التكامل المعتل (التكامل الموسع)، مفهوم رياضيّ يعدّ امتدادًا لمفهوم التكامل المحدود، إذ إنه عندما تكون إحدى حدود التكامل المحدود غير منتهية ( \(\infty \) ) أو كلتاهما، أو تكون الدالة المراد إيجاد تكاملها غير متصلة على فترة التكامل، فإن التكامل يسمى حينها تكاملًا معتلًا. للتعامل مع مثل هذا النوع من التكاملات، تُستبدل حدود متغيرة بالحدود غير المنتهية ومن ثم تؤخذ النهاية للتكامل المطلوب، أما إذا كانت الدالة غير متصلة على فترة التكامل، يُقسم التكامل حول تلك النقطة وتُستخدم الحدود للتعامل مع القيم غير المحددة، ثم تُستخدم تقنيات التكامل التقليدية، على سبيل المثال التكامل بالتعويض أو التكامل بالأجزاء، لحساب التكامل العادي، ومن ثم إيجاد النهاية.

التكامل المحدود

عند حساب مساحات الأشكال الهندسية {{الأشكال الهندسية: (Geometric Shapes) هي صور منتظمة أو غير منتظمة تتكون من خطوط ونقاط ومساحات وأحيانًا حجوم، وتُمثل مفاهيم رياضية تُستخدم لتفسير البنية والشكل في الفضاء والمستوى.}} فإنه من السهل تحديد مساحة الشكل الذي تكون حوافه مستقيمة، فعلى سبيل المثال مساحة المستطيل هي حاصل ضرب طولي ضلعين متجاورين. ومن هنا، فقد توجد صعوبة في إيجاد مساحة الشكل ذي الحواف المنحنية، ولذلك السبب يجدر بنا التفكير في عملية مناسبة، إذ يمكن استخدامها لإيجاد تقريب معقول للمساحة المطلوبة وذلك من خلال اتخاذ أشكال أبسط، ويمكن على إثر ذلك حساب مساحاتها بشكل أكثر سهولة.

تعود أول طريقة ناجحة لتحقيق ذلك إلى عالم الرياضيات الألماني بيرنارد ريمان {{بيرنارد ريمان: (Bernhard Riemann، 1826-1866) عالم رياضيات ألماني، وضع أسس الهندسة الريمانية التي أصبحت حجر الزاوية في النسبية العامة لألبرت أينشتاين (Albert Einstein، 1897-1955). قدّم مفاهيم جديدة في التحليل والهندسة، أبرزها فرضية ريمان عن الأعداد الأولية.}} (Bernhard Riemann) في عام 1853 (الصورة 1)، على الرغم من أنه كان هناك العديد من المحاولات السابقة.

الشكل) 1(

العالم بيرنارد ريمان (1826-1866)

لتوضيح التكامل بمفهوم ريمان، لتكن \(f(t)\) دالة معينة، وليوضع في الاعتبار مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة \(f\) ومحور \(t\) والخطوط الرأسية من \(t = a\) إلى \(t = b\) . يتمثل نهج ريمان في تقسيم هذه المنطقة إلى عدة مستطيلات رأسية رفيعة (الشكل 2) وتقريب مساحتها بمجموع مساحات المستطيلات، سواء من الداخل (الجزء ب، الشكل 2) أو من الخارج (الجزء ج، الشكل 2).

الشكل) 2(

طريقة ريمان لحساب المساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور \(x\)

أما عندما تصبح التقسيمات أصغر وأصغر، أي تقترب من اللانهاية، وبذلك تقترب عرض المستطيلات إلى الصفر، فإن المجموعات الجزئية تقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى، ما يعني الحصول على التكامل الصحيح للدالة. تسمى هذه الطريقة تكامل ريمان للدالة \(f\) بين الحدين \(a\) و \(b\) ، ويقال حينها إن \(f\) رمز قابل للتكامل بمفهوم ريمان (Riemann Integrable)[1].

