التفاضل

التفاضل هو أحد أهم فروع الرياضيات، ويُعرف بأنه عملية إيجاد المشتقة أو معدل التغير لدالة معينة. وعلى الرغم من الطبيعة المجردة للنظرية التي يقوم عليها، فإنه يمكن إجراء عملية التفاضل باستخدام ثلاث مشتقات أساسية: مشتقة كثيرات الحدود {{مشتقة كثيرات الحدود: تعبير جبري يتكون من مجموع حدود، كل حد منها يحتوي على ثابت مضروب في متغير مرفوع لقوة صحيحة غير سالبة.}}، ومشتقة الدوال الأسية {{مشتقة الدوال الأسية: دوال على شكل \(f\left(x\right)=a^{x}\) ، بحيث \(a>0, a\neq 0\) ، وتتميز بنمو أو تناقص سريع.}}، ومشتقة الدوال المثلثية {{مشتقة الدوال المثلثية: دوال تعتمد على نسب أضلاع المثلث القائم، مثل الجيب وجيب التمام والظل، ولها تطبيقات في الزوايا والدوران والموجات.}}. علاوة على ذلك، تُستخدم أربع قواعد أساسية في عملية إيجاد المشتقة، وهي: قاعدة مشتقة مجموع دالتين، وقاعدة مشتقة ضرب دالتين، وقاعدة مشتقة قسمة دالتين، وقاعدة مشتقة السلسلة لدالتين. يلزم أيضًا إتقان العمليات الجبرية على الدوال[1].

يرتبط مفهوم التفاضل بمفهوم التكامل بمسمى "حساب التفاضل والتكامل" (Calculus)، ويعد من أبرز فروع الرياضيات وأهمها؛ وذلك لتطبيقاته الكثيرة، علاوة على مكانته المركزية في قلب الرياضيات التقليدية، إذ يعد إدراكُ مفاهيمه الأساسية شرطًا ضروريًا لدراسة التحليل الرياضي. كذلك عمل وجود التفاضل بشكله المعاصر أيضًا على تطوير الرياضيات وتطبيقاتها في كثير من الفروع العلمية، بما في ذلك الفيزياء، وعلم الفلك، والهندسة، والاقتصاد.

ومن الأمثلة البسيطة لفهم التفاضل: إذا كانت سيارة تسير بسرعة ثابتة طوال الوقت، فإن المسافة التي تقطعها تزيد بمعدل ثابت، ولكن في الحياة الواقعية، لا يُسار دائمًا بالسرعة نفسها، فثمة تسارع وتباطؤ بناءً على الظروف، كالتوقف عند إشارة المرور أو زيادة السرعة على الطريق السريع. وهنا يأتي دور التفاضل: فهو يساعد في حساب سرعة السيارة في أي لحظة معينة لا السرعة المتوسطة {{السرعة المتوسطة: معدل التغير في المسافة المقطوعة بالنسبة للزمن الكلي، وتحسب بقسمة الإزاحة على الزمن.}} فحسب[2].

مفهوم التفاضل ونشأته

في الرياضيات التقليدية، كانت التحديات التي يواجهها الإنسان الدافع الأساسي للتفكير والبحث، وذلك قبل أن تبلغ الرياضيات مرتبة متقدمة من التجريد كما هو واضح في الرياضيات الحديثة. ومن تلك التحديات البارزة التي واجهها العلماء استفساران بارزان قاداهما إلى دراسة مفهوم التفاضل: الأول مرتبط بدراسة الهندسة، والآخر معروف على نطاق واسع في مجال الفيزياء. كان الاستفسار الأول يدور حول تحديد ميل المماس {{المماس: (Tangent) هو خط مستقيم يلامس منحنى عند نقطة واحدة فقط من دون أن يقطعه، ويُستخدم لفهم الاتجاه اللحظي للمنحنى عند تلك النقطة.}} عند نقطة معينة على منحنى، والثاني هو تحديد السرعة اللحظية {{السرعة اللحظية: سرعة الجسم عند لحظة معينة، وهي المشتقة اللحظية لموضعه بالنسبة للزمن.}} لجسم ما في لحظة من الزمن. وفي سياق الإجابة عن هذين الاستفسارين المحوريين، اكتشف العلماء مفهومًا أساسيًا أطلقوا عليه بشكل أنيق "التفاضل"؛ الذي استُخدم في إيجاده مفهوم النهاية.

