القاسم المشترك الأكبر

الموجز

القاسم المشترك الأكبر (Greatest common divisor) في الرياضيات أحد أهمّ المفاهيم الأساسية في نظرية الأعداد. يُعبِّر هذا المفهوم عن أكبر عدد صحيح موجب يمكنه قسمة عددَيْن أو أكثر من دون أن يترك باقيًا. ويُعرَف بعدة تسميات مترادفة، منها: العامل المشترك الأكبر، أو المقوّم المشترك الأكبر، هناك طرق عدّة لحساب القاسم المشترك الأكبر، وهي: الطريقة اليدوية، والتحليل إلى العوامل الأولية، ومن خلال خوارزمية إقليدس.

يُرمز إليه اختصارًا باللغة العربية بالأحرف (ق. م. أ) وبالإنكليزية GCD، وتكمن أهمية هذا المفهوم من امتداد تطبيقاته بدءًا بالعمليات الحسابية البسيطة مثل تبسيط الكسور، وصولًا إلى علوم الحاسوب مثل البرمجة والتشفير، نظرًا إلى ارتباطه الوثيق بمفاهيم القواسم، والتحليل إلى العوامل الأولية، والمعادلات الرياضية المعقدة، والتحليل الرياضي عمومًا. ويُعَدّ مدخلًا أساسيًا لفهم بنية الأعداد الصحيحة وخصائصها.

تعريف القاسم المشترك الأكبر

يُعرَّف القاسم المشترك الأكبر لعددَيْن صحيحَيْن موجبَيْن \(a,b\) بأنه أكبر عدد صحيح موجب يقسم كليهما من دون أن يترك باقيًا. يُشار إليه اختصارًا بالعربية بالأحرف (ق. م. أ)، وهي الحروف الأولى من عبارة القاسم المشترك الأكبر، في حين يُرمز إليه بالإنكليزية بالرمز \(GCD (a,b)\) أو \(gcd (a,b)\)، أي القاسم المشترك الأكبر للعددَيْن \(a,b\)[1].

مثال توضيحي: عند البحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددَيْن 18 و24، تُتّبع الخطوات التحليلية الآتية:

قواسم العدد 24 هي: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24.

قواسم العدد 18 هي: 1، 2، 3، 6، 9، 18.

القواسم المشتركة بينهما هي: 1، 2، 3، 6.

بما أن العدد 6 هو أكبر عدد يظهر في القائمتين ويقسم العددين معًا من دون باقٍ، فإنه يُمثل القاسم المشترك الأكبر، ويُكتب، هكذا:

\[gcd \left(24,18\right)=6\]

طرائق حسابه

توجد عدة طرائق لحساب القاسم المشترك الأكبر، ويعتمد اختيار الطريقة على حجم الأعداد وطبيعة المسألة:

الطريقة اليدوية

تعتمد الطريقة اليدوية[2] في حساب القاسم المشترك الأكبر لعددَيْن على سرد القواسم الممكنة لكلٍّ منهما، ثم استخراج القواسم المشتركة وأخذ أكبرها. وهي طريقة قابلة للتطبيق بشكل سهل مع الأعداد الصغيرة باعتبار سهولة استخراج القواسم لها. أما الأعداد الكبيرة، فإن الطريقة اليدوية تُعَدّ خيارًا غير مناسب للاستعمال في حساب القاسم المشترك الأكبر فيها، وذلك لصعوبة استخراج جميع القواسم.

مثال: لحساب القاسم المشترك الأكبر للعددَيْن 12 و8، تطبّق الخطوات الآتية:

قواسم العدد 12 هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12.

قواسم العدد 8 هي: 1، 2، 4، 8.

القواسم المشتركة هي: 1، 2، 4.

إذن، القاسم المشترك الأكبر هو 4، أي:

\[gcd \left(12, 8\right)=4\]

التحليل إلى العوامل الأولية

تعتمد هذه الطريقة[3] على تفكيك العددَيْن إلى عواملهما الأولية، ثم أخذ حاصل ضرب العوامل المشتركة بأقل ​ الأُسس {{الأُسُس: طريقة لتمثيل الضرب المتكرّر لعددٍ ما بنفسه، إذ يُعبّر الأُسّ عن عدد المرّات التي يُضرَب فيها الأساس بنفسه، وتُستخدم لتبسيط الحسابات الرياضية.}}.

