فإن مجموعات داربو (السفلية والعلوية) توفر الوضوح والبساطة في السياقات النظرية (في براهين النظريات).

خصائص التكامل المحدود

إذا كانت الدالتان \(f\) و \(g\) قابلتين للتكامل والثابت \(k\) عدد حقيقي ثابت لا يعتمد على قيمة \(t\)، يمكن تلخيص معظم خصائص التكامل المحدود كالآتي[28]:

• ​ \(\int_{a}^{b} f\left(t\right)dt=-\int_{b}^{a} f\left(t\right)dt\)
• \(\int_{a}^{a} f\left(t\right)dt=0\)
• \(\int_{a}^{b} kf\left(t\right)dt=k\int_{a}^{b} f\left(t\right)dt\)
• \(\int_{a}^{b} f\left(t\right)\pm g\left(t\right)dt=\int_{a}^{b} f\left(t\right)dt\pm \int_{a}^{b} g\left(t\right)dt\)
• \(\int_{a}^{b} f\left(t\right)dt=\int_{a}^{c} f\left(t\right)dt+\int_{c}^{b} f\left(t\right)dt\)
• \(\int_{a}^{b} kdt=k(b-a)\)
• \(f\left(t\right)\geq 0, \forall t\in \left[a,b\right]\implies \int_{a}^{b} f\left(t\right)dt\geq 0\)
• \(f\left(t\right)\geq g(t), \forall t\in \left[a,b\right]\implies \int_{a}^{b} f\left(t\right)dt\geq \int_{a}^{b} g\left(t\right)dt\)
• \(m\leq f\left(t\right)\leq M, \forall t\in \left[a,b\right]\implies m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(t\right)dt\leq M(b-a)\)
• \(\left|\int_{a}^{b} f\left(t\right)dt\right|\leq \int_{a}^{b} \left|f\left(t\right)\right|dt\)

مثال: إذا كان \(\int_{1}^{3} f(t)dt=5\)، \(\int_{1}^{7} f(t)dt=-8\)، فأوجد ما يأتي:

1. \(\int_{7}^{1} f(t)dt\),
2. \(\int_{3}^{7} f(t)dt\)،
3. \(\int_{3}^{3} f(t)dt\).

الحل:

1. \(\int_{7}^{1} f(t)dt=-\int_{1}^{7} f\left(t\right)dt=8,\)
2. \(\int_{3}^{7} f(t)dt=\int_{3}^{1} f\left(t\right)dt+\int_{1}^{7} f\left(t\right)dt=-5+-8=-13,\)
3. \(\int_{3}^{3} f(t)dt=0.\)

• النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل

تُعدّ النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من الركائز الجوهرية في التحليل الرياضي، إذ تُؤسس العلاقة العميقة بين عمليتَي التفاضل والتكامل. وتوفّر هذه النظرية أداة فعّالة لحساب التكاملات المحدودة من دون الحاجة إلى اللجوء إلى مجاميع ريمان أو حساب المساحات بشكل مباشر.

تنقسم النظرية إلى جزأين متكاملين[29]:

1. النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (الجزء الأول).
2. النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (الجزء الثاني).

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (الجزء الأول):

لتكن الدالة \(f\) متصلة على الفترة \(\left[a,b\right]\)، ولتكن الدالة \(F\) معرفة كالآتي[30]:

\[F\left(t\right)=\int_{a}^{t} f(s)ds,\]

فإن الدالة \(F(t)\) متصلة على الفترة \([a,b]\) وقابلة للاشتقاق على الفترة \((a,b)\) ومشتقتها هي \(F^{'}\left(t\right)=f\left(t\right)\) لكل \(t\in (a,b)\).

إذا عرّفنا الدالة \(F(t)\)، بوصفها التكامل المحدد لدالة أخرى \(f(s)\) من النقطة \(a\) إلى النقطة \(t\). للوهلة الأولى قد يبدو هذا مربكًا، لأنه كان قد أُشير عدة مرات إلى أن التكامل المحدود هو عدد، وهنا يبدو الأمر وكأنه دالة. المفتاح هنا هو ملاحظة أنه بالنسبة إلى أي قيمة معينة لـ \(t\)، فإن التكامل المحدود هو عدد، لذا فإن الدالة \(F(t)\) تعطي رقمًا (قيمة التكامل المحدود) لكل قيمة من \(t\).

