نظام العدّ الستّيني

الموجز

نظامُ العَدّ الستّينيّ (Sexagesimal system) نظامُ عَدٍّ قديمٌ يتّخذ من العدد 60 قاعدةً له، مع تمثيل الأعداد جميعها بوساطة قواه المختلفة. ظهر في الألفية الثالثة قبل الميلاد لدى السومريّين في بلاد ما بين النهرَيْن، وانتقل إلى البابليين القُدامى، ولا يزال مُستعمَلًا حتى اليوم بشكل مُعدَّل في مختلف الحسابات في الرياضيات وعلم الفلك والجغرافيا والملاحة، وذلك رغم اعتماد العلوم الحديثة على النظام العشري (Decimal) في جُلّ العمليات الحسابية. ومن الأمثلة على استخدامه واسع النطاق: قياس الزمن، فمثلًا تتكوّن الساعة والدقيقة من 60 جزءًا؛ وكذلك الزوايا؛ والإحداثيات الجغرافية.

التعريف

النظامُ الستّينيُّ من أقدم نُظُم العدِّ التي عرفتها البشرية، وهو يرتكز على العدد 60 بوصفه قاعدةَ العَدِّ وأساسَه، وبذلك يُحوِّل كُلَّ عددٍ إلى مجاميعَ تتألّف حدودُها من قوى العدد 60. يُقدِّر المؤرّخون أنّ النظام الستّيني ظهر في الألفية الثالثة قبل الميلاد لدى السومريّين في بلاد ما بين النهرَيْن[1]، وقد استُعمل بدايةً في جُلّ العمليات التي يُحتاج إليها في الحياة اليومية، كالعدّ، والمعاملات التجارية، والحسابات الفلكية، وحساب الزمن والزوايا. تواصَل استعمال نظام العد الستيني، خصوصًا في حساب المُثلّثات والهندسة والجغرافيا. على الرغم من استبدال نظام العد الستيني بالنظام العشري في العصر الحالي، لايزال مُستعمَلًا في حساب الزمن وعلم الفلك، حيث تُقسَم الساعة إلى 60 دقيقة، والدقيقة إلى 60 ثانية، وكذلك في حساب المُثلّثات وتقسيم الزوايا في الرياضيات. كما تُحدَّد الإحداثيات الجغرافية كذلك بقسمة خطوط العرض والطول على التوالي إلى 180 و360 خطًّا، وهي مضاعفات للعدد 60. لذلك عَلاقةٌ أيضًا بالشكل الدائري، فقد قُسِّم إلى 360 درجة، أي ستّ مرّات العدد 60.

اختلفت الآراء بخصوص سبب استعمال النظام الستّيني، فمثلًا يقول ثاون الإسكندري (Theon of Alexandria، ت. نحو 405م)، إنّ اختيارَ العدد 60 بوصفه قاعدةً للعدّ ناجمٌ عن خصوصية هذا العدد، فهو يقبل القسمة على 12 عددًا، هي: 1، و2، و3، و4، و5، و6، و10، و12، و15، و20، و30، و60، ما يجعل الحساب أكثر يُسرًا، ولاسيما في عملية القسمة[2].

يمكن تحويل الرقم من النظام العشري إلى الستيني بأخذ الجزء الصحيح للعدد كما هو واعتباره معادلًا للساعة، ثم أخذ جداء الفواصل العشرية بالعدد 60 واعتبار الجزء الصحيح هو الدقيقة، وأخذ جداء الفواصل العشرية المتبقية بالعدد 60 واعتبارها الثواني. فمثلًا يُكتب العدد 110.32 بالشكل 110^o 19’ 12’’ وذلك وفق نظام العد الستيني.

استخداماته في الحضارات القديمة

استخدمت الحضارات القديمة النظام الستّيني في بلاد ما بين النهرَيْن، والصين القديمة، والبلاد اليونانية. ثم انتقل هذا الاستعمال إلى العصرَيْن الوسيط والحديث.