لقد كانت مشكلة إيجاد مماسات المنحنيات مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمشكلة مهمة نشأت عن أبحاث العالم الإيطالي غاليليو غاليلي (Galileo Galilei، 1564-1642) للحركة، وهي إيجاد السرعة في أي لحظة لجسيم يتحرك وفقًا لقانون ما. أثبت جاليليو أنه خلال \(t\) ثانية يسقط الجسم سقوطًا حرًا مسافة \(g\frac{t^{2}}{2}\) ، بحيث \(g\) ثابت (الذي فسره نيوتن لاحقًا على أنه ثابت الجاذبية)[3].

وبشكل مستقل، وضع نيوتن ولايبنتز قواعد بسيطة لإيجاد صيغة ميل المماس لمنحنى عند أي نقطة عليه، وذلك فقط من خلال إعطاء صيغة للمنحنى. يُعرف معدل تغير الدالة \(f\) المشار إليها بـ \(f'\) باسم مشتقتها. يُطلق على إيجاد صيغة دالة المشتقة اسم التفاضل، وتشكل قواعد تأدية ذلك أساس حساب التفاضل. اعتمادًا على السياق، يمكن تفسير المشتقات على أنها ميل لخطوط المماس، أو سرعات الجسيمات المتحركة، أو كميات أخرى، وهنا تكمن القوة العظيمة لحساب التفاضل.

تعود جذور مفهوم علم التفاضل إلى العصور القديمة، إذ اهتم الفلاسفة والرياضيون بمحاولة فهم الحركة والتغيير. ومع ذلك، لم يتبلور هذا المفهوم بشكل دقيق حتى القرن السابع عشر، عندما قدّم إسحاق نيوتن (Isaac Newton، 1642-1727)، وغوتفريد ڤيلهلم لايبنتز (Gottfried Wilhelm Leibniz، 1646-1716)، إسهاماتهما الكبرى في تطوير علم التفاضل والتكامل، إذ أسس كل منهما طرقًا لإيجاد معدل تغير الدالة المعروف باسم مشتقها، الذي يشكل أساس حساب التفاضل والتكامل. كان عمل نيوتن في حساب التفاضل والتكامل جزءًا من بحثه الأوسع في الفيزياء والرياضيات، في حين قدم لايبنتز تدوينًا منهجيًا للتفاضل لا يزال يستخدم حتى يومنا هذا.

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​​​أما تاريخ نشأة علم التفاضل والتكامل، فثمة تباين في الآراء، فعلى سبيل المثال يقول عالم الرياضيات الأميركي ريتشارد كورانت (1888-1972) وهربرت روبنز (1915-2001) إن ثمة فكرة شائعة مفادها أن اختراع التفاضل والتكامل يُعزى إلى كل من عالم الرياضيات الفيزيائي البريطاني إسحاق نيوتن وعالم الرياضيات الفيلسوف الألماني وغوتفريد لايبنتز. ويورد كورانت أن: "التفاضل والتكامل عبارة عن منتج رياضي خضع لعملية تطوير كبيرة بدأت قبل نيوتن ولايبنتز، وحتى إنه لم ينته عندهما في القرن السابع عشر؛ فلا يزال أفق تطوره مفتوحًا ومستمرًا إلى يومنا هذا. غير أن هذين الرياضيين قد أدّيا دورًا حاسمًا في تطوره، ولا سيما في صياغته الرياضية"[4].

يؤكد على ذلك أن عالم الرياضيات والفلك شرف الدين الطوسي (597هـ/ 1201 – 672هـ/ 1273م) قد عرف مفهوم "المشتق" (Derivative) في كتابة الهندسة الجبرية قبل عدة قرون، وهذه كانت أول مرة يستخدم فيها مفهوم المشتق في تاريخ الرياضيات. ولم يُستخدم هذا المفهوم مرة أخرى بهذه الطريقة وفي هذا السياق إلا عند عالم الرياضيات الفرنسي بيير دو فيرما (Pierre de Fermat، 1601–1665)، الذي كان من اهتماماته التفاضل والتكامل. وعلى الرغم من الخلاف التاريخي بشأن من اخترع حساب التفاضل والتكامل أولًا، فمن المعترف به الآن أن كلًا من نيوتن ولايبنتز قد أسهم بشكل مستقل في تطويره، إذ جلب كل منهما رؤى وطرقًا فريدة لهذا المجال[5].