يعود سبب تسمية "النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل" بهذا الاسم إلى دورها المحوري في الربط بين عمليتي التفاضل والتكامل، فهي لا تكتفي بإظهار العلاقة بينهما، بل تُؤسس أيضًا لفكرة أن كل دالة قابلة للتكامل وفق شروط معينة، يكون لها معكوس مشتقة (Antiderivative) . وبشكل أكثر تحديدًا، تبيّن هذه النظرية أن كل دالة متصلة على فترة مغلقة تمتلك دالة أخرى يكون مشتقها مساويًا لها، أي إنها تمتلك معكوس مشتقة. هذا الربط العميق يجعل النظرية حجر الأساس في التحليل الرياضي، ويمنح التكامل غير المحدود تفسيرًا دقيقًا من خلال مفهوم معكوس المشتقة.

مثال: إذا كان \(g\left(t\right)=\int_{2}^{t} \frac{3s}{s^{3}+1}ds\)، فأوجد \(g'(t)\).

الحل: من خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، فإن \(g^{'}\left(t\right)=\frac{3t}{t^{3}+1}\).

ربما تكون النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل (الجزء الثاني)، هي النظرية الأهم في حساب التفاضل والتكامل. تنص النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل (الجزء الثاني)، المعروفة أيضًا باسم نظرية الحساب، على أنه إذا أوجِدت مشتقة عكسية للدالة المكاملة، فيمكن حساب التكامل المحدود عن طريق حساب قيمة معكوس المشتقة عند نقاط نهاية الفترة وطرحها. ونصها كالآتي:

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل الجزء الثاني[31]

إذا كانت الدالة \(f(t)\) متصلة على الفترة \(\left[a,b\right]\) ، وكان \(F(t)\) معكوسًا لمشتقة الدالة \(f(t)\) في هذه الفترة، فإن التكامل المحدود للدالة \(f(t)\) على هذه الفترة هو:

\(\int_{a}^{b} f\left(t\right)dt=F\left(b\right)-F(a)\).

مثال: أوجد قيمة التكامل الآتي:

\[\int_{1}^{4} x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}|_{1}^{4}=\frac{4^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{64-1}{3}=\frac{63}{3}.\]

[1] H. Anton, I. Bivens & S. Davis, Calculus, 10^th ed. (New York: John Wiley & Sons, 2009), pp. 110-175, 265-400.

[2] Ibid., pp. 272-273, 301-302.

[3] J. Stewart, Calculus, 9^th ed. (Boston: Cengage Learning, 2015).

[4] W. R. Knorr, “Archimedes and the Spirals: The Heuristic Background,” Historia Mathematica, vol. 5, no. 1 (1978), pp. 43-75.

[5] J. L. Berggren, “Ibn alHaytham and Analytic Mathematics,” Archive for History of Exact Sciences, vol. 32, no. 3 (1985), pp. 187-221.

[6]K. Andersen, “Cavalieri’s Method of Indivisibles,” Archive for History of Exact Sciences, vol. 31, no. 4 (1985), pp. 291-367.

[7]S. Litvinov & M. Marko, “Geometry of Figurate Numbers and Sums of Powers of Consecutive Natural Numbers,” The American Mathematical Monthly, vol. 127, no. 1 (2020), pp. 4-22.

[8]Mordechai Feingold, “Isaac Barrow,” Britannica, accessed on 19/9/2025, at: https://acr.ps/1L9F38z; Brandon C. Look & Yvon Belaval, “Gottfried Wilhelm Leibniz,” Britannica, accessed on 19/9/2025, at: https://acr.ps/1L9F2tv

[9] “Theory of Integration,” Britannica, accessed on 19/9/2025, at: https://acr.ps/1L9F2Bg

[10] G. H. Greco, S. M. Mazzucchi & E. M. Pagani, “Peano on Derivative of Measures, Strict Derivative of Distributive Set Functions,” arXiv, 22/2/2010, accessed on 19/9/2025, at: https://acr.ps/1L9F2Od

[11] J. Ferreirós, “The Early Development of Set Theory and the Rise of Mathematical Rigor,” Archive for History of Exact Sciences, vol. 54, no. 1 (1999), pp. 137-179.

[12] F. J. Swetz, “Mathematical Treasure: Berkeley’s Critique of Calculus,” Convergence, Mathematical Association of America, accessed on 19/9/2025, at: https://acr.ps/1L9F32o

[13] Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (Cambridge, MA: MIT Press, 1981; Mineola, NY: Dover Publications, 2011); Niccolò Guicciardini, Reading the Principia: The Debate on Newton’s Mathematical Methods for Natural Philosophy from 1687 to 1736 (Cambridge: Cambridge University Press, 1999).