في بلاد ما بين النهرَيْن

الشكل [1]

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

تزامن اكتشاف نظام العدِّ الستّيني مع تطوّر الزراعة، ومن ثم الاقتصاد والمعاملات لدى السومريّين في العصر القديم، وقد استعملوا الألواح الطينية لتدوين مختلف حساباتهم، بوساطة رموز اتّفقوا عليها وعُرِفت بالكتابة المسمارية[3]. استعمل السومريّون رمزَيْن للكتابة: الأوّل على شكل مسمار أو إسفين؛ والآخر دائري. مكَّنهم ذلك من إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة، فوضعوا بذلك أُسُس الحساب، ثم انتقلت هذه المعارف من بعدهم إلى الأكاديّين والبابليّين، فتبنّوها وطوّروها. نشَأ النظام الستّيني بوصفه بديلًا للنظام الاثنَي عشري، الذي قاعدةُ عدِّه العدد 12، والذي كان شائعًا في آسيا[4].

تبنّى البابليون النظام الستّيني من سابقيهم السومريّين، واستخدموه في التقويم الزمني، الذي يعكس إلى حدٍّ كبير التقويم الغريغوري المُستخدَم اليوم. وقد قسَّموا السنة إلى 360 يومًا، وإلى 12 شهرًا، يتكوّن كلُّ شهر منها من 30 يومًا. ويبدو أنّ هذا هو السبب في اعتماد النظام الستّيني.

واستخدم البابليون الرمز (>) لمرتبة العشرات ورمز المسمار لمرتبة الآحاد، ومَثَّلوا الأعداد من 1 إلى 59 كما في الشكل 1[5].

نظرًا لانعدام أهمية مكان العدد وموضعه، فيجوز كتابة العدد 25 مثلًا على الصورة الآتية: (¡¡¡¡¡>>)، أو (>¡¡¡¡¡>)، أو غيرهما من الصور مع تغيير أماكن الرموز. يُلاحَظ أيضًا استخدامهم للفراغ للفصل بين الآحاد والستينات والستينات المربعة عند تمثيل الأرقام الكبيرة، فمثلًا يمثل العدد

(¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡>>>>) تُمثّل العدد:

2 + 4*60¹ + 43 * 60² = 2 + 240 + 154800 = 155042.

في الصين القديمة

أثبتت بعض الحفريات أنّ الصينيّين القُدامى استعملوا نظام العدّ الستّيني لحساب الزمن وفي التقويم قبل القرن الثاني عشر قبل الميلاد، وذلك خلال حُكم أُسرة ين (Yin)، إلا أن الصينيين معروفون باستعمالهم النظام العشري في حساباتهم. من المعروف أيضًا أنهم استعملوا 12 رمزًا مَثّلت صُورًا لحيوانات في حساباتهم هذه، ما يُعَدّ دليلًا على تأثُّرهم بالتقليد الفارسي الكلداني[6]. استُخدم النظام الستّيني في الصين أساسًا لدورة تقويمٍ مُدّتها 60 عامًا تُعرف بالدورة الستّينية، لتسجيل السنوات والأشهر والأيام والساعات، بدلًا من استخدامه بوصفه نظامًا عدديًا رياضيًا عامًّا كالنظام البابلي القديم. الدورة الستّينية الصينية هي طريقة لحساب الزمن، تتكوَّن من دمج دورتَيْن عشريتَيْن أصغر[7].

عند اليونانيين

انتقل نظام العَدّ الستّيني من منطقة بلاد ما بين النهرَيْن إلى اليونانيّين، فاعتمدوه في حساباتهم المختلفة. فمثلًا، يتضمَّن الكتاب الثامن من كتاب الجمهورية لأفلاطون (نحو 427-347ق.م) قصّةً رمزيةً عن الزواج، مع التطرّق فيها إلى العدد 12960000 وقواسمه. عند تأمُّل هذا العدد يتبيّن أنه يُمثّل \(60^{4}\)، وقد استشهد اللاحقون لأفلاطون بالرياضيات البابلية ونظرية الموسيقا، في محاولة لتفسير هذه الفقرة من كتاب الجمهورية[8].

في القرن الرابع قبل الميلاد، قسَّم الرياضي والفلكي أودوكسوس (Eudoxus، ت. نحو 340ق.م) مسارَ الشمس إلى 360 درجة، وتواصل ذلك مع كُلٍّ من تيموشاريس (Timocharis، 320-260ق.م) وأريستولوس (Aristyllus، ت. نحو 280ق.م) في القرن الثالث قبل الميلاد. تواصَل هذا التقليد فيما بعد مع هيبارخوس (Hypparchus، نحو 190ق.م-120ق.م)، وطُبِّق على الدائرة في الرياضيات. يُعَدّ الفلكي اليوناني أبرخس (هيبارخوس/ Hypparchus) أوّل مَن استعمل مِن اليونانيّين الموروثَ الحسابيَّ البابليَّ القائمَ على النظام الستّيني[9].