يعرف التفاضل بأنه عملية إيجاد المشتقة أو معدل التغير لدالة ما، وعلى الرغم من الطبيعة المجردة للنظرية التي يقوم عليها فإنه يمكن إجراء عملية التفاضل من خلال الخصائص الجبرية البحتة للدوال (جمع، وطرح، وضرب، وقسمة) وذلك باستخدام ثلاث مشتقات أساسية (مشتقة كثيرات الحدود، ومشتقة الدوال المثلثية، ومشتقة الدوال الأسية)، وفي ما يأتي توضيح لذلك:

إذا رُمز لعملية التفاضل بالرمز \(D\) ، فإن المشتقات الأساسية الثلاث هي[6]:

1. للدوال الجبرية (كثيرات الحدود) \(D(x^{n}) = nx^{n-1}\) ، بحيث \(n\) هو أي عدد حقيقي.
2. للدوال المثلثية، \( D(\sin x)=\cos x\) ، \(D(\cos x) =-\sin x\) .
3. للدوال الأسية، \(D(e^{x}) = e^{x}\) .

أما بالنسبة إلى الدوال المبنية على مجموعات من هذه الفئات من الدوال كجمع دالتين أو ضربهما مثلًا، فتوفر نظرية التفاضل القواعد الأساسية الأربع التالية لإيجاد المشتقة لمجموع أو حاصل الضرب أو خارج قسمة أي دالتين مثل \(f(x)\) و \(g(x)\) اللذين تكون مشتقاتهما معروفة من خلال النقاط الثلاث السابق ذكرها، فإذا كان \(a\) و \(b\) عددين ثابتين، فإن[7]:

1. \(D\left(af + bg\right) = aDf + bDg\) (مشتقة الجمع).
2. \(D\left(fg\right) = fDg + gDf\) (مشتقة الضرب).
3. \(D\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{gDf - fDg}{g2}\) ، \(g\neq 0\) (مشتقة القسمة).

أما القاعدة الأساسية الرابعة التي تسمى قاعدة السلسلة، فتوفر طريقة لإيجاد مشقة دالة مركبة. إذا كانت \(f(x)\) و \(g(x)\) دالتين، يجري حساب الدالة المركبة \(f(g(x))\) لقيمة \(x\) عن طريق حساب \(g(x)\) أولًا ثم حساب الدالة \(f\) عند هذه القيمة لـ \(g(x)\) . على سبيل المثال، إذا كانت \(f\left(x\right)= \sin x ،g(x) = x^{2}\) فإن:

\[f\left(g\left(x\right)\right)= \sin x^{2},\]

في حين:

\[g\left(f\left(x\right)\right)= \left(\sin x\right)^{2}.\]

تنص قاعدة السلسلة على أن المشتقة للدالة المركبة تُعطى بوساطة حاصل ضرب كالآتي[8]:

\[D(f(g(x))) = Df(g(x)) ∙ Dg(x).\]

بمعنى آخر، يشير العامل الأول \(Df(g(x))\) إلى أن المشتق لـ \(Df(x)\) حيث يجري إيجاده أولاً كالمعتاد ثم يجري استبدال \(x\) ، أينما وجد بالدالة \(g(x)\) ، ففي مثال \(\sin x^{2}\) ، تعطي القاعدة النتيجة الآتية:

\[D\left(\sin x^{2}\right)= Dsin\left(x^{2}\right)∙ D\left(x^{2}\right)= \left(\cos x^{2}\right)∙ 2x .\]

في تدوين عالم الرياضيات غوتفريد لايبنتز يُستخدمُ الرمز \(\frac{d}{dx}\) للدلالة على المشتقة بدلاً من الرمز \(D\) ومن ثم فهي تسمح بتوضيح التفاضل في ما يتعلق بالمتغيرات المختلفة، ومن ثم يمكن كتابة قاعدة السلسلة على النحو الآتي[9]:

\[\frac{d}{dx}(f(g(x))) = \frac{df}{dg} ∙ \frac{dg}{dx}\]

يمكن القول إن المصطلح الأصلي للمشتقة في العصر الحديث كان التدفق، وقدمه إسحاق نيوتن في عام 1665، إذ أشار إلى الكمية المتغيرة (المتدفقة) بأنها متغير سلس، ووصف أي متغير تتغير قيمته بأنه متغير سلس، وأشار إلى معدل تغيرها اللحظي باسم التدفق.