يمكن تعريف التكامل المحدود باستخدام النظرية الأساسية الأولى في التفاضل والتكامل {{النظرية الأساسية الأولى في التفاضل والتكامل: هي إحدى أهم النظريات التي تربط بين التفاضل والتكامل وتوضح العلاقة بينهما، إذ تنص على أن تكامل مشتقة دالة مستمرة على فترة ما يعيد الدالة الأصلية، ما يوضح العلاقة العميقة بين عمليتي التفاضل والتكامل.}} التي تنصّ على ما يلي:

إذا كانت الدالة \(g\left(x\right)\) متصلة على الفترة المغلقة \(\left[a,b\right]\) ، وكان \(G(x)\) معكوسًا لمشتقة {{معكوس المشتقة: تُعد الدالة معكوسًا لمشتقة دالة أخرى إذا كان اشتقاق الدالة الثانية يعيد الدالة الأولى، أي إن الدالة الأصلية تُسترجع من مشتقتها بعملية التكامل، ما يوضح العلاقة العكسية بين الاشتقاق والتكامل في حساب التفاضل والتكامل.}} الدالة \(g(x)\) في هذه الفترة، فإن التكامل المحدود للدالة \(g(x)\) على هذه الفترة هو[2]:

\[\int_{a}^{b} g\left(x\right)dx=G\left(b\right)-G\left(a\right).\]

تسمى النقطتان \(a\) ، \( b\) حدود التكامل، وتسمى \(a\) الحد السفلي للتكامل، وتسمى \(b\) الحد العلوي له.

مثال: أوجد قيمة التكامل المحدود \(\int_{1}^{4} x^{2}dx\)

الحل:

\[\int_{1}^{4} x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}|_{1}^{4}=\frac{4^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{64-1}{3}=\frac{63}{3}.\]

التكامل المحدود للدالة \(g(x)\) المتصل على الفترة \([a,b]\) يمثل المساحة المحصورة بين منحنى \(g(x)\) ومحور \(x\) في هذه الفترة، ففي المثال الأخير نستنتج أن المساحة المحصورة بين منحنى الدالة \(g\left(x\right)=x^{2}\) ومحور \(x\) في الفترة \([1,4]\) تساوي \(\frac{63}{3}\) (الشكل 3).

الشكل) 3(

التمثيل البياني لمنحنى الدالة \[g\left(x\right)=x^{2}\] في الفترة \([1,4]\)

يُلاحظ أن حدود التكامل في المثال السابق كانت أعدادًا حقيقية، لكن في حال أُريد إيجاد تكامل معين مثل \(\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x^{2}}dx\) والذي يمثل المساحة بين منحنى الدالة \(g\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}}\) ومحور \(x\) في الفترة \((1,\infty )\) ، فإن ذلك يتطلب طريقة مختلفة لإيجاده.

​مفهوم التكامل المعتل

يعدّ مفهوم التكامل المعتل امتدادًا لمفهوم التكامل المحدود؛ إذ يتوسع عادة ليشمل العديد من الحالات التي تتغير فيها الافتراضات المعتادة لهذا النوع من التكاملات، فهو يتضمن عادةً اللامحدودية، إما للفترة التي أُخذ التكامل عليها، أو للدالة التي تُكامل، أو كليهما. وقد تتضمن أيضًا فترة محدودة لدالة ليست متصلة.

يُكتب التكامل المعتل بالرموز تمامًا مثل التكامل المحدود، إلا أنه يمثل في الواقع نهاية لتكامل محدود أو مجموع نهايات لتكاملات محدودة، وبالتالي يقال إن التكامل المعتل متقارب أو متباعد حسب نتيجة النهاية المأخوذة. ولذلك، قبل البداية في دراسة حالات التكاملات المعتلة لا بد من الإشارة إلى التعريفات الآتية[3]:

• التكامل المعتل المتقارب: يكون التكامل المعتل متقاربًا، إذا كانت النهاية المرتبطة به موجودة وكانت عددًا منتهيًا (أي إنها ليست \(\pm \infty \) ).
• التكامل المعتل المتباعد: يكون التكامل المعتل متباعدًا، إذا كانت النهاية المرتبطة به غير موجودة أو ( \(\pm \infty \) ).

التكاملات المعتلة التي تحتوي فترات غير محدودة

إذا كانت الدالة \(g\left(x\right)\) متصلة و \(a\) ، \(bو\) أعداد حقيقية، فثمة ثلاث حالات أساسية يجب إلى النظر فيها في هذا الجزء وهي[4]:

\(\int_{a}^{\infty } g\left(x\right)dx\) , \(\int_{-\infty }^{b} g\left(x\right)dx\) , \(\int_{-\infty }^{\infty } g\left(x\right)dx\) .