من ناحية أخرى، وفي القرن الثاني الميلادي، استخدم بطليموس في كتاب المجسطي، الأساسَ 60 فقط للتعبير عن أجزاء الوحدة[10]. كذلك فإن جُلّ جداول الرصد وما تحتويه من تقنيات حسابية في الكتاب، استقاها بطليموس من أعمال أبرخس ذات المصدر الكلداني[11].

عند العلماء العرب

استخدم عُلماء الفلك العرب نظام العَدّ الستّيني في الحساب وعلم الميقات على وجه الخصوص، وحرص الرياضيون على توضيح استعمالات هذا النظام، فخصَّصوا في كُتبهم قسمًا للحساب الستّيني، يشرحون فيه كيفية إجراء العمليات بوساطته، ولا يكاد يخلو كتاب من كُتب الحساب من هذا الباب، إلى جانب أبواب أخرى مثل الحساب الهوائي {{الحساب الهوائي: (Mental math) فرع من الرياضيات العربية القديمة يعتمد على إيجاد الحلول باستخدام العقل والذاكرة وقدرات الحساب الذاتي فقط، دون الحاجة لاستخدام القلم أو الورق أو أدوات الحساب الأخرى.}} وحساب الخطأ وغيرهما. قسَّم أبو الريحان البيروني (ت. 440هـ/ 1048م) الساعة إلى دقائقَ وثوانٍ وثُلاثيّاتٍ وأرباعٍ بهذا النظام من العَدّ[12]. في القرن الخامس عشر الميلادي، ألَّف جمشيد الكاشي (ت. 832هـ/ 1429م) كتاب الرسالة المحيطية[13]، الذيبحث فيه كيفية حساب نسبة مُحيط الدائرة إلى قُطرها. وفي هذا السياق، يقول قدري طوقان في كتابه تراث العرب العلمي، إنّ الكاشي أوجد تلك النسبة بدرجة من التقريب لم يسبقه إليها أحد، وقد وصلت إلى 16 خانة عشرية، وهي نسبة لم يصل إليها لا علماء الإغريق واليونان ولا علماء الصين. تمكَّن الكاشي تحديدًا من حساب قيمة تقريبية لضعف العدد π بستة عشر رقمًا بعد الفاصلة (في النظام العشري)، مُتجاوزًا بذلك القيمة التقريبية التي حصل عليها الصيني زو شونغ زي (Zu Chongzhi، 430-501م) بستة أرقام بعد الفاصلة. ولكي يحصل على هذه القيمة التقريبية، استعمل الكاشي مُضلَّعًا منتظمًا يتكوَّن من عدد كبير من الأضلاع، مقداره \(3\times 2^{28}\) أضلاع. والدقة التي حَسَب بها ثابت الدائرة: 3.1415926535898732، لم يصل إليها العلماء من بعده على مدى أكثر من 150 عامًا. هذا وقد أعطى الكاشي القيمة التقريبية لنسبة مُحيط الدائرة بوساطة نظام العدّ الستّيني، وباستعمال الجداول الحسابية، لكن القيمةَ أعلاه تمثيلٌ لها في النظام العشري.

في أوروبا اللاتينية

نحو عام 1235م، واصل الفلكي والرياضي يوهانس دي ساكروبوسكو (Joannes de Sarco-Bosco، نحو 1195-1256م) هذا التقليد، ففي كتابه رسالة في الكرة (Tractacus de sphaera)، تطرّق إلى علم الفلك وفقًا للتقليد الذي أرساه بطليموس، واستفاد كذلك من ترجمات كُتب ثابت بن قرّة (ت. 288هـ/ 901م) والبيروني والفرغاني، واحتوت جداوله حسابات بالنظام الستّيني[14].