ذكر نيوتن أن المشكلات الأساسية في حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر هي[10]:

1. إذا أعطيت متغيرًا سلسًا (الذي يمكن أن يسمى الآن دالة) فكيف يجري العثور على تدفقه (ما يسمى الآن المشتقة)؟
2. بالنظر إلى التدفق (كدالة)، فكيف يجري العثور على متغير سلس مقابل له (تكامل غير محدد)، أي بمعنى إيجاد معكوس المشتقة؟

فمثلًا إذا كانت \(y = x^{3}\) ، فإن تدفق الكمية \(y\) يساوي \(3x^{2}\) أضعاف تدفق \(x\) ، وبالترميز الحديث:

\[\frac{dy}{dt} = 3x^{2}\cdot\frac{dx}{dt}\]

كان أول من استخدم الرمز \(f'\) للدلالة على مشتقة الدالة \(f\) هو جوزيف لويس لاغرانج (Joseph-Louis Lagrange‏، 1736-1813)، أما نيوتن فقد استخدم الرمز \(\dot{S}\) للدلالة على السرعة بحيث \(S\) تمثل المسافة، أما لايبنتز فهو أول من قدم الرموز \(\Delta x,\Delta y\) كما قدم مفهوم متوسط التغير، ومن ثم قدم الرمز \(\frac{dy}{dx}\) للدلالة على مشتقة \(y\) بالنسبة إلى \(x\) . في نهاية المطاف فإن مصطلحات نيوتن ورموزه الخاصة بالتدفقات قد جرى استبدالها بالمشتقات والتفاضلات التي طورها لايبنتز[11].

تعريف المشتقة

لتعريف مفهوم المشتقة، نبدأ بالمشكلة الأساسية، وهي تحديد ميل المماس عند نقطة معينة لمنحنى الدالة. ليكن \(f\) دالة ولتكن \((x,f\left(x\right))\) نقطة على منحنى الدالة \(f\) ، نريد إيجاد ميل المماس عند النقطة في (الشكل 1).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

لإيجاد ميل المماس عند هذه النقطة، نختار عددًا صغيرًا \(h\) ونعين النقطة \((x+h,f\left(x+h\right))\) على منحنى الدالة لنحصل على القاطع المار بالنقطتين \((x,f\left(x\right))\) ، \((x+h,f\left(x+h\right))\) (الشكل 2).

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

​عندما تقترب (تؤول) \(h\) من الصفر فإن القاطع سوف يتغير موضعه إلى أن يصل إلى موضع نهائي، وهو موضع المماس. وبما أن ميل القاطع يعطى بالعلاقة:

\[\frac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h}\]

فإن ميل المماس سوف يكون:

\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h}\]

إذن، يمكن تعريف المشتقة كالآتي:

يقال بأن الدالة \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(x\) إذا وفقط إذا كانت النهاية التالية موجودة:[12]

\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h}\]

إذا كانت النهاية أعلاه موجودة، فإنها تسمى مشتقة الدالة \(f\) عند \(x\) ويرمز لها بالرمز \(f'(x)\) .

أي أن:

\[f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h}\]

ملاحظة: إذا كانت النهاية غير موجودة فعندئذٍ نقول إن الدالة \(f\) غير قابلة للاشتقاق عند \(x\) .[13]

التعريف السابق يسمى التعريف العام للمشتقة، ومنه تُستنتَج مشتقات الدوال المختلفة، وتستنتج أيضًا قواعد الاشتقاق. وتسمى الدالة الناتجة \(f'(x)\) مشتقة الدالة \(f\) ، أو المشتقة الأولى.[14]

مثال: أوجد مشتقة الدالة \(f\left(x\right)=x^{2}\) .

الحل: باستخدام تعريف المشتقة فإن:

\[f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h}\]

وبالتعويض ينتج أن:

\[f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left(x+h\right)^{2}-\left(x\right)^{2}}{h}.\]

وبفك الأقواس واختصار الحدود المتشابهة ينتج أن:

\[f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{2xh+h^{2}}{h}.\]

وبإخراج العامل المشترك {{العامل المشترك: عدد أو تعبير جبري يقسم كل الحدود أو الأعداد المعطاة من دون باقٍ.}} ثم الاختصار ينتج أن:

\[f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{h(2x+h)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left(2x+h\right)=2x.\]