مثال: لحساب \(gcd \left(60, 48\right)\)، فإن الحل يكون بتحليل كلٍّ من العددَيْن \(60, 48\) إلى عواملهما الأولية كما يأتي:

\[48=2\times 2\times 2\times 2\times 3\]

\[60=2\times 2\times 3\times 5\]

هنا تكون العوامل المشتركة بأقل الأُسس هي:

\[2^{2},3\]

بضرب العوامل:

\[2^{2}\times 3=12\]

إذن، يكون القاسم المشترك الأكبر هو العدد \(12\) ، أي إن:

\[gcd\left(60, 48\right)=12\]

خوارزمية إقليدس

تُعَدّ خوارزمية إقليدس[4] من أبسط الخوارزميات في الرياضيات وأقدمها، وهي تعتمد على تكرار عملية القسمة مع أخذ الباقي حتى الوصول إلى الصفر، إذ يكون آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر. تُعَدّ خوارزمية إقليدس من أكثر الطرائق فاعلية لحساب القاسم المشترك الأكبر بسبب شموليتها، ويمكن التعبير عنها رياضيًا كما يأتي:

\[gcd\left(a,b\right)=gcd\left(b,a mod b\right).\]

أي إن القاسم المشترك الأكبر بين العددَيْن \(a,b\) هو القاسم المشترك الأكبر بين \(b\) وباقي قسمة \(a\) على \(b\).

مثال: لحساب القاسم المشترك الأكبر للعددَيْن \(252, 105\)، فإنّ الحل يكون بتطبيق خوارزمية إقليدس، على هذا النحو:

\[gcd \left(252, 105\right)=gcd \left(105, 252 mod 105\right)\]

ويكون باقي قسمة \(252\) على \(105\) هو \(42\) ، ومن ثم:

\[gcd \left(252, 105\right)=gcd \left(105, 42\right)=gcd \left(42, 105 mod 42\right)\]

ويكون باقي قسمة \(105\) على \(42\) هو \(21\) ، ومن ثم:

\[gcd \left(252, 105\right)=gcd \left(42, 21\right)=gcd \left(21, 42 mod 21\right)\]

ويكون باقي قسمة \(42\) على \(21\) هو \(0\) ، ومن ثم:

\[gcd \left(252,105\right)=gcd \left(21,0\right)\]

وهنا، يكون آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر، أي إن العدد \(21\) هو القاسم المشترك الأكبر:

\[gcd\left(252,105\right)=21\]

حسابه لعدة أعداد

تبرز الحاجة إلى إيجاد القاسم المشترك الأكبر لأكثر من عددَيْن في كثيرٍ من المسائل في الرياضيات، سواء في مسائل الكسور أم التبسيط أم غيرها. يمكن توسيع المفاهيم نفسها واستخدامها بطريقة تكرارية لتشمل أكثر من عددَيْن، وتكمن الفكرة الأساسية في حساب القاسم المشترك الأكبر لعددَيْن، ثم استخدام الناتج مع العدد الثالث لحساب القاسم المشترك الأكبر بينهما، وهكذا؛ أي إنه لحساب القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد \(a,b,c\) – مثلًا - يمكن استخدام العلاقة التكرارية الآتية[5]:

\[gcd (a,b,c)=gcd(gcd\left(a,b\right), c)\]

مثال: لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للأعداد \(18, 24, 30\)، يكون الحل على النحو الآتي:

باستخدام العلاقة التكرارية:

\[gcd\left(18, 24, 30\right)=gcd(gcd\left(18, 24\right),30)\]

إذ يكون العامل المشترك الأكبر للعددَيْن \(18, 24\) هو العدد \(6\)، أي إن:

\[gcd \left(18, 24\right)=6\]

ومن ثم:

\[gcd\left(18, 24, 30\right)=gcd(6, 30)\]