ومع إنشاء الجداول الألفونسية بين 1263-1272م في بلاط الملك ألفونسو العاشر، ملك قشتالة وليون (Alfonso X de Castilla y León، 1221-1284م)، انبرى كثير من الفلكيّين للتقريب بين نتائج مختلفة، متعلّقة بالتقويم وتحديد ميلاد المسيح وتاريخ عيد الفصح. في هذا السياق، اعتُمد النظام الستّيني بوصفه وسيلةً لإجراء هذه الحسابات بدءًا من سنة 1310م. ومِنَ المُسهمين في هذا النشاط، الفلكيُّ والرياضيُّ الفرنسيُّ جان دي مور (Jean de Murs، نحو 1290-1355م)، الذي اقترح إجراء إصلاحات على التقويم المسيحي سنة 1317م، وصحَّح صحبة زميل له التقويم القمري الذي يُحدِّد موعد عيد الفصح[15].

استمرَّ الفلكيّون الأوروبيون في استخدام النظام الستّيني لإجراء الحسابات حتى عام 1671. على سبيل المثال، استخدم جوست بورجي (Jost Bürgi، 1552-1632) في كتابه أسس علم الفلك (Fundamentum Astronomiae)، الذي قدّمه إلى الإمبراطور رودولف عام 1592، وزميله أورسوس في كتابه الأساس الفلكي (Fundamentum Astronomicum)، جداولَ الضرب القائمةَ على النظام الستّيني في أواخر القرن السادس عشر، لحساب الجيوب[16].

في الحضارات الأخرى

ثبت أنَّ علماء الفلك التّاميل (Tamils) كانوا يُجرون حسابات فلكية ويحسبون باستخدام الأصداف، باستخدام مزيجٍ من الترميزات العشرية والستّينية التي طوّرها عُلماء الفلك الهلنستيون[17]. واستنادًا إلى رسالة دكتوراه نُوقشت عام 1992، يبدو أن هذا النظام استُخدم في بعض الثقافات الأخرى التي لا علاقة لها بالسومريّين، مثل شعب إيكاري في غرب غينيا الجديدة[18].

رغم اعتماد العلوم المعاصرة النظامَ العشري في مختلف الحسابات، فلا يخلو بعضها من اعتماد النظام الستّيني إلى يومنا هذا. يظهر ذلك من خلال حساب الزمن، وفي بعض الجداول الخاصّة بالملاحة والفلك. كذلك فإن بعض الحفريات والأبحاث التي أُجريت أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر، أثبتت بعض النتائج الجديدة بخصوص تاريخ نظام العدّ الستّيني؛ فإلى جانب ما اتُّفق عليه من ظهوره لدى السومريّين في بلاد ما بين النهرَيْن، وانتقاله إلى اليونان القديمة.

[1] Jens Høyrup, Lengths, Widths, Surfaces: A Portrait of Old Babylonian Algebra and its Kin (New York: Springer, 2002), p. 31.

[2] Michael De Vlieger, "Key dozenal fractions," The Duodecimal Bulletin, vol. four dozen eleven, no. 2 (2011), p. 25.

[3] نائل حنون، المعجم المسماري: معجم اللغات الأكدية والسومرية والعربية (بغداد: بيت الحكمة، 2001)؛ خزعل الماجدي، الحضارة البابلية (الكويت: منشورات تكوين، 2024)، ص 54.

[4] De Vlieger, p. 26; Georges Ifrah, The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, D. Bellos (trans.) (New York: Wiley, 2000), pp. 77-95.

[5] الماجدي، ص 56.

[6] René Berthelot, "L'Astrobiologie et la pensée de l'Asie,"Revue de métaphysique et de morale, vol. 40, no. 4 (1933), p. 458.

[7] Adam Smith, "The Chinese sexagenary cycle and the ritual origins of the calendar," in: John Steele (ed.), Calendars and Years II: Astronomy and time in the ancient and medieval world (Oxford: Oxbow Books, 2011), pp. 1-37.

[8]George A. Barton, "On the Babylonian origin of Plato's nuptial number,"Journal of the American Oriental Society, vol. 29 (1908), pp. 210-219.

[9] Gerald J. Toomer, "Hipparchus and Babylonian Astronomy,"in: Erle Leichty & Maria Ellis (eds.), A Scientific Humanist: Studies in memory of Abraham Sachs (Philadelphia:Samuel Noah Kramer Fund, Univ. Museum, 1988), pp. 353-362.