يُلحظ في ما سبق استخدام الرمز \(f'\) للدلالة على مشتقة الدالة \(f\) ، ولكنْ ثمة رموز أخرى تستخدم بشكل واسع ولا سيما في مجال الهندسات، إذ إن الترميز المشهور هو ترميز لايبنتز \(\frac{dy}{dx}\) . ففي ترميز لايبنتز تكتب مشتقة الدالة \(y\) على الشكل \(\frac{dy}{dx}\) ، \(\frac{dy}{dt}\) ، \(\frac{dy}{ds}\) حسب الرمز المستخدم \(x,t,s,\ldots \) الذي يعبر عن عناصر مجال الدالة \(y\) .[15]

فمثلًا إذا كان \(y\left(x\right)=\sin (x)\) ، في ترميز لايبنتز​ تكتب المشتقة على الشكل \(\frac{dy(x)}{dx}\) . ولكن جرت العادة أن يُحذف \(x\) للتسهيل، وبذلك تكتب \(y=\sin (x)\) وتكتب المشتقة على النحو \(\frac{dy}{dx}\) .

حساب المشتقة عند عدد معين

لحساب المشتقة عند العدد \(x_{0}\) الواقع ضمن مجال {{المجال: هو مجموعة جميع القيم التي يُسمح باستخدامها مدخلاتٍ في دالة معينة، أي جميع القيم التي يمكن تعويضها في قاعدة الدالة بحيث يكون الناتج معرفًا (ممكن الحساب). بعبارة أخرى، المجال هو جميع عناصر \( x\) التي تجعل الدالة \(f(x)\) مُعرفة وفقًا لطبيعة العلاقة أو المعادلة التي تُمثل الدالة.}} الدالة \(f\) نستخدم الصيغة الآتية[16]:

\[f^{'}\left(x_{0}\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}\]

مثال: إذا كان \(f\left(x\right)=\sqrt{x}\) ، بحيث \(x\geq 0\) أوجد \(f^{'}\left(2\right)\) .

الحل: باستخدام الصيغة أعلاه، فإن:

\[f^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(2+h\right)-f(2)}{h}.\]

ومن ثَمّ:

\[f^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+h} -\sqrt{2}}{h}.\]

وبتطبيق عملية الضرب بالمرافق {{الضرب بالمرافق: أسلوب للتبسيط بإيجاد مرافق العدد أو الجذر وضرب البسط والمقام به للتخلص من الجذور في المقام.}} فإن:

\[f^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+h} -\sqrt{2}}{h}\times \frac{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\times \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h}{h}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\]

ملاحظة: لإيجاد المشتقة عند عدد معين يمكن إيجاد المشتقة بشكل عام ثم تعويض العدد في المشتقة[17].

مثال: إذا كان \(f\left(x\right)=\sin (x)\) ، فأوجد:

1. \(f'(x)\) .
2. \(f'(\pi )\) .

الحل:

1. من التعريف العام فإن:

\[f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin (\left(x+h\right))-\sin ((x))}{h}.\]

وباستخدام متطابقة جيب المجموع ينتج أن:

\[\begin{matrix} f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin (\left(x\right)\cos ((h)+\cos (x)\sin (h)))-\sin ((x))}{h} \\ =\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin (\left(x\right)(\\cos (h))-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos ((x))\sin ((h))}{h}. \end{matrix}\]

وباستخدام متطابقة جيب تمام ضعفي الزاوية ينتج أن:

\[\begin{matrix} f^{'}\left(x\right)=\sin ((x))\cdot\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left(-2\sin^{2}(\frac{h}{2})\right)}{2}+\cos (\left(x\right)\cdot)\lim_{h\rightarrow 0} \frac{sin⁡((h))}{h} \\ =-2\\sin ((x))\cdot\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left(\sin (\frac{h}{2})\right)}{2}\cdot\lim_{h\rightarrow 0} \left(\sin (\frac{h}{2})\right)+\cos ((x)\cdot)\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin ((h))}{h}. \end{matrix}\]

وباستخدام النظرية الأساسية في إيجاد نهايات الدوال المثلثية ينتج أن: \(f^{'}\left(x\right)=\cos (x)\) .

2. من خلال فرع 1 فإن: \(f^{'}\left(\pi \right)=\cos (\pi =-1)\) .

المشتقة من اليمين ومن اليسار

في حالة أن العدد \(x_{0}\) المراد إيجاد المشتقة عنده هو نقطة تشعب {{نقطة التشعب: نقطة على منحنى أو حل معادلة تتغير عندها طبيعة الحل أو يتفرع مسار النظام إلى أكثر من مسار ممكن.}}، فيجب أن تُدرس المشتقة من جهة اليمين ومن جهة الشمال، فإذا تساوى المقداران فإن المشتقة موجودة وتساوي أحدهما، أما إذا لم يتساوَ المقداران فإن المشتقة غير موجودة.

يرمز للمشتقة من جهة اليمين \(f_{+}^{'}\left(x_{0}\right)\) ، كذلك يرمز للمشتقة من جهة اليسار \(f_{-}^{'}(x_{0})\) . ويمكن التعبير عن ذلك باستخدام تعريف المشتقة كالآتي[18]:

\[f_{+}^{'}\left(x_{0}\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}\]

\[f_{-}^{'}\left(x_{0}\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}\]

مثال: إذا كان \(f\left(x\right)=\begin{cases} x^{2}-3x, & x\geq 2 \\ 3x-8, & x<2 \end{cases}\) ، فأوجد ما يأتي:

1. \(f'(0)\) .
2. \(f'(2)\) .

الحل:

1. من خلال الصيغة أعلاه فإن:

\[f^{'}\left(0\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(0+h\right)-f(0)}{h}.\]

بما أن 0 يقع ضمن الفترة \(x<2\) ، فإن:

\[f^{'}\left(0\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(3\left(0+h\right)-8)-(-8)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{3h}{h}=3.\]

2. من الواضح أن 2 نقطة تشعب، أي إن الدالة تغير قاعدتها حولها، ومن ثم يجب أن ندرس المشتقة من جهة اليمين ومن جهة اليسار.

إذن، المشتقة من جهة اليمين هي:

\[f_{+}^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(2+h\right)-f(2)}{h}.\]

وبالتعويض ينتج أن:

\[f_{+}^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{+}} \frac{(\left(2+h\right)^{2}-3(2+h))-(-2)}{h}.\]

وبفك الأقواس ثم اختصار الحدود المتشابهة ينتج أن:

\[f_{+}^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{+}} \frac{h^{2}+h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^{+}} \frac{h(h+1)}{h}=1.\]

أما المشتقة من جهة اليسار فهي:

\[f_{-}^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(2+h\right)-f(2)}{h}.\]

وبالتعويض في الدالة ينتج أن:

\[f_{-}^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{-}} \frac{(3\left(2+h\right)-8)-(-2)}{h}.\]

وبفك الأقواس ثم اختصار الحدود المتشابهة ينتج أن:

\[f_{-}^{'}\left(2\right)=\lim_{h\rightarrow 0^{-}} \frac{3h}{h}=3.\]

وبما أن المشتقة من اليمين لا تساوي المشتقة من اليسار فإن \(f'(2)\) غير موجودة.

الاتصال والاشتقاق

عند دراسة المشتقة لدالة ما عند نقطة معينة، لا بد من دراسة الاتصال (Continuity) عند تلك النقطة، إذ إنه عند نقاط الانفصال تكون المشتقة غير موجودة، بمعنى آخر إذا كانت الدالة \(f\) غير متصلة عند \(x\) فإن الدالة \(f\) غير قابلة للاشتقاق عند \(x\) [19].

يجب الإشارة إلى أنه ربما تكون الدالة متصلة عند عدد معين ولكن المشتقة غير موجودة عند ذلك العدد، إذ إن الاتصال وحده لا يضمن وجود المشتقة[20].

على الرغم من أنه ليس كل دالة متصلة قابلة للاشتقاق، فإن كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة متصلة. ويمكن كتابة ذلك على النحو الآتي:

نظرية: إذا كانت الدالة \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(x\) فإن الدالة \(f\) متصلة عند \(x\) [21] \(.\)

البرهان: ليكن \(h\neq 0\) بحيث إن \(x+h\) تقع ضمن مجال \(f\) ، فإن[22]:

\[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\cdot h\]

بما أن \(f\) قابل للاشتقاق عند \(x\) ، فان \(f^{'}\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\) ، وبأخذ النهاية للطرفين ينتج أن:

\[\lim_{h\rightarrow 0} f\left(x+h\right)-f\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow 0}=f^{'}\left(x\right)\cdot0=0\]

ومن ثم، ينتج أن \(\lim_{h\rightarrow 0} f\left(x+h\right)=f\left(x\right) \) ، وهذا يؤدي إلى أن \(f\) متصل عند \(x\) .

بعض قواعد الاشتقاق

من الصعب اللجوء دائمًا إلى تعريف المشتقة لإيجاد مشتقة دالة ما، لذلك برهن علماء الرياضيات كثيرًا من القواعد والاستنتاجات باستخدام تعريف المشتقة وذلك لتسهيل إيجاد المشتقات.

يمكن تلخيص مشتقات الدوال كثيرات الحدود كما في (الجدول 1)[23].

يمكن تعميم مشتقات الجدول السابق بقاعد مشتقة اقتران القوة لتشمل قيم \(n\) التي تكون اي عدد حقيقي، والتي تكون على الشكل الآتي:

إذا كان \(f\left(x\right)=x^{n}\) بحيث \(n\) هو أي عدد حقيقي، فإن مشتقة الدالة \(f\) تكون على الشكل:[24]

\[f^{'}\left(x\right)=n x^{n-1}\]

أما ما يخص الدوال الأسية واللوغاريتمية، ففي (الجدول 2) بيان مشتقاتها[25].

أما الدوال المثلث​ية فيمكن تلخيص مشتقاتها كما في (الجدول 3)[26].

أما لإيجاد مشتقة مجموع دالتين، أو حاصل ضربهما أو خارج قسمتهما، فنستخدم القواعد الآتية:

قاعدة 1 (مشتقة المجموع، ومشتقة الضرب بثابت): ليكن \(a\) عددًا حقيقيًا، وليكن كل من \(f,g\) قابلًا للاشتقاق عند \(x\) ، فإن كلًا من \(af\) و \(f+g\) قابل للاشتقاق عند \(x\) . وعلاوة على ذلك فإن:[27]

\[\left(af\right)^{'}\left(x\right)=af'(x)\]

\[\left(f+g\right)^{'}\left(x\right)=f^{'}\left(x\right)+g'(x)\]

مثال: إذا كان \(f\left(x\right)=2x^{3}+3\sin (x)\) ، أوجد \(f'(x)\) .

الحل: \(f^{'}\left(x\right)=2\cdot3x^{2}+3\cdot\cos (x)=6x^{2}+3\cos (x)\) .

قاعدة 2 (مشتقة الضرب): إذا كان كل من \(f,g\) قابلًا للاشتقاق عند \(x\) فإن حاصل ضربهما كذلك. علاوة على ذلك فإن:[28]

\[\left(f\cdot g\right)^{'}\left(x\right)=f\left(x\right)g^{'}\left(x\right)+f^{'}\left(x\right)g(x)\]

مثال: أوجد مشتقة الدالة \(f\left(x\right)=\left(x^{3}-4\right)\cos (x)\) .

الحل: يُلحظ أن الدالة \(f\) مكون من حاصل ضرب دالتين وهما \((x^{3}-4)\) و \( \\cos (x)\) ، وباستعمال قاعدة الضرب ينتج أن:

\(f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-4\right)\left(-\sin (x)\right)+\left(3x^{2}\right)\cos (x)\) .

من خلال قاعدة الضرب فإنه يمكن استنتاج القاعدة الآتية:

قاعدة 3 (مشتقة القسمة): إذا كان كل من \(f,g\) قابلًا للاشتقاق عند \(x\) بحيث \(g\left(x\right)\neq 0\) فإن خارج القسمة \(\frac{f}{g}\) كذلك. علاوة على ذلك فإن:[29]

\[\left(\frac{f}{g}\right)^{'}(x)=\frac{g\left(x\right)f^{'}\left(x\right)-f\left(x\right)g'(x)}{\left(g\left(x\right)\right)^{2}}\]

مثال: أوجد مشتقة الدالة \(f\left(x\right)=\frac{\sin (x)}{x^{2}+1}\) .

الحل: باستخدام قاعدة القسمة ينتج أن:

\(f^{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^{2}+1\right)\cdot(\\cos (x))-(\\sin (x))\cdot\left(2x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) .

المشتقات العليا

إذا كانت الدالة \(f\) قابلة للاشتقاق فإن ذلك يعني أنه يمكن الحصول على \(f'\) ، وأيضًا إذا كان \(f'\) قابلًا للاشتقاق فإنه يمكن الحصول على مشتقتة أيضًا وذلك ما يسمى بالمشتقة الثانية ويرمز لها بالرمز \(f''\) ، وما دامت ثمة قدرة على التفاضل، فيمكن الاستمرار بهذه الطريقة للحصول على \(f'''\) . إن ترميز الفتحة للدلالة على المشتقة الرابعة فما فوق غير مستخدم، ولكن يُستخدم الترميز \(f^{(4)}\) للدلالة على المشتقة الرابعة، وبشكل عام يُرمز للمشتقة النونية بالرمز \(f^{(n)}\) [30].

فعلى سبيل المثال إذا كان \(f\left(x\right)=x^{6}\) ، فإن:

\[f^{'}\left(x\right)=6x^{5}\]

\[f^{''}\left(x\right)=30x^{4}\]

\[f^{'''}\left(x\right)=120x^{3}\]

\[f^{(4)}\left(x\right)=360x^{2}\]

\[f^{(5)}\left(x\right)=720x.\]

المراجع

العربية

حمدان، فتحي خليل. أساسيات التفاضل والتكامل. ط 4. عمّان: دار وائل للنشر، 2008.

الأجنبية

Anton, H., I. Bivens & S. Davis. Calculus. 10^th ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, 2009.

Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. Introduction to Real Analysis. 3^rd ed. New Jersey: John Wiley & Sons, 2000.

Berggren, J. L. “Innovation and tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat.” Journal of the American Oriental Society. vol. 110, no. 2 (1990).

Bittinger, M. L., D. J. Ellenbogen & S. J. Surgent. Calculus and its Applications. 10^th ed. New Jersey: Pearson, 2011.

Cajori, Florian. A History of Mathematical Notation. Chicago, Ill: The Open Court Publishing Company, 1929.

“Calculus: Calculating velocities and slopes.” Encyclopaedia Britannica. at: https://acr.ps/1L9F2l0

Courant, Richard & Herbert Robbins. What is Mathematics?. 2^nd ed. New York: Oxford University Press, 1996.

Jinxi Li. “A Historical Analysis of the Independent Development of Calculus by Newton and Leibniz.” Theoretical and Natural Science. vol. 30 (2024). pp. 1-5.

Kumar, A. & S. Kumaresan. A Basic Course in Real Analysis. New York: CRC Press, 2014.

“Pierre de Fermat.” Encyclopædia Britannica. at: https://acr.ps/1L9F34f

Stewart, J. Calculus. 9^th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2015.

[1] J. Stewart, Calculus, 9th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2015), pp. 174-209.

[2] Ibid., pp. 78-83.

[3] “Calculus: Calculating velocities and slopes,” Encyclopaedia Britannica, accessed on 30/8/2025, at: https://acr.ps/1L9F2l0

[4] Richard Courant & Herbert Robbins, What is Mathematics?, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1996), pp. 398-462.

[5] “Pierre de Fermat,” Encyclopædia Britannica, accessed on 30/8/2025, at: https://acr.ps/1L9F34f; J. L. Berggren, “Innovation and tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat,” Journal of the American Oriental Society, vol. 110, no. 2 (1990).

[6] R. G. Bartle & D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3rd ed. (New Jersey: John Wiley & Sons, 2000), p. 161; Stewart, pp. 174-184, 191-199.

[7] Bartle & Sherbert, pp. 160-161.

[8] Ibid., p. 162.

[9] H. Anton, I. Bivens & S. Davis, Calculus, 10th ed. (Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, 2009). p. 129.

[10] Florian Cajori, A History of Mathematical Notation, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics (Chicago, Ill: The Open Court Publishing Company, 1929), pp. 196-240.

[11] Jinxi Li, “A Historical Analysis of the Independent Development of Calculus by Newton and Leibniz,” Theoretical and Natural Science, vol. 30 (2024), pp. 1-5.

[12] Bartle & Sherbert, p. 158.

[13] Ibid.

[14] Ibid.

[15] Anton, Bivens & Davis, p. 129.

[16] فتحي خليل حمدان، أساسيات التفاضل والتكامل، ط 4 (عمّان: دار وائل للنشر، 2008)، ص 126.

[17] M. L. Bittinger, D. J. Ellenbogen & S. J. Surgent, Calculus and its Applications, 10th ed. (New Jersey: Pearson, 2011), pp. 135-136.

[18] Anton, Bivens & Davis, p. 129.

[19] Bartle & Sherbert, p. 159.

[20] Anton, Bivens & Davis, p. 128.

[21] Bartle & Sherbert, p. 159.

[22] Ibid.

[23] حمدان، ص 131.

[24] المرجع نفسه.

[25] Stewart, pp. 174-184.

[26] حمدان، ص 134.

[27] A. Kumar & S. Kumaresan, A Basic Course in Real Analysis (New York: CRC Press, 2014), p. 114.

[28] Ibid.

[29] Bartle & Sherbert, p. 160.

[30] Anton, Bivens & Davis, pp. 138-139.