[14] Grabiner, op. cit.

[15] R. G. Bartle & D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3^rd ed. (New York: John Wiley & Sons, 2000), pp. 193-219.

[16] Ibid.

[17] Anton, Bivens & Davis, p. 271.

[18] Ibid., p. 272.

[19] Ibid.

[20] M. L. Bittinger, D. J. Ellenbogen & S. J. Surgent, Calculus and its Applications, 10^th ed. (London: Pearson, 2011), p. 393.

[21] Stewart, pp. 436-478.

[22] Ibid., pp. 372-432, 493-507.

[23] Bartle & Sherbert, pp. 193-219.

[24] Ibid.

[25] Ibid.

[26] Ibid.

[27] ج. أ. فريدي، مقدمة في التحليل: نظرية حساب التفاضل والتكامل، ترجمة أحمد صادق القرماني ورمضان محمد إجهيمة (طرابلس، ليبيا: جامعة الفاتح، 1992)، ص 152-153.

[28] George B. Thomas et al., Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 14^th ed. (London: Pearson, 2018), p. 269.

[29] فتحي خليل حمدان، أساسيات التفاضل والتكامل، ط 4 (عمّان: دار وائل للنشر، 2008)، ص 219.

[30] المرجع نفسه.

[31] المرجع نفسه.

المراجع

العربية

حمدان، فتحي خليل. أساسيات التفاضل والتكامل. ط 4. عمّان: دار وائل للنشر، 2008.

فريدي، ج. أ. مقدمة في التحليل: نظرية حساب التفاضل والتكامل. ترجمة أحمد صادق القرماني ورمضان محمد إجهيمة. طرابلس، ليبيا: جامعة الفاتح، 1992.

الأجنبية

Andersen, K. “Cavalieri’s Method of Indivisibles.” Archive for History of Exact Sciences. vol. 31, no. 4 (1985). pp. 291-367.

Anton, H., I. Bivens & S. Davis. Calculus. 10^th ed. New York: John Wiley & Sons, 2009.

Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. Introduction to Real Analysis. 3^rd ed. New York: John Wiley & Sons, 2000.

Berggren, J. L. “Ibn alHaytham and Analytic Mathematics.” Archive for History of Exact Sciences. vol. 32, no. 3 (1985). pp. 187-221.

Bittinger, M. L., D. J. Ellenbogen & S. J. Surgent. Calculus and its Applications. 10^th ed. London: Pearson, 2011.

Feingold, Mordechai. “Isaac Barrow.” Britannica. at: https://acr.ps/1L9F38z

Ferreirós, J. “The Early Development of Set Theory and the Rise of Mathematical Rigor.” Archive for History of Exact Sciences. vol. 54, no. 1 (1999). pp. 137-179.

Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981; Mineola, NY: Dover Publications, 2011.

Greco, G. H., S. M. Mazzucchi & E. M. Pagani. “Peano on Derivative of Measures, Strict Derivative of Distributive Set Functions.” arXiv. 22/2/2010. at: https://acr.ps/1L9F2Od

Guicciardini, Niccolò. Reading the Principia: The Debate on Newton’s Mathematical Methods for Natural Philosophy from 1687 to 1736. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

Knorr, W. R. “Archimedes and the Spirals: The Heuristic Background.” Historia Mathematica. vol. 5, no. 1 (1978). pp. 43-75.

Litvinov, S. & M. Marko. “Geometry of Figurate Numbers and Sums of Powers of Consecutive Natural Numbers.” The American Mathematical Monthly, vol. 127, no. 1 (2020). pp. 4-22.

Look, Brandon C. & Yvon Belaval. “Gottfried Wilhelm Leibniz.” Britannica. at: https://acr.ps/1L9F2tv

Stewart, J. Calculus. 9^th ed. Boston: Cengage Learning, 2015.

Swetz, F. J. “Mathematical Treasure: Berkeley’s Critique of Calculus.” Convergence, Mathematical Association of America. at: https://acr.ps/1L9F32o

“Theory of Integration.” Britannica. at: https://acr.ps/1L9F2Bg

Thomas, George B. et al. Thomas' Calculus: Early Transcendentals. 14^th ed. London: Pearson, 2018.