أي إن أحد حدود التكامل أو كلاهما هو \(\pm \infty \) ، وفيما يلي تلخيص لهذه الطريقة:

1. إذا كان \(\int_{a}^{t} g(x)dx\) موجودًا لكل عدد حقيقي \(t\geq a\) ، فإن:

\[\int_{a}^{\infty } g(x)dx=\lim_{t\rightarrow \infty } \int_{a}^{t} g(x)dx,\]

بشرط وجود هذه النهاية.

2. ​إذا كان \(\int_{t}^{b} g(x)dx\) موجودًا لكل عدد حقيقي \(t\leq b\) ، فإن:

\(\int_{-\infty }^{b} g(x)dx=\lim_{t\rightarrow -\infty } \int_{t}^{b} g(x)dx\) ,

بشرط وجود هذه النهاية.

3. إذا كان التكاملان \(\int_{c}^{\infty } g(x)dx\) و \(\int_{-\infty }^{c} g(x)dx\) متقاربان، إذ \(c\) عدد حقيقي، فإن:

\[\int_{-\infty }^{\infty } g(x)dx=\int_{-\infty }^{c} g(x)dx+\int_{c}^{\infty } g(x)dx,\]

والأمثلة الآتية توضح ذلك.

مثال: بيّن فيما إذا كان التكامل \(\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x}dx\) متقاربًا أم لا.

الحل:

\(\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x}dx=\lim_{t\rightarrow \infty } \int_{1}^{t} \frac{1}{x}dx=\lim_{t\rightarrow \infty } \ln (|x|)|_{1}^{t}=\lim_{t\rightarrow \infty } (\ln (|t|)-\ln (1)) =\infty \) .

وبما أن النهاية هي \(\infty \) ، فإن التكامل يُعدّ تكاملًا متباعدًا.

مثال: بيّن فيما إذا كان التكامل \(\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x^{2}}dx\) متقاربًا أم لا.

الحل:

\(\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow \infty } \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow \infty } \frac{-1}{x}|_{1}^{t}=\lim_{t\rightarrow \infty } (\frac{-1}{t}-(-(1))) =1\) .

وبما أن النهاية هي \(1\) ، فإن التكامل هنا يُعدّ تكاملًا متقاربًا.

يمكن أن نخلص من خلال المثالين السابقين إلى النتيجة الآتية والتي يمكن إثباتها بسهولة.

نتيجة: إذا كان \(a>0\) ، فإن التكامل \(\int_{a}^{\infty } \frac{1}{x^{p}}dx\) يُعدّ تكاملًا متقاربًا إذا كانت \(p>1\) ، ومتباعدًا إذا كانت \(p\leq 1\) .

مثال: بيّن فيما إذا كان \(\int_{-\infty }^{\infty } xe^{-x^{2}}dx\) متقاربًا أم لا.

الحل: في هذه الحالة، يُلاحظ وجود الما لا نهاية في كلا الحدين، ولذلك يُحتاج إلى تقسيم التكامل إلى تكاملين منفصلين. يمكن هنا تقسيم التكامل عند أي نقطة مثل \(x=0\) وذلك لأنها تُعدّ نقطة مناسبة لإيجاد التكامل المطلوب، ما يعني أن ذلك التكامل يصبح كما يلي:

\[\int_{-\infty }^{\infty } xe^{-x^{2}}dx=\int_{-\infty }^{0} xe^{-x^{2}}dx+\int_{0}^{\infty } xe^{-x^{2}}dx,\]

والآن نقوم بحساب كل نهاية على حدة

\[\int_{-\infty }^{0} xe^{-x^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty } \int_{t}^{0} xe^{-x^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty } -\frac{1}{2} e^{-x^{2}}|_{t}^{0}=\lim_{t\rightarrow -\infty } (-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-t^{2}})=-\frac{1}{2}.\]

وبالطريقة نفسها، فإن:

\[\int_{0}^{\infty } xe^{-x^{2}}dx=\frac{1}{2}.\]

إذن، يمكن استنتاج ما يلي:

\[\int_{-\infty }^{\infty } xe^{-x^{2}}dx=\int_{-\infty }^{0} xe^{-x^{2}}dx+\int_{0}^{\infty } xe^{-x^{2}}dx=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0.\]

التكاملات المعتلة في حالة وجود نقاط عدم اتصال

النوع الثاني من التكاملات المعتلة في هذا القسم هي التكاملات على فترة محدودة، وهي بدورها تحتوي نقطة انفصال للدالة المطلوب تكاملها على هذه الفترة. العملية هنا هي نفسها لكن مع اختلاف بسيط. فيما يلي الحالات العامة التي سنتناولها لهذه التكاملات[5]:

1. إذا كانت الدالة \(g(x)\) متصلة على الفترة \([a,b)\) وغير متصلة عند \(x=b\) ، فإن:

\[\int_{a}^{b} g(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^{-}} \int_{a}^{t} g(x)dx,\]

بشرط وجود النهاية.

