المحدّد

الموجز

المُحَدِّد (Determinant) قيمة عددية تُحسب من المصفوفات المربعة، وتُعد من المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي. تُستخدم لتحديد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس أم لا، إذ إن المصفوفة تكون قابلة للعكس فقط إذا كان محددها لا يساوي الصفر. 

تعتمد عملية حساب المحدد على ترتيب عناصر المصفوفة وتغير إشاراتها عند تبديل الصفوف أو الأعمدة، كما تؤدي المحددات دورًا مهمًا في حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر، وفي دراسة التحويلات الخطية التي تؤثر في المساحة أو الحجم في الفضاء الهندسي. كذلك تُستخدم في حساب القيم الذاتية للمصفوفات وفي التطبيقات الفيزيائية والهندسية المتعلقة بالاتجاهات والقوى. وبذلك تعدّ المحددات أداة تربط بين الجوانب الحسابية والهندسية للمصفوفات، ما يجعلها جزءًا أساسيًا من البنية الرياضية للجبر الخطي.

التعريف الرياضي

تعد المحددات من الركائز الأساسية في علم الجبر الخطي، إذ ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالمصفوفات المربعة، وتُعبر عن قيمة عددية تُستخلص منها لتعكس خصائصها البنيوية والرياضية. تكشف المحددات عن طبيعة المصفوفة وإمكانية إجراء العمليات المختلفة عليها، مثل حساب المصفوفة العكسية أو تحديد قابلية النظام الخطي للحل. وتتنوع الأساليب المستخدمة لتعريف مفهوم المحدد في الجبر الخطي، إلا أننا في هذا السياق سنعتمد طريقة التعريف بالاستقراء الرياضي من الدرجة الثانية، الأمر الذي يتطلب أولًا توضيح تعريف مفهوم المصفوفة الجزئية كما يلي[1]:

إذا كانت \(A\) مصفوفة مربعة من الدرجة \(n\) ، فإن الرمز \(A_{ij}\) يعبر عن المصفوفة الجزئية من المصفوفة \(A\) من الدرجة \(n-1\) ، بحيث إن \(1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n\) ، وهي المصفوفة الناتجة من حذف الصف \(i\) والعمود \(j\) من المصفوفة \(A\) . فمثلًا اإا كانت المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) ، فإن المصفوفة \(A_{23}=\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\) ، أي بحذف الصف الثاني والعمود الثالث.

أما الآن، فيعرف المحدد استقرائيًا كما يلي:

المحدد \( D:M_{n}\mathbb{⟶R} \) دالة مجالها جميع المصفوفات المربعة من الدرجة \(n\)، بحيث إن \(n\) عدد صحيح موجب، ومداها هو مجموعة الأعداد الحقيقية. وتعرف الدالة كما يلي[2]:

إذا كانت \(A=\left[a_{ij}\right]\) مصفوفة مربعة من الدرجة \(n\) ، فإن محدد المصفوفة \(A\) هو صورة المصفوفة في الدالة \(D\) ، أي \(D(A)\) ، ويرمز له أيضًا بالرمز \(\det (A)\) أو \(\left|A\right|\) . يكتب بكتابة المصفوفة نفسها بالأسلوب المعتاد، ولكن داخل أقواس مستقيمة رأسية، ويحسب كما يلي:

• إذا كان \(n=1\) ، فإن \(A=\left[a_{11}\right]\) و \(\det\left(A\right)=a_{11}\)
• إذا كان \(n=2\) فإن \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\) و \(\det\left(A\right)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
• إذا كان \(n>2\) فإن:

\[\det\left(A\right)=a_{11}\det\left(A_{11}\right)-a_{12}\det\left(A_{12}\right)+\ldots +\left(-1\right)^{n+1}a_{1n}\det\left(A_{1n}\right)=\sum_{k=1}^{n} \left(-1\right)^{k+1}a_{1k}\det\left(A_{1k}\right)\]

تسمى هذه الطريقة في حساب المحدد بطريقة التوسع بالعوامل المرافقة (Cofactor Expansion) أو توسع لابلاس (Laplace Expansion)، وهي أحد أشهر الطرق في حساب المحدد.

يتضح في صيغة حساب \(\det\left(A\right)\) السابقة أن عناصر المصفوفة \(A\) هي ثابتة دائمًا، ولكن محددات المصفوفات الجزئية هي التي تتغير مع إشارتها في كل حد، لذا يمكن القول بأن أي حد من هذه الحدود المتغيرة يمكن أن يكتب كما يلي:

\[C_{1j}=\left(-1\right)^{1+j}\det\left(A_{1j}\right)\]

وبالتالي تصبح صيغة حساب المحدد على الشكل:

\[\det\left(A\right)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\ldots +a_{1n}C_{1n}=\sum_{k=1}^{n} a_{1k}C_{1k}\]

فمثلًا، لحساب محدد المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) ، نطبق على الصيغة السابقة كما يلي:

\[\det\left(A\right)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}=2C_{11}+6C_{12}+C_{13}\]

بداية نحسب قيم \(C_{11}, C_{12},C_{13}\) :

\[C_{11}=\left(-1\right)^{1+1}\det\left(A_{11}\right)=\det\left(A_{11}\right)=\det \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=\left(0\right)\left(1\right)-\left(4\right)\left(3\right)=-12\]

\[C_{12}=\left(-1\right)^{1+2}\det\left(A_{12}\right)=-\det\left(A_{12}\right)=-\det \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}=-\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=-(\left(1\right)\left(1\right)-\left(4\right)\left(5\right))=19\]

\[C_{13}=\left(-1\right)^{1+3}\det\left(A_{13}\right)=\det\left(A_{13}\right)=\det \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}=\left(1\right)\left(3\right)-\left(0\right)\left(5\right)=3\]

ومن ثم يكون المحدد:

\[\det\left(A\right)=2C_{11}+6C_{12}+C_{13}=2\left(-12\right)+6\left(19\right)+\left(3\right)=93\]

وبالتركيز في هذا التعريف، يمكن ملاحظة أن المعاملات المأخوذة من المصفوفة \(A\) هي فقط معاملات الصف الأول، أما المعاملات المأخوذة من أعمدة المصفوفة فهي التي تتغير بتغير العمود في كل حد جديد. ولكن ليست هذه الطريقة الوحيدة لحساب المحدد، بل يمكن تطبيق الطريقة نفسها مع عكس الأدوار، وذلك بتثبيت عناصر العمود الأول وتغيير عناصر الصفوف بتغيير الصف في كل حد جديد في الصيغة. فتصبح الصيغة كما يلي[3]:

\[\det\left(A\right)=a_{11}\det\left(A_{11}\right)-a_{21}\det\left(A_{12}\right)+\ldots +\left(-1\right)^{n+1}a_{n1}\det\left(A_{n1}\right)=\sum_{k=1}^{n} \left(-1\right)^{k+1}a_{k1}\det\left(A_{k1}\right)\]

وبالمثل؛ فإنّ عناصر المصفوفة \(A\) ثابتة دائمًا، ولكنّ محددات المصفوفات الجزئية هي التي تتغير مع إشارتها في كل حد، لذا يمكن القول بأن أي حد من هذه الحدود المتغيرة يمكن أن يكتب على الشكل:

\[C_{i1}=\left(-1\right)^{1+i}\det\left(A_{i1}\right)\]

وبالتالي تصبح صيغة حساب المحدد كما يلي:

\[\det\left(A\right)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+\ldots +a_{n1}C_{n1}=\sum_{k=1}^{n} a_{k1}C_{k1}\]

لتعميم المفهوم بصورة أشمل، يمكن إتباع الأسلوب ذاته، سواء بتثبيت الصف الأول أو العمود الأول، أو حتى باختيار أي صف أو عمود آخر لتثبيته. غير أن هناك ملاحظة بالغة الأهمية يجب التنبه إليها، فعند تثبيت صف أو عمود ترتيبه فردي في المصفوفة تبقى صيغة حساب المحدد كما هي من حيث تناوب الإشارات. أما في حال تثبيت صف أو عمود زوجي، فإن ترتيب الإشارات يبدأ بإشارة سالبة، أي تنعكس الإشارات مقارنةً بالصيغة الأصلية، وهو ما يلاحظ حدوثه جليًا في المقدار \(\left(-1\right)^{i+j}\) في الصيغ السابقة، بحيث إن \(i\) رقم الصف و \(j\) رقم العمود، ما ينتج تناوبًا في الإشارات بين الصفوف والأعمدة بشكلٍ دقيق (الشكل 1)[4].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

وبتأمل المنطق السابق، نستنج أن أي مصفوفة مربعة ذات الحجم \(n\times n\) (او الدرجة \(n\) ) تمتلك \(2n\) من الطرق لحساب المحدد لها. فمثلًا المصفوفة المربعة ذات القياس \(2\times 2\) يمكن حساب المحدد لها بـ \(4\) طرق، والمصفوفة ذات القياس \(6\times 6\) يمكن حساب المحدد لها بـ \(2*6=12\) طرق.

للمصفوفات ذات الحجم \(3\times 3\)، توجد طريقة خاصة ومبسطة لحساب قيمة المحدد، تعتمد هذه الطريقة على كتابة عناصر المصفوفة الأصلية، ثم تكرار أول عمودين منها في نهايتها، بعد ذلك تُحسب مضروبات الأقطار المائلة من اليسار إلى اليمين، ثم تُطرح منها مضروبات الأقطار المائلة من اليمين إلى اليسار، والناتج يمثل قيمة المحدد لهذه المصفوفة (الشكل 2).[5]

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

فمثلًا في حساب محدد المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & 5 & 6 \\ 7 & -8 & 9 \end{bmatrix}\) (الشكل 3)

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

حيث يكون بعد طرح مضروبات الأقطار كما يلي:

\[\det\left(A\right)=\left(45+84+96\right)-\left(105-48-72\right)=240\]

الخصائص

يتميز المحدد بخصائص ينفرد بها عن غيره من المفاهيم في الجبر الخطي، وتسهل إجراء العمليات الحسابية عليه، ومن هذه الخصائص[6]:

• محدد المصفوفة المثلثية:

عندما تكون المصفوفة المراد حسابها مصفوفة مثلثية بأي نوع من أنواعها (عليا، سفلى، قطرية)، فإن محددها يحسب ببساطة بضرب معاملات القطر الرئيس فقط.

• التبديل بين الصفوف:

إذا تم تبديل صفين مع بعضهما البعض، أو حتى عمودين، تنعكس إشارة المحدد. فمثلًا:

\[\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 8 & 6 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 0 & 4 \\ 1 & 6 & 8 \end{vmatrix}\]

• الصفوف أو الأعمدة المتطابقة:

إذا كان هناك صفان أو عمودان متساويان أو حتى متناسبان، فإن قيمة المحدد للمصفوفة تساوي الصفر. كما هو موضح في المثال الآتي:

\[\begin{vmatrix} 6 & 1 & 3 \\ 0 & 21 & 11 \\ 6 & 1 & 3 \end{vmatrix}=0, \begin{vmatrix} 4 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 8 & 7 & 8 \end{vmatrix}=0\]

• صف أو عمود صفري:

إذا وجد صف أو عمود داخل المصفوفة جميع المدخلات فيهما هي الصفر، فإن محدد المصفوفة يساوي صفر.

\[\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=0, \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=0\]

• الضرب في ثابت:

إذا ضرب أحد الصفوف أو الأعمدة في \(k\) عدد حقيقي، فإن المحدد يضرب أيضًا في العدد \(k\) .

\[\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 9 & 6 \end{vmatrix}=3\implies \begin{vmatrix} 2\times 4 & 1\times 4 \\ 9 & 6 \end{vmatrix}=3\times 4=12\]

\[\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=-13\implies \begin{vmatrix} 1 & 3\times 6 \\ 5 & 2\times 6 \end{vmatrix}=-13\times 6=-78\]

• الجمع الخطي بين الصفوف:

إضافة مضاعف من صف إلى صف آخر لا يغير من قيمة المحدد، وكذلك الأمر في الأعمدة. فمثلًا:

\[\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 11 & 4 \end{vmatrix}\]

في هذا المحدد ضربت مدخلات الصف الثاني في \(2\) وجمع كل مدخل مع مدخل الصف الذي يقع في أسفله، ثم وضع الناتج في صف ومحدد جديدين مع تثبيت باقي الصفوف التي لم يطرأ عليها أي تغير. لذا فهما محددان متساويان. وفي المثال التالي أيضًا:

\[\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 17 \end{vmatrix}\]

ضرب العمود الأول في \(3\) وجمع مع العمود الثاني.

• محدد المصفوفة المنقولة:

محدد المصفوفة المنقولة \(A^{T}\)يساوي محدد المصفوفة الأصلية \(A\) ، أي أن:

\[\det\left(A^{T}\right)=\det\left(A\right)\]

وتُعرف المصفوفة المنقولة \(A^{T}\) بأنها المصفوفة الناتجة بعد عملية التدوير للمصفوفة الاصلية، بحيث يتم هذا بتبديل صفوف المصفوفة الأصلية \(A\) بأعمدتها.

• محدد حاصل الضرب:

محدد ضرب مصفوفتين مربعتين من الدرجة نفسها ببعضهما يساوي حاصل ضرب محدد كل مصفوفة على حدة.

\[\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det (B)\]

• محدد المصفوفة المفردة وغير المفردة:

المصفوفة المفردة هي التي تكون قيمة المحدد لها تساوي الصفر، بينما المصفوفة غير المفردة هي التي تكون قيمة المحدد لها لا تساوي الصفر. ويعود السبب في هذه التسميات إلى علاقة المحدد بتحديد ما إذا كان للمصفوفة معكوس أم لا.

• محدد معكوس المصفوفة:

إذا كانت المصفوفة \(A\) مصفوفة مربعة قابلة للعكس، فإن محدد معكوس هذه المصفوفة هو مقلوب محدد المصفوفة الأصلية.

\[\det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det\left(A\right)}\]

• محدد مصفوفة الوحدة:

محدد مصفوفة الوحدة من أي درجة \(n\) ، هو الواحد دائمًا، وذلك لأنها مصفوفة قطرية، وبالاعتماد على خاصية سابقة، يمكن حساب محددها بضرب مدخلات القطر الرئيسي، وبما أن جميع مدخلات القطر الرئيسي هي الواحد، إذا المحدد هو المحدد.

\[\det\left(I\right)=1\]

المحددات والمصفوفة العكسية

في سياق الحديث عن المحدد في الجبر الخطي، يجدر ذكر مفهوم معكوس المصفوفة، وهو من المفاهيم المهمة التي لا تنبت علاقة عن المحدد؛ إذ إن معكوس المصفوفة \(A\) هو مصفوفة خاصة يرمز لها بالرمز \(A^{-1}\) ، وتمثل العملية العكسية للمصفوفة الأصلية، بحيث إنه إذا ضُربت المصفوفة في معكوسها، فإن الناتج يكون مصفوفة الوحدة[7]:

\[AA^{-1}=A^{-1}A=I\]

يرتبط وجود معكوس المصفوفة بشرط أساسي يتمثل في أن تكون مربعة، وأن يكون محددها غير صفري، فإذا كانت قيمة المحدد تساوي الصفر، تُسمى المصفوفة مفردة، لأنها لا تمتلك معكوسًا، أما إذا كان المحدد لا يساوي الصفر، فتُعرف حينها بأنها غير مفردة لامتلاكها مصفوفة عكسية.

ومن الناحية الهندسية، يمثل معكوس المصفوفة تحويلًا خطيًا معاكسًا يعكس تأثير التحويل الخطي الأصلي، أي أنه يعيد النقاط أو المتجهات (المتجه) إلى مواضعها الأصلية قبل التحويل[8].

إلى جانب دور المحدد في تحديد إمكانية وجود معكوس للمصفوفة، فإنه يؤدي أيضًا دورًا أساسيًا في حساب القيمة الفعلية لهذا المعكوس. ففي طريقة المصفوفة المرافقة (AdjointMatrix)، يُعتمد على محدد المصفوفة الأصلية لإيجاد معكوسها، وتبدأ الخطوات بحساب معاملات العناصر وفق العلاقة[9]:

\[C_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}\det\left(A_{ij}\right)\]

لجميع قيم \(i,j\) الصحيحة، بحيث إن \(1\leq i,j\leq n\)

ثم تجمع هذه القيم في مصفوفة جديدة تسمى بمصفوفات المعاملات ورمزها \(C\) ، مع مراعاة ترتيبها حسب الصفوف والأعمدة.، بعد ذلك يحسب مدور المصفوفة الجديدة \(C^{T}\) والذي يرمز لها بالرمز \(adj(A)\).

وفي النهاية تعطى المصفوفة العكسية \(A^{-1}\) بالعلاقة[10]:

\[A^{-1}=\frac{1}{\det\left(A\right)}adj(A)\]

المحددات وقاعدة كرامر

اشتهر غابرييل كرامر (Gabriel Cramer، 1704–1752)، عالم الرياضيات السويسري، بوضع قاعدة كرامر التي تُستخدم في حل أنظمة المعادلات الخطية بالاعتماد على المحددات. وقد ساهم بشكل بارز في تطوير الجبر الخطي والهندسة الجبرية، وترك أثرًا مهمًا في أساليب التحليل الرياضي.

تعتمد قاعدة كرامر على استخدام المحددات لحل أنظمة المعادلات الخطية التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المجهولات، كما يشترط لتطبيقها أن يكون محدد مصفوفة المعاملات لا يساوي صفرًا، إذ إن انعدامه يعني أن النظام ليس له حل وحيد.

تنص قاعدة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية على أن نظام المعادلات الخطية المكتوب على شكل معادلة مصفوفية \(AX=b\) بحيث يكون محدد مصفوفة المعاملات \(A\) لا يساوي الصفر، وتكون حلوله كما يلي[11]:

\[x_{1}=\frac{\det\left(A_{1}\right)}{\det\left(A\right)}, x_{2}=\frac{\det\left(A_{2}\right)}{\det\left(A\right)}, \ldots , x_{n}=\frac{\det\left(A_{n}\right)}{\det\left(A\right)}\]

بحيث إن \(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\) هي المجاهيل المراد معرفة قيمها. أما \(A_{1}\) هي مصفوفة المعاملات لكن بعد تبديل العمود الأول فيها بالمصفوفة الرأسية \(b\) ، والأمر نفسه لـ \(A_{2}\) . أي إن \(A_{j}\) هي مصفوفة المعاملات لكن بعد وضع المصفوفة \(b\) عمودًا بدلًا من العمود \(j\) ، وتسمى مصفوفات كرامر الجزئية.

بشكل عام، في أنظمة المعادلات الخطية، قد يكون للنظام إما حل وحيد أو عدد لا نهائي من الحلول، أو قد لا يكون له حل أساسًا. وفي الأنظمة التي يكون حلها قابلًا لتطبيق قاعدة كرامر، يكفي التحقق من أن محدد مصفوفة المعاملات لا يساوي الصفر، حتى يكون للنظام حل وحيد. من هذا المنطلق، وبتوسيع منطق قاعدة كرامر قليلًا، يمكن استنتاج أن الأنظمة التي يكون فيها محدد مصفوفة المعاملات يساوي الصفر، وبعض محددات كرامر \(A_{j}\) التي تساوي أيضًا صفرًا لا حلول لها.

أما في حالة أن جميع محددات كرامر تساوي صفرًا أيضًا، وليس بعضها فقط، فهنا لا يمكن الحكم على طبيعة حلول النظام، ما يستوجب استخدام طريقة أخرى لإيجاد حل النظام الموجود.

وتطبيقًا لطريقة قاعدة كرامر، في المثال الآتي:

\[3x_{1}-5x_{2}=-2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=-4\]

يتضح جليًا أن محدد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\) لا يساوي الصفر، فيكون حل النظام كما يلي:

\[x_{1}=\frac{\det\left(A_{1}\right)}{\det\left(A\right)}, x_{2}=\frac{\det\left(A_{2}\right)}{\det\left(A\right)}\]

\[x_{1}=\frac{\begin{vmatrix} -2 & -5 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}}, x_{2}=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -6 & -4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}}\]

\[x_{1}=\frac{-4-20}{6-30}, x_{2}=\frac{-12-12}{6-30}\]

\[x_{1}=1, x_{2}=1 \]

وهو الحل الوحيد للنظام.

المعنى الهندسي للمحددات في الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد

يعدّ المحدد أداة هندسية أساسية يمكن من خلالها حساب المساحة في الفضاء ثنائي الأبعاد والحجم في الفضاء ثلاثي الأبعاد. فعندما يكون في المستوى متجهين يُمثلان ضلعين متجاورين لمتوازي أضلاع، يمكننا حساب مساحة هذا المتوازي من خلال المحدد للمصفوفة التي يشكل هذان المتجهان أعمدتها، بحيث تعبّر القيمة المطلقة للمحدد عن مقدار المساحة المحصورة بين المتجهين (الشكل 4)[12].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

فمثلًا مساحة متوازي الأضلاع \(ABCD\) المصنوع من المتجهين \(u=\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}, v=\begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}\) في فضاء ثنائي الأبعاد تحسب كما يلي:

\[\begin{vmatrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{vmatrix}=u_{1}v_{2}-v_{1}u_{2}\implies Area=\left|u_{1}v_{2}-v_{1}u_{2}\right|\]

وبصورة مماثلة، في الفضاء الثلاثي يمكن حساب حجم متوازي المستطيلات الناتج من ثلاثة متجهات باستخدام المحدد لمصفوفة أعمدتها هذه المتجهات، فتكون القيمة المطلقة للمحدد هي مقدار الحجم لهذا الشكل.[13]

فمثلًا المتجهات \(u=\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{bmatrix}, v=\begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{bmatrix}, w=\begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{bmatrix}\) التي تشكل متوازي مستطيلات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن حساب حجم هذا الشكل عن طريق المحدد كما يلي:

\[\begin{vmatrix} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{vmatrix}=u_{1}\left(v_{2}w_{3}-w_{2}v_{3}\right)-v_{1}\left(u_{2}w_{3}-w_{2}u_{3}\right)+w_{1}\left(u_{2}v_{3}-v_{2}u_{3}\right)\]

هذه العلاقة البسيطة بين المحدد والمساحة أو الحجم تمهّد لفكرة أعمق تتعلّق بدور المحدد في وصف التحويلات الخطية، فالمصفوفة لا تعبّر فقط عن متجهات هندسية، بل تمثل أيضًا تحويلًا خطيًا يغيّر مواقع النقاط في الفضاء. ومن هذا المنطلق، يحدد المحدد مدى تغيّر المساحة أو الحجم بعد هذا التحويل، فإذا كانت قيمته أكبر من الواحد، دلّ ذلك على تمدد، وإذا كانت بين الصفر والواحد، دلّت على انكماش، بحيث يمثل محدد المصفوفة المرتبطة بالتحويل الخطي حينئذ بعامل المساحة أو الحجم، إذ تساوي مساحة الشكل الجديد مضروب مساحة الشكل الأصلي بالقيمة المطلقة لمحدد المصفوفة المرتبطة بالتحويل الخطي، والأمر نفسه بالنسبة إلى الحجم في الفضاء ثلاثي الأبعاد. أما إذا كانت قيمة المحدد مساوية للصفر، فذلك يعني فقدان بعدٍ هندسي وانهيار الشكل على خط أو مستوى[14].

فمثلًا التحويل الخطي \(T\) المرتبط بالمصفوفة \(A\) يحول الشكل متوازي الأضلاع \(abcd\) إلى \(ABCD\) ، عندها تصبح مساحة الشكل الجديد \(ABCD\) هي حاصل الضرب بين مساحة الشكل الأصلي \(abcd\) و \(\left|\det\left(A\right)\right|\).

أما إشارة المحدد فتشير إلى ما إذا كان التحويل الخطي يحافظ على ترتيب المحاور واتجاهها أو يعكسها؛ ففي النظام الإحداثي الأصلي يكون الانتقال من المحور \(x\) إلى المحور \(y\) بعكس عقارب الساعة، وهو ما يسمى بالاتجاه الموجب، فإذا بقي هذا الترتيب بعد التحويل كان المحدد موجبًا، أما إذا انعكس ترتيب المحاور وأصبح الاتجاه مع عقارب الساعة، فإن المحدد يكون سالبًا. وهكذا يجمع المحدد بين القياس الكمي (المساحة أو الحجم) والوصفي الاتجاهي (حفظ الترتيب أو انعكاسه) في آنٍ، ما يمنحه معنى هندسيًا شاملًا في الفضائين ثنائي وثلاثي الأبعاد[15].

التطبيقات

للمحددات دور محوري في الجبر الخطي، إذ تُعد من المفاهيم الأساسية التي تربط بين الجانب النظري والتطبيقي في الرياضيات. فالمحدد هو قيمة عددية تُحسب من عناصر مصفوفة مربعة، وتُستخدم لتوصيف خصائص هذه المصفوفة، مثل إمكانية إيجاد معكوسها أو تحديد ما إذا كانت تحويلًا خطيًا قابلًا للعكس. إذا كان المحدد يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المصفوفة مفردة (غير قابلة للعكس)، وأن النظام الخطي المرتبط بها لا يمتلك حلاً وحيدًا، أما إذا كان المحدد غير صفري، فإن ذلك يشير إلى وجود حل وحيد للنظام، ما يجعل المحدد أداة أساسية في تحليل الأنظمة الخطية.

في الهندسة التحليلية، تبرز المحددات في حساب مساحات المثلثات وحجوم المجسمات باستخدام إحداثيات رؤوسها. فمثلًا، يمكن إيجاد مساحة المثلث في المستوى أو حجم متوازي المستطيلات في الفضاء بإيجاد قيم محددات مبنية على متجهات تمثل أضلاعه. كما تُستخدم المحددات لتحديد اتجاه الدوران (مع أو عكس عقارب الساعة) في المستوى، وهو مفهوم مهم في دراسة الاتجاهات والمتجهات.

أما في الفيزياء، فