المسافة بين نقطتين

الموجز

المسافة أو البعد بين نقطتين (The Distance Between Two Points) في الرياضيات هي طويلة أقصر مسار يربط بينهما، وتتمثل في طول القطعة المستقيمة الواصلة بينهما في الفضاء الإقليدي {{الفضاء الإقليدي: هو الفضاء الرياضي المبني على هندسة إقليدس، حيث تُقاس المسافة والزوايا بالقوانين التقليدية}} أو في المستوى الإحداثي، سواء في بعدين أو أكثر. يمكن حساب هذه المسافة باستخدام الصيغة الإقليدية، التي تعتمد على نظرية فيثاغورس، والتي تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث قائم الزاوية {{المثلث قائم الزاوية: (Right Triangle) هو مثلث يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، تقابل دائمًا أطول ضلع في المثلث الذي يسمى الوتر، ويكون مقدار مربع طول هذا الوتر مساويًا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين وذلك بحسب نظرية فيثاغورس.}} يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. بناءً على ذلك، تُحسب المسافة بين نقطتين باستخدام إحداثياتهما، ولهذا السبب تُعرف هذه المسافة أحيانًا بـالمسافة الفيثاغورسية.

يُعد مفهوم المسافة بين نقطتين أساسيًا في الرياضيات، والفيزياء، والهندسة، إذ يؤدي دورًا جوهريًا في مجالات متعددة مثل الهندسة التحليلية، والميكانيكا، وعلم الحاسوب. يعتمد حساب المسافة على النظام الإحداثي {{النظام الإحداثي: (Coordinate System) هو إطار مرجعي يُستعمل لتمثيل النقاط في الفضاء بواسطة أزواج (أو مجموعات) من الأعداد، تُسمى إحداثيات. مثل النظام الإحداثي الديكارتي ثنائي الأبعاد، الذي تُحدد فيه النقطة بواسطة \((x,y)\)، إذ يمثل \(x\) الموضع الأفقي و \(y\)الموضع العمودي.}} المستعمل، سواء في بُعد واحد، أوبُعدين أو أكثر من ذلك. ولهذا المفهوم تطبيقات واسعة في المجالات العلمية والتكنولوجية، مثل نظام تحديد المواقع العالمي (GPS)، والروبوتات، ما يجعله عنصرًا مهمًا في التقنيات الحديثة.

المفهوم والتعريف

تعرف المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي بأنها طول القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. ويمكن التعبير عنها بعدة طرق رياضية بناءً على الإحداثيات الممثلة لها. ففي الخط المستقيم، تُحسب المسافة باستعمال القيمة المطلقة (Absolute value) للفرق بين إحداثيات النقطتين. أما في الفضاء ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فتُستعمل الصيغة الجذرية المستمدة من مبرهنة فيثاغورس.

1. المسافة بين نقطتين على خط مستقيم (البعد الواحد)

عند وجود نقطتين على خط مستقيم (خط أفقي)، تُحسب المسافة بينهما بسهولة باستخدام الصيغة الآتية:[1]

\[d=\left|x_{2}-x_{1}\right|\]

حيث تمثل \(x_{1}\) و \(x_{2}\) إحداثيات النقطتين على محور الأعداد الحقيقية.

مثال: إذا كانت النقطة الأولى عند \(x_{1}=3\) والنقطة الثانية عند \(x_{2}=5\) كما في الشكل 1، فإن المسافة بينهما تكون:

\[d=\left|x_{2}-x_{1}\right|=\left|5-3\right|=2\]

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

2. المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي (ثنائي الابعاد)

تُحسب المسافة بين النقطتين \(A(x_{1},y_{1}) , B(x_{2},y_{2})\) في الفضاء الإقليدي ثنائي البُعد أو ما يعرف بالمستوى الإحداثي باستخدام الصيغة الآتية[2]:

\[d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\]

تُبرهن هذه الصيغة من خلال استعمال نظرية فيثاغورس في المثلث قائم الزاوية (الشكل 2)، كما يلي:

الضلع الأول للمثلث يُحسب بإيجاد الفرق الأفقي بين A وB أي أن:

\[d_{1}=\left|x_{2}-x_{1}\right|\]

الضلع الثاني للمثلث يُحسب بإيجاد الفرق العمودي بين A وB أي أن:

\[d_{2}=\left|y_{2}-y_{1}\right|\]

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

المثلث الناتج من النقاط الثلاثة (الشكل 2) هو مثلث قائم الزاوية في النقطة \((x_{2},y_{1})\)، وبناءً على نظرية فيثاغورس:

\[d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\]

بتعويض كل من \(d_{1},d_{2}\):

\[d^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\]

وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

\[\left|d\right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\] وحيث إن \( d\geq 0\)تمثل مسافة فإن:

\[d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\]

3. المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد

إذا كانت النقطتان \(A(x_{1},y_{1},z_{1}) , B(x_{2},y_{2},z_{2})\)في فضاء إقليدي ثلاثي البُعد، تصبح الصيغة على الشكل الآتي[3]:

\[d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}\]

ويمكن تعميم هذه الصيغة لأي نقطتين \(A(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}) , B(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\) في فضاء إقليدي ذي \(n\) بُعدًا على الشكل الآتي[4]:

\[d=\sqrt{\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(b_{2}-a_{2}\right)^{2}+\ldots +\left(b_{n}-a_{n}\right)^{2}}\]

ويمكن أن يُكتب أيضًا:

\[d=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(b_{i}-a_{i}\right)^{2}}\]

ويمكن كتابة الفرق بطرح الإحداثيات الخاصة بالنقطة \(B\) من إحداثيات النقطة \(A\)، فتربيع الفرق يجعله موجبًا دائمًا.

تعددت الرموز التي تشير إلى المسافة بين النقطتين \(A , B\)، ومنها[5]:

1. \(AB\) : المسافة بين النقطتين \(A , B\)
2. \(\left|\hat{AB}\right|\) : طويلة الشعاع الواصل من النقطة \(A\) إلى النقطة \(B\).
3. \(d(A,B)\): المسافة بين النقطتين \(A , B\).

وكل منها يعبّر عن المفهوم نفسه، وهو البعد بين النقطتين \(A , B\).

مثال: إيجاد المسافة بين النقطتين \(\left(2,4\right) , (1,3)\) في المستوى الديكارتي:

الحل: \(d=\sqrt{\left(2-1\right)^{2}+\left(4-3\right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)

مثال: إيجاد القيم الممكنة للثابت \(k\) التي تجعل المسافة بين النقطتين \(\left(3,0\right) , \left(0,k\right)\) تساوي 5 وحدات طول.

الحل:

\[d=\sqrt{\left(3-0\right)^{2}+\left(0-k\right)^{2}}=\sqrt{9+k^{2}}=5\]

\[\Rightarrow 9+k^{2}=25\]

\[\implies k^{2}=16\]

\[\implies k=\pm 4\]

\[\implies k=\left\{4,-4\right\}\]

خصائص المسافة بين نقطتين في الفضاء

إذا كانت \(A(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}) , B(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}),C(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n})\) ثلاث نقاط في فضاء معين ذي \( n\)بُعدًا ، فإن[6]:

1. \(d(A,B)\geq 0\)
2. \(d\left(A,B\right)=0⟺A=B⟺a_{1}=b_{1} , a_{2}=b_{2} , \ldots , a_{n}=b_{n} \)
3. \(d\left(A,B\right)=d\left(B,A\right)\)
4. \(d(A,C)\leq d\left(A,B\right)+d(B,C)\) (المتراجحة المثلثية).

مثال: إذا كانت المسافة بين النقطتين \(\left(2b,4,12\right) , (4,4,3a)\) تساوي صفرًا، فإن إيجاد قيمة المقدار \(\frac{a+b}{a-b}\) ، علمًا أن \(a,b\) ثوابت، على النحو الآتي:

الحل: من الخاصية الثانية (2) تكون المسافة بين النقطتين تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع إحداثيات النقطتين متساوية:

\[\left(2b,4,12\right)=\left(4,4,3a\right)\implies 2b=4 , 12=3a \implies b=2 , a=4\]

\[\frac{a+b}{a-b}=\frac{4+2}{4-2}=\frac{6}{2}=3\]

الاستعمالات

تؤدي المسافة بين نقطتين والصيغة الخاصة بها دورًا مهمًا في العديد من العلوم، مثل الفيزياء والفلك والهندسة، إضافة إلى تطبيقاتها الواسعة في الرياضيات. لا يقتصر مفهوم المسافة على تحديد البعد بين نقطتين فقط، بل يمتد ليشمل مباحث رياضية عديدة تؤثر في مجالات أخرى. على سبيل المثال، في الجبر الخطي يُستخدم هذا المفهوم في تحليل البيانات، والذكاء الاصطناعي، وعلوم الحاسوب، ويُوظّفه علم التفاضل والتكامل في حل مسائل ديناميكية معقدة، مثل المعادلات المرتبطة بالحركة وتغير البعد بين جسمين. من الجدير بالذكر أن مفهوم المسافة بين نقطتين في الفضاء ذي بُعد واحد، يُعد امتدادًا طبيعيًا لصيغة المسافة الإقليدية المعروفة في بعدين أو ثلاثة أبعاد، إلى فضاءات ذات أبعاد أعلى، ما يجعلها ذات أهمية خاصة في الهندسة، والتعلم الآلي، وعلوم الكمبيوتر. يساعد هذا المفهوم في دراسة المعادلات التي تصف المنحنيات الناتجة عن حركة نقطة ضمن شروط معينة، وهو ما يُعرف بالمحل الهندسي، ويظل المفهوم الهندسي للمسافة ثابتًا في جميع الفضاءات الهندسية، بوصفه "أقصر مسار" بين نقطتين. ففي الفضاء الإقليدي تُحسب المسافة باستخدام الفرق بين الإحداثيات، في حين في الفضاءات المنحنية مثل الهندسة الريمانية أو الزائدية، تُحسب المسافة مع مراعاة انحناء الفضاء، وقد يكون المسار بين النقطتين منحنيًا. ومع ذلك، يظل المعنى الجوهري للمسافة واحدًا: التعبير عن أقصر طريق يربط بين نقطتين، سواء أكان مستقيمًا أم منحنيًا.[7]

[1] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012).

[2] Ibid.; Richard Stone, “Pythagorean theorem and distance formula,” Academia, accessed on 20/4/2026, at: https://acr.ps/hBxSohz

[3] Anton, Bivens & Davis.

[4] Howard Anton, Elementary linear algebra, 11^th ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2013), p. 145.

[5] Ibid., pp. 142-153; وزارة التربية والتعليم الأردنية، الرياضيات: الصف الثاني عشر: للفرعين العلمي والصناعي، الفصل الدراسي الثاني (عمان: إدارة المناهج والكتب المدرسية/ وزارة التربية والتعليم، 2018)، ص 208.

[6] Anton, pp. 142-153.

[7] Ibid.; Serge Lang, Geometry, 2^nd ed. (New York: Springer, 1988), pp. 8-13.; Anton, Bivens & Davis, pp. 767-771.

المراجع

العربية

وزارة التربية والتعليم الأردنية. الرياضيات: الصف الثاني عشر: للفرعين العلمي والصناعي، الفصل الدراسي الثاني. عمّان: إدارة المناهج والكتب المدرسية/ وزارة التربية والتعليم، 2018. 

الأجنب​ية

Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012.

Anton, Howard. Elementary linear algebra. 11^th ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2013.

Lang, Serge. Geometry. 2^nd ed. New York: Springer, 1988.

Stone, Richard. “Pythagorean theorem and distance formula.” Academia. at: https://acr.ps/hBxSohz