ويكون القاسم المشترك الأكبر للعددَيْن \(6, 30\) هو العدد \(6\)، ومن ثم:

\[gcd\left(18, 24, 30\right)=6\]

خصائص القاسم المشترك الأكبر​

للقاسم المشترك الأكبر كثير من الخصائص الرياضية التي تجعله أداة مهمة في تحليل الأعداد والعلاقات بينها. تساعد هذه الخصائص في تسهيل الحلول الرياضية، وتُستخدم في كثير من البراهين والتطبيقات. من هذه الخصائص:

لأي عددَيْن صحيحَيْن \(a,b\)، فإنّ[6]:

• \(gcd \left(a,0\right)=\left|a\right|\)
• \(gcd \left(a,b\right)=gcd (b,a)\)
• \(gcd\left(a,b\right)=gcd (b,a mod b)\)
• إذا كان \(gcd \left(a,b\right)=d\) فإن \(gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1\)
• إذا كان \(gcd\left(a,b\right)=1\) فإن العددَيْن \(a,b\) أوليّان بينهما.
• إذا كان \(c\) يقسم كلًّا من: \(a,b\) فإن \(c\) يقسم \(gcd \left(a,b\right)\) أيضًا.

أمثلة:

• \(gcd \left(5, 0\right)=\left|5\right|\)
• \(gcd \left(4, 20\right)=gcd (20, 4)\)
• \(gcd \left(52, 39\right)=gcd (39, 52 mod 39)\)
• إذا كان \(gcd\left(6, 32\right)=2\) فإن \(gcd\left(\frac{6}{2}, \frac{32}{2}\right)=1\)
• إذا كان \(gcd\left(5, 9\right)=1\) فإن العددَيْن \(5, 9\) عددان أوليّان بينهما.
• إذا كان \(4\) يقسم كلًّا من \(24, 16\) فإن \(4\) يقسم \(gcd \left(24, 16\right)=8\) أيضًا.

العلاقة بينه وبين المضاعف المشترك الأصغر

يُعَدّ فَهْم العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) أمرًا أساسيًا في كثير من التطبيقات الرياضية، فكلا المفهومَيْن يرتبط بتنظيم الأعداد وتقسيمها، ويكمل كلٌّ منهما الآخر في فَهْم بنية الأعداد والعلاقة بينها، إذ توجد علاقة رياضية مباشرة تربط بينهما من خلال حاصل ضرب بعضهما ببعض، وحاصل ضرب العددَيْن كذلك، كما يأتي:

لأي عددَيْن صحيحَيْن \(a,b\) فإن[7]:

\[gcd\left(a,b\right)\times lcm \left(a,b\right)=a\times b\]

أمثلة:

• \(gcd \left(12, 18\right)\times lcm \left(12, 18\right)=6\times 36=12\times 18=216\)
• \(gcd \left(15, 20\right)\times lcm \left(15, 20\right)=5\times 60=15\times 20=300\)
• \(gcd \left(8, 12\right)\times lcm \left(8, 12\right)=4\times 24=8\times 12=96\)

علاقته مع المفاهيم الرياضية الأخرى

لا يقتصر دَوْر القاسم المشترك الأكبر على أنه أداة للحساب فقط، بل يتداخل مع مفاهيم رياضية أخرى، مثل الأعداد الأولية، وتبسيط الكسور والمعادلات الخطية. إذ يعزز هذا الارتباط وهذا التكامل فَهْم القاسم المشترك الأكبر وأهميته، بوصفه من الأدوات المهمّة للتعامل مع المسائل المتنوّعة، كما يأتي[8]:

1. الأعداد الأولية في ما بينها

يُقال عن أي عددَيْن إنهما أوّليّان بينهما إذا كانا لا يشتركان في أي قاسم غير العدد \(1\)، وهنا يكون القاسم المشترك الأكبر بينهما هو العدد \(1\) أيضًا، أي إنه لأي عددَيْن صحيحَيْن \(a,b\) ، إذا كان \(gcd \left(a,b\right)=1\)، فإن العددَيْن \(a,b\) هما عددان أوّليّان بينهما. مثال على ذلك العددان \(8, 15\)، فهما عددان أوّليّان بينهما، وذلك لأنّ \(gcd\left(8,15\right)=1\).

2. تبسيط الكسور

يرتبط مفهوم القاسم المشترك الأكبر مع تبسيط الكسور بعلاقة وثيقة، إذ يمكن تبسيط أي كسر وتحويله إلى أبسط صورة، وذلك بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بين العددَيْن في البسط والمقام، أي إنه إذا كان الكسر هو \(\frac{a}{b}\)، فيمكن كتابة هذا الكسر في أبسط صورة، وذلك بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر بين العددَيْن \(gcd \left(a,b\right)\).

أهميته

يُعَدّ القاسم المشترك الأكبر (GCD) من المفاهيم الأساسية في علم الرياضيات[9]، وله أهمية كبيرة تجاوز حدود العمليات الحسابية البسيطة، فاستخدامه في تبسيط الكسور يعدّ مهارة مهمّة في المراحل التعليمية كافة. كذلك يُستخدم في حلِّ المسائل التي تتضمن تقسيم الأشياء إلى مجموعات متساوية بلا أي بواقٍ، مثل: توزيع الهدايا، أو قطع القماش، أو ترتيب الكراسي في صفوف متساوية. وفي علوم الحاسوب، يُستخدم القاسم المشترك الأكبر في خوارزميات التشفير مثل RSA، التي تعتمد على خصائص الأعداد الأولية وخصائص القاسم المشترك الأكبر لضمان أمان البيانات. كذلك يدخل في بناء خوارزميات فعّالة لتقليل زمن التنفيذ عند التعامل مع الحسابات العددية، ولا سيما خوارزمية إقليدس السريعة. وفي الرياضيات المتقدّمة، يؤدي القاسم المشترك الأكبر دَوْرًا مهمًّا في حلِّ المعادلات الديوفانتية (Diophantine equation)، وهي معادلات تتطلّب أن تكون حلولها أعدادًا صحيحة، ولا تُحَلّ إلا إذا كان القاسم المشترك الأكبر للمعاملات يقسم الحد الآخر. كذلك يُستخدَم في دراسة نظرية الأعداد، ولا سيما الأعداد النسبية وغير النسبية، وفي معرفة التناسبات بين الأعداد. ومن التطبيقات العملية أيضًا، توحيد مقاييس الزمن أو المسافات عند التعامل مع تكرارات دورية، مثل معرفة متى يتزامن حدثان يقعان كل \(x\) و \(y\)دقيقة، وهو أمرٌ يُحَلّ باستخدام القاسم والمضاعف المشتركَيْن.

[1] Douglas Smith, Maurice Eggen & Richard St. Andre, A Transition to Advanced Mathematics, 8^th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2014), pp. 62–63; فهد بن عبد المجيد الدوسري، مقدمة في نظرية الأعداد، (مكة المكرمة: جامعة أم القرى، 2007)، ص 21–42.

[2] Smith, Eggen & Andre, op. cit.

[3] James K. Strayer, Elementary Number Theory (Long Grove, IL: Waveland Press, 1994), pp. 18-36.

[4] Ibid.

[5] Ibid.

[6] Ibid.

[7] “Least Common Multiple,” Encyclopedia Britannica, accessed on 16/2/2026, at: https://acr.ps/hBy0Msm; “Greatest Common Divisor,” Encyclopedia Britannica, accessed on 16/2/2026, at: https://acr.ps/hBy0MqP

[8] Strayer, pp. 18-36.

[9] Ibid.

المراجع

العربية

الدوسري، فهد بن عبد المجيد. مقدمة في نظرية الأعداد. مكة المكرمة: جامعة أم القرى، 2007.

الأجنبية

“Greatest Common Divisor.” Encyclopedia Britannica. at: https://acr.ps/hBy0MqP

Strayer, pp. 18-36. Smith, Douglas, Maurice Eggen & Richard St. Andre. A Transition to Advanced Mathematics. 8^th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2014.

Strayer, James K. Elementary Number Theory. Long Grove, IL: Waveland Press, 1994.

“Least Common Multiple.” Encyclopedia Britannica. at: https://acr.ps/hBy0Msm