[10] Rey Abel, "Le système sexagésimal assyrien," Journal des savants (1933), p. 118.

[11]Franz Xaver Kugler, Die Babylonische Mondrechnung (Freiburg im Breisgau: Herder, 1900), pp. 4-5.

[12] M. Al-Bīrūnī, The Chronology of Ancient Nations: An English Version of the Arabic Text of the Athâr-ul-Bâkiya, or “Vestiges of the Past, Edward Sachau (ed. & trans.) (London: W. H. Allen & Co., 1879), pp. 147-149.

[13] Jamshīd ibn Mas'ūd Kāshī, Der Lehrbrief über den Kreisumfang: ar-risala al-Muhitiya, Paul Luckey (trans.) (Berlin: Akademie-Verlag, 1953).

[14] Philipp Nothaft, Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe (Oxford: Oxford University Press, 2018).

[15] Emmanuel Poulle, "Astronomes parisiens au XIV^e siècle et l'astronomie alphonsine," Histoire littéraire de la France, vol. 43 (2005), pp. 1-54.

[16] Isaac Newton, The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of CurveLines (London: Henry Woodfall published, 1736), p. 146.

[17] Otto Neugebauer, "Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India," Osiris, vol. 10 (1952), pp. 252-276.

[18] Glendon Angove Lean, "Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania," PhD Thesis, Papua New Guinea University of Technology, New Guinea, 2007, chapter 4.

المراجع

العربية

حنون، نائل. المعجم المسماري: معجم اللغات الأكدية والسومرية والعربية. بغداد: بيت الحكمة، 2001.

الماجدي، خزعل. الحضارة البابلية. الكويت: منشورات تكوين، 2024.

الأجنبية

Abel, Rey. "Le système sexagésimal assyrien." Journal des Savants (1933). pp. 107-119.

Al-Bīrūnī, M. The Chronology of Ancient Nations: An English Version of the Arabic Text of the Athâr-ul-Bâkiya, or Vestiges of the Past. Edward Sachau (ed. & trans.). London: W. H. Allen & Co., 1879.

Barton, George A. "On the Babylonian origin of Plato's nuptial number." Journal of the American Oriental Society. vol. 29 (1908). pp. 210-219.

Berthelot, René. "L'Astrobiologie et la pensée de l'Asie." Revue de métaphysique et de morale. vol. 40, no. 4 (1933). pp. 457-479.

De Vlieger, Michael. "Key dozenal fractions." The Duodecimal Bulletin. vol. four dozen eleven, no. 2 (2011). p. 25.

Høyrup, Jens. Lengths, Widths, Surfaces: A Portrait of Old Babylonian Algebra and its Kin. New York: Springer, 2002.

Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. D. Bellos (trans.). New York: Wiley, 2000.

Kāshī, Jamshīd ibn Mas'ūd. Der Lehrbrief über den Kreisumfang: ar-risala al-Muhitiya. Paul Luckey (trans.). Berlin: Akademie-Verlag, 1953.

Kugler, Franz Xaver. Die Babylonische Mondrechnung. Freiburg im Breisgau: Herder, 1900.

Lean, Glendon Angove. "Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania," PhD Thesis. Papua New Guinea University of Technology. New Guinea. 2007.

Neugebauer, Otto. "Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India." Osiris. vol. 10 (1952). pp. 252-276.

Newton, Isaac. The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of CurveLines. London: Henry Woodfall published, 1736.

Nothaft, Philipp. Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe. Oxford, UK: Oxford University Press, 2018.

Poulle, Emmanuel. "Astronomes parisiens au XIV^e siècle et l'astronomie alphonsine." Histoire littéraire de la France. vol. 43 (2005). pp. 1-54.

Smith, Adam. "The Chinese sexagenary cycle and the ritual origins of the calendar." In: John Steele (ed.). Calendars and Years II: Astronomy and time in the ancient and medieval world. Oxford: Oxbow Books, 2011. pp. 1-37.

Toomer, Gerald J. "Hipparchus and Babylonian Astronomy."in: Erle Leichty & Maria Ellis (eds.). A Scientific Humanist: studies in memory of Abraham Sachs. Philadelphia:Samuel Noah Kramer Fund, Univ. Museum, 1988. pp. 353-362.