2. إذا كانت الدالة \(g(x)\) متصلة على الفترة \((a,b]\) وغير متصلة عند \(x=a\) ، فإن:

\[\int_{a}^{b} g(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^{+}} \int_{t}^{b} g(x)dx,\]

بشرط وجود النهاية.

3. إذا كانت الدالة \(g(x)\) غير متصلة عند \(x=c\) ، إذ \(a

\[\int_{a}^{b} g(x)dx=\int_{a}^{c} g(x)dx+\int_{c}^{b} g(x)dx.\]

ولتوضيح ما سبق، فيمكن أخذ الأمثلة الآتية:

مثال: بيّن فيما إذا كان \(\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2-x}}dx\) متقاربًا أم لا.

الحل: يُلاحظ هنا أن نقطة عدم الاتصال هي \(x=2\) ، ما يعني أن:

\[\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2-x}}dx=\lim_{t\rightarrow 2^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{2-x}}dx=\lim_{t\rightarrow 2^{-}} (-2\sqrt{2-x})|_{0}^{t}=\lim_{t\rightarrow 2^{-}} (2\sqrt{2}-2\sqrt{2-t}) =2\sqrt{2}.\]

وبما أن النهاية موجودة، فإن التكامل هنا يُعدّ تكاملًا متقاربًا وقيمته هي \(2\sqrt{2}\) .

مثال: بيّن فيما إذا كان \(\int_{-1}^{2} \frac{1}{x}dx\) متقاربًا أم لا.

الحل: يُلاحظ أن نقطة عدم الاتصال هنا هي \(x=0\) ، ما يعني:

\[\int_{-1}^{2} \frac{1}{x}dx=\int_{-1}^{0} \frac{1}{x}dx+\int_{0}^{2} \frac{1}{x}dx.\]

تُعدّ المعادلة أعلاه صحيحة بشرط تقارب كل من التكاملين على يمينها. ولإيجاد التكامل \(\int_{-1}^{0} \frac{1}{x}dx\) ، فإنه لا بدّ من التنويه هنا إلى أن \(x=0\) هي نقطة انفصال، ما يعني أن:

\[\int_{-1}^{0} \frac{1}{x}dx=\lim_{t\rightarrow 0^{-}} \int_{-1}^{t} \frac{1}{x}dx=\lim_{t\rightarrow 0^{-}} (\ln (|x|))|_{-1}^{t}=\lim_{t\rightarrow 0^{-}} (\ln (|t|)-\ln (1)) =-\infty .\]

وبما أن التكامل الأول غير متقارب (متباعد)، فإن \(\int_{-1}^{2} \frac{1}{x}dx\) غير متقارب (متباعد).

المراجع

العربية

مندلسون، إليوت. حساب التفاضل والتكامل. سلسلة شوم. بيروت: أكاديميا إنترناشيونال، 2006.

الأجنبية

Anton, Howard, Irl C. Bivens & Stephen Davis. Calculus: Early Transcendentals. 11^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2016.

Salas, Saturnino L., Einar Hille & Garret J. Etgen. Calculus: One and Several Variables. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2021.

Hass, Joel R., Christopher E. Heil & Maurice D. Weir. Thomas’ Calculus. 14^th ed. Boston, MA: Pearson, 2018.

[1] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus: Early Transcendentals, 11th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2016).

[2] Saturnino L. Salas, Einar Hille & Garret J. Etgen, Calculus: One and Several Variables (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2021), pp. 399-409.

[3] Joel R. Hass, Christopher E. Heil & Maurice D. Weir, Thomas’ Calculus, 14th ed. (Boston, MA: Pearson, 2018), pp. 494-505.

[4] Ibid.

[5] إليوت مندلسون، حساب التفاضل والتكامل، سلسلة شوم (بيروت: أكاديميا إنترناشيونال، 2006)، ص 123-139.