حذف غاوس

الموجز​

حذف غاوس (Gaussian Elimination) خوارزمية تعتمد على تحويل نظام المعادلات الخطية إلى شكلٍ صفّيٍّ متدرّج باستخدام عمليات الصفّ الأوّلية، ثم إيجاد قِيَم مجاهيل النظام بالتعويض والرجوع العكسي. تُنسَب الطريقة إلى كارل فريدريش غاوس​ (Carl Friedrich Gauss، 1777-1855) بسبب استخدامها الواسع في أعماله، رغم أن أصلها يعود إلى طُرُقٍ أقدم ظهرت في الرياضيات الصينية. 

تُعَدّ هذه الطريقة من أكثر الطرق شيوعًا وفاعليةً في حلِّ أنظمة المعادلات الخطية، إذ تقوم على تحويل مصفوفة معاملات النظام إلى شكلٍ صَفّيٍّ متدرّج، عن طريق تطبيق عمليّات صفّية أوّلية على المصفوفة المُوسَّعة للنظام، مثل: تبديل الصفوف، وضرب صفّ بعدد غير صفريّ، أو جمع مضاعف صفٍّ على صفٍّ آخر. بعد الحصول على مصفوفة متدرّجة صفّيًّا، توجَد الحلول باستخدام التعويض والرجوع العكسي، ابتداءً من آخر معادلة صعودًا. تُستخدَم هذه الطريقة على نطاق واسع في التطبيقات العددية والحوسبة والإحصاء والهندسة، وتُشكّل الأساس لكثيرٍ من الخوارزميات الحديثة في الجبر الخطي.

مؤسس الخوارزمية

كارل فريدريش غاوس (Carl Friedrich Gauß، 1777-1855) عالمُ رياضيات وفيزياء، وهو من أهمّ عُلماء الرياضيات عبر العصور، إذ أسهم في تطوير نظرية الأعداد، والإحصاء، والهندسة، والجبر الخطي، وصاغ طريقة حذف غاوس لحلّ أنظمة المعادلات الخطّية.

أنظمة المعادلات الخطية

تُعَدّ أنظمة المعادلات الخطية (Systems of Linear Equations) من المفاهيم المحورية في الجبر الخطي، إذ تُستخدَم لوصف العلاقات بين مجموعة من المتغيّرات بصورة منظّمة. تظهر هذه الأنظمة في مختلف المجالات العلمية والهندسية، إذ تُمثّل كلُّ معادلةٍ علاقةً خطيةً بين المتغيّرات. وعن طريق صياغتها في صورة مصفوفية، يمكن دراسة خواصّها وتحديد ما إذا كان لها حلٌّ وحيد أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا حلّ لها إطلاقًا. كذلك، ترتبط أنظمة المعادلات الخطية ارتباطًا وثيقًا بالمحددات والمصفوفات، وهو ما يجعلها أداةً أساسيةً تجمع بين الجانب النظري والتطبيقي في الرياضيات والعلوم.

يُعرَف نظام المعادلات الخطية بأنه مجموعة من المعادلات التي تحتوي عددًا من المجاهيل التي تظهر بصورة خطّية[1]. وفي سياق الجبر الخطي، تُوضَع صياغات معيارية لأشكال المعادلات الخطية مع مفاهيم أساسية ليسهل التعامل معها، فمثلًا: بافتراضِ وجود \(m\) من المعادلات الخطية في \(n\) من المجاهيل، مثل \(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\)، وليكن \(a_{ij}\) عددًا يرمز إلى معامل \(x_{j}\) في المعادلة \(i\)، ولتكن \(b_{1},b_{2},\ldots , b_{m}\) ثوابتَ أيضًا عددُها مساوٍ لعدد المعادلات، عندئذٍ يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية على الصيغة الآتية[2]:

\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]

\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]

\[⋮ \]

\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]

ويقال إنَّ قِيَمًا مُعيّنةً للمجاهيل السابقة هي حلٌّ لنظام المعادلات السابق إذا حقَّقت جميع معادلات النظام، فمثلًا في النظام الآتي:

\[x_{1}-x_{2}=2\]

\[x_{2}=1\]

يمكن القول إنَّ القِيَم الآتية للمجاهيل \(x_{1}=3,x_{2}=1\) هي حلٌّ للنظام، ذلك لأنها تُحقّق جميع معادلاته، وهي حلٌّ وحيدٌ له.

كما ذُكر سابقًا، ليست جميع الأنظمة الخطية تمتلك حلًّا وحيدًا، فمنها ما يمتلك عددًا لا نهائيًّا من الحلول، ومنها ما لا حلَّ له أصلًا، فمثلًا النظام الآتي[3]:

\[2x_{1}+4x_{3}=6\]

\[x_{2}-3x_{3}=1\]

يمتلك عددًا لا نهائيًّا من الحلول. أما النظام الآتي فليس له حلّ:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

بملاحظة جميع الأنظمة المعروضة سابقًا، يتّضح أنه يمكن تمثيل نظام المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات، بحيث يصبح النظام على الشكل \(AX=b\)، إذ تكون \(A\) مصفوفة معاملات المجاهيل، أما \(X\) فهو المتجه الرأسي أو المصفوفة الرأسية التي تحتوي المجاهيل، بينما \(b\) هو المتجه الرأسي أو المصفوفة الرأسية التي تحتوي الثابتَ الموجودَ في الطرف الآخر لكلّ معادلة. ولتوضيح طريقة التمثيل هذه، يمكن ملاحظة النظام الآتي[4]:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

\[x_{1}+x_{2}=0\]

يمكن تمثيل هذا النظام على شكل معادلة مصفوفية \(AX=b\) كما يأتي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]

إذ إن:

\[A=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]

يُلحَظ أن عدد صفوف المصفوفة \(A\) يساوي عدد معادلات النظام، وعدد أعمدتها يساوي عدد مجاهيله.

تعميمًا على طريقة كتابة أنظمة المعادلات هذه، فإن أي نظام على الشكل:

\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]

\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]

\[⋮ \]

\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]

يمكن أن يُمثَّل بمعادلة مصفوفية \(AX=b\) كما يأتي:

\[A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{bmatrix}\]

إذ إن صفوف المصفوفة \(A\) تساوي عدد معادلاتها، وعدد الأعمدة فيها يُساوي عدد المجاهيل.

تُوسَّع المصفوفة \(A\) بإضافة المصفوفة \(b\) كعمود جديد، للحصول على مصفوفة جديدة يُرمَز لها بالرمز \([A|b]\)، وتُسمّى المصفوفة الموسّعة لنظام المعادلات (Augmented Matrix)، فضلًا عن أن الأنظمة التي تكون فيها كل مدخلات المصفوفة \(b\) صفرًا تُسمّى الأنظمة المتجانسة، وبخلاف ذلك تُسمّى أنظمة غير متجانسة. ويُسمّى الحلّ \(x_{1}=x_{2}=\ldots =0\) في الأنظمة المتجانسة بالحلّ البديهي، ويُسمّى النظام الذي يحتوي حلًا بالنظامِ المُتَّسق أو المتآلف (consistent)، ويُسمّى غير متّسق (Nonconsistent) إذا لم يمتلك حلًّا[5].

علاوة على أسلوبَي الحذف والتعويض التقليديَّيْن، فإن الجبر الخطي يتعامل مع عدة طرق أساسية لحلّ أنظمة المعادلات الخطية، التي سيُرمَز لها اختصارًا بالتعبير المصفوفي \(AX=b\). تُعَدّ طريقة حذف غاوس من أهمّ هذه الطرق في حلّ أنظمة المعادلات الخطية، لأنها تتعامل مع الأشكال العامّة للأنظمة.

طريقة الحذف

طريقة حذف غاوس، أو كما تُسمّى بالحذف الغاوسي، تقوم على حلّ أنظمة المعادلات الخطية بشكلها العامّ، سواء أكان عدد المعادلات أكبر أم أقل أم حتى يُساوي عدد المجاهيل. اعتمد غاوس في بداية وضعه لهذا الأسلوب على تعريفات مهمّة تُسهِّل التعامل مع أنظمة المعادلات الخطية، مثل مفهوم الشكل الصفّي المُتدرّج (Row echelon form)، والعمليات الصفّية الأوّلية (Elementary Row Operations)، والتكافؤ الصّفّي للمصفوفات (Row Equivalent). تُصاغ هذه المفاهيم رياضيًا كما يأتي[6]:

1. العمليات الصفية الأولية(Elementary Row Operations):

العمليات الصفية الأولية (Elementary Row Operations) هي مجموعة من العمليات التي تُجرى على صفوف المصفوفات، وذلك سعيًا لتحويل المصفوفة إلى شكل آخر يُسهّل التعامل معها. وهذه العمليات هي[7]:

• تغيير ترتيب أي صفَّيْن من المصفوفة \((R_{i}⟷R_{j})\).
• ضرب أي صف من المصفوفة بعدد غير صفري \((kR_{i})\).
• جمع أو طرح مضاعف أحد صفوف المصفوفة بعددٍ مُعيّن غير صفري مع صف آخر \((kR_{i}+R_{j})\).

إذ إن \(R_{i}\) هو الصف رقم \(i\)، و \(k\) عدد غير صفري.

فمثلًا للمصفوفة الآتية:

\[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 6 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{R_{1}⟷R_{3}}\begin{bmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 5 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{5R_{2}}\begin{bmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 30 & 25 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-2R_{3}+R_{1}}\begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 \\ 0 & 30 & 25 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\]

2. التكافؤ الصفي للمصفوفات(Row Equivalent):

يُقال إن مصفوفتَي \(A,B\) متكافِئتان صفّيًّا (Row Equivalent) إذا نَتَجَت إحداهما من الأخرى، بإجراء عددٍ مُنتَهٍ من عمليات الصفّ الأوّلية. ويرمز لهذا بالرمز \(A~B\)[8].

3. الشكل الصفّي المتدرّج (Row Echelon Form):

يقال عن مصفوفةٍ ما إنها ذات شكل صفّي متدرّج (Row Echelon Form) إذا حَقَّقت ما يأتي[9]:

• كل صف غير صفري يجب أن يكون أول عنصر غير صفري يُساوي واحدًا، ويُسمّى هذا العنصر بالعنصر الرئيس أو المتقدّم، أو يُسمّى العنصر القيادي (Leading Element).
• الصفوف الصفرية (إن وُجدت) تكون في أسفل المصفوفة.
• إذا وُجِد صفّان غير صفريَّيْن فإن العنصر القيادي \(1\) في الصف الأعلى يجـب أن يكون على يسار العنصر القيادي \(1\) في الصف الأسفل.

فمثلًا، كل المصفوفات الآتية هي مصفوفات على صيغة درجية صفّية:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -7 & 5 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

أما المصفوفات الآتية فهي ليست على صيغة درجية صفية:

\[\begin{bmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

تعتمد طريقة حذف غاوس في حلّ أنظمة المعادلات الخطية على تمثيل النظام في صورة مصفوفة موسّعة تضمّ معاملات المُتغيّرات والثوابت، ثم إجراء عمليات صفّية أوّلية لتحويلها إلى شكل صفّي متدرّج. بعد ذلك، تُعاد كتابة النظام المكافِئ للمصفوفة الناتجة، إذ تُصنَّف المتغيّرات إلى قسمين: قيادية؛ وحرّة، تبعًا لمواقع العناصر القيادية في الصفوف، فالمتغيّرات التي تقابل عناصرَ قياديةً تُسمّى متغيّرات قيادية (Leading Variables)، أما الباقية فتُعَدّ متغيّرات حرّة (Free Variables)، لأنها يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية. قد تُستخدَم هذه القِيَم الحرّة في تحديد قِيَم المُتغيّرات الأخرى عبر التعويض، وهو ما يُتيح وصف مجموعة الحلول الممكنة للنظام بدقّة ومنهجية واضحة.[10]

أمثلة على حذف غاوس

لا يُشترَط في طريقة حذف غاوس لحلّ أنظمة المعادلات الخطية أن يكون النظام بشكل خاص، كأن يكون عدد مُعادلاتِه مُساويًا لعدد مجاهيله، كما الحال في بعض الطرق الأخرى. ولتوضيح تفاصيل خطوات هذه الطريقة، توجد عدة أمثلة[11]:

مثال (1): إيجاد حلّ نظام المعادلات الخطية الآتية:

\[3x_{1}-5x_{2}=1\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=-10\]

الحلّ:

بدايةً، تُكتَب المصفوفة الموسّعة للنظام \([A|b]\) وفق الشكل الآتي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -5 & 1 \\ -6 & 2 & -10 \end{bmatrix}\]

وباستعمال عمليات الصفّ الأوّلية، تُحوَّل هذه المصفوفة إلى شكلٍ صفّيٍّ متدرّج كما يأتي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -5 & 1 \\ -6 & 2 & -10 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{\frac{1}{3}R_{1}}\begin{bmatrix} 1 & \frac{-5}{3} & \frac{1}{3} \\ -6 & 2 & -10 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{6R_{1}+R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{5}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & -8 & -8 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-\frac{1}{8}R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{5}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]

الآن، بكتابة النظام الذي يُكافِئ المصفوفة الموسّعة التي حُصِلَ عليها، يكون الناتج:

\[x_{1}-\frac{5}{3}x_{2}=\frac{1}{3}\]

\[0x_{1}+x_{2}=1\]

العنصر القيادي في الصف الأول في المصفوفة السابقة يُكافِئ موقعُه موقعَ المجهول \(x_{1}\)، لذا فإن هذا المجهول يُسمّى المجهول القيادي (Leading Variable)، وكذلك الأمر بالنسبة للمجهول \(x_{2}\).

يُلحَظ إيجاد إحدى القِيَم، وهي \(x_{2}=1\)، بالتعويض في المعادلة الأولى:

\[x_{1}-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}\implies x_{1}=2\]

إذن، حلّ النظام هو \(x_{1}=2, x_{2}=1\).

مثال (2): إيجاد حلّ نظام المعادلات الخطية الآتية:

\[a+b=1\]

\[a+b=2\]

\[2a-b=0\]

الحلّ:

بكتابة المصفوفة المُوسّعة وتحويلها إلى شكلٍ صفّيٍّ متدرّج بعمليات الصفّ الأوّلية، يكون الناتج:

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-R_{1}+R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-2R_{1}+R_{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{R_{2}⟷R_{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\[\underset{\rightarrow}{-\frac{1}{3}R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

الآن، بكتابة النظام المكافِئ:

\[a+b=1\]

\[0a+b=\frac{2}{3}\]

\[0a+0b=1\]

من المعادلة الثانية يَتبيَّن أن \(b=\frac{2}{3}\)، وبتعويض هذه القيمة في المعادلة الأولى يَتبيّن أن \(a=\frac{1}{3}\). لكن بالنظر مَليًّا في المعادلة الثالثة وتعويض هذه القِيَم فيها، يَتبيّن أنها تؤدي إلى تناقُض، وهي في حقيقية الأمر تؤدّي إلى تناقض لجميع قيم \(a,b\)، لذا فإن النظام ليس له حلّ (النظام غير مُتّسق).

مثال (3): حلّ نظام المعادلات الخطية الآتية:

\[s_{1}+s_{2}+s_{3}=2\]

\[2s_{1}-s_{2}+s_{3}=3\]

الحلّ:

بكتابة المصفوفة الموسّعة وإجراء عمليات الصف الأوّلية:

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-2R_{1}+R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-\frac{1}{3}R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\]

وهي مصفوفة ذات شكل صفّي مُتدرّج. الآن، بكتابة النظام المكافِئ:

\[s_{1}+s_{2}+s_{3}=2\]

\[0s_{1}+s_{2}+\frac{1}{3}s_{3}=\frac{1}{3}\]

العنصر القيادي في الصفّ الأوّل في المصفوفة السابقة يكافِئ موقعُه موقعَ المجهول \(s_{1}\)، لذا فإن هذا المجهول يُسمّى المجهول القيادي (Leading Variable)، وكذلك الأمر بالنسبة للمجهول \(s_{2}\). أما المجهول الأخير الذي لا يحلّ موقع العنصر القيادي في صفٍّ وحده في المصفوفة، فإنه يُسمّى مجهولًا حرًّا (Free Variable). يأخذ المتغيّر الحرّ جميع القِيَم الحقيقية، لذا يُفرَض بمُتغيّر عامٍّ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، وليكن \(t\)، إذن[12]:

\[s_{3}=t⟶s_{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t⟶s_{1}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}t\]

لذا، فإن النظام يمتلك عددًا لا نهائيًّا من الحلول، وتكون حلوله كالآتي:

\[s_{3}=t, s_{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t, s_{1}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}t, t\mathbb{∈R} \]

حالات الحلّ

الحل الوحيد

يكون للنظامِ حلٌّ وحيدٌ عندما تؤدّي عملية حذف غاوس إلى صيغة تُظهر أن كل متغيّر يعتمد على معادلة مستقلة، من دون وجود تناقُضٍ أو متغيّراتٍ حرّة. في هذه الحالة تكون المعادلات متّسقة ومستقلة، ويُمكن تحديد قيمة واحدة فقط لكل متغيّر.[13]

الحلول اللانهائية

يكون للنظامِ عددٌ لا نهائيٌّ من الحلول عندما تكون المعادلات متّسقة ولكن غير مستقلة بالكامل، بحيث تظهر متغيّرات حرّة لا يمكن تحديد قِيَمها بشكل فريد. يعني ذلك أن بعض المعادلات يمكن اشتقاقها من غيرها، فيتحدّد الحلّ على شكل مجموعة من القِيَم المرتبطة بعلاقات عامّة.[14]

عدم وجود حل

لا يكون للنظام أي حلٍّ عندما تؤدّي خطوات حذف غاوس إلى ظهور تناقض بين المعادلات، أي عندما تُمثّل إحدى المعادلات شرطًا مستحيل التحقيق. تشير هذه الحالة إلى أن النظام غير متّسق، وأن المعادلات المُعطاة لا يمكن أن تتحقّق جميعها في الوقت نفسه[15].

التطبيقات

يُعَدّ حذف غاوس من الخوارزميات الأساسية في الجبر الخطي، وتكمن أهمّيته في قدرته على تحويل أنظمة المعادلات الخطية إلى صِيَغ أبسط تُمكِّن من تحليلها وحلّها بكفاءة. يُستخدَم هذا الأسلوب على نطاق واسع في حلّ الأنظمة الخطية وتحديد نوع حلولها، وحساب رتبة المصفوفة، وفحص الاتساق والاستقلال الخطي. يُستفاد منه كذلك في إيجاد معكوس المصفوفات المربّعة، ودراسة الفضاءات المتجهية[16].

يمتدّ استخدام حذف غاوس إلى التحليل العددي، إذ يشكّل الأساسَ لكثيرٍ من الخوارزميات الحسابية المُستخدَمة في حلّ المسائل كبيرة الحجم، ولا سيّما في النمذجة العلمية والمُحاكاة العددية. يُستخدَم أيضًا في الهندسة لتحليل الشبكات الكهربائية، وحساب القوى والإجهادات في الهياكل، وحلّ الأنظمة الخطية الناتجة من تطبيق قوانين التوازن[17].

في الفيزياء، يُستعمَل حذف غاوس في حلّ الأنظمة الخطية المرتبطة بقوانين الحركة، والأنظمة الخطية الناتجة من التقريب العددي للمعادلات التفاضلية. أما في علوم الحاسوب، فيدخل ضمن خوارزميات معالجة البيانات، والرسوم الحاسوبية، وتعلّم الآلة، إذ تُستخدَم الأنظمة الخطية في تدريب النماذج الرياضية وتحليل البيانات متعدّدة الأبعاد[18].

لا تقتصر أهمية حذف غاوس على الجانب التطبيقي فحسب، بل يمتدّ أثره إلى الجانب التعليمي، إذ يساعد الطلبة في فَهْم البنية الداخلية للأنظمة الخطية والعلاقة بين المعادلات والمصفوفات. بذلك، يُعَدّ حذف غاوس أداةً رياضيةً محوريةً تجمع بين البساطة المفاهيمية والقوة التطبيقية، وتُشكّل ركيزة أساسية في الجبر الخطي والعلوم التطبيقية الحديثة.

[1] معروف عبد الرحمن سمحان وعلي بن عبد الله السحيباني وفوزي بن أحمد الذكير، الجبر الخطي وتطبيقاته، ط 2 (الرياض: مكتبة العبيكان، 2006)، الفصل الثالث.

[2] المرجع نفسه.

[3] المرجع نفسه.

[4] المرجع نفسه.

[5] Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 11^th ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2013), Chapter 1.

[6] Ibid.

[7] Ibid.

[8] Ibid.

[9] Ibid.

[10] Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4^th ed. (Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006), Chapter 2.

[11] Ibid.

[12] Ibid.

[13] Anton, op. cit.

[14] Ibid.

[15] Ibid.

[16] Strang, op. cit.

[17] Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9^th ed. (New Delhi: Cengage Learning, 2011).

[18] Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2011).

المراجع

العربية

سمحان، معروف عبد الرحمن وعلي بن عبد الله السحيباني وفوزي بن أحمد الذكير. الجبر الخطي وتطبيقاته.ط 2. الرياض: مكتبة العبيكان، 2006.

الأجنبية

Anton, Howard. Elementary Linear Algebra. 11^th ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2013.

Burden, Richard L. & J. Douglas Faires. Numerical Analysis. 9^th ed. New Delhi: Cengage Learning, 2011.

Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. 10^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2011.

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4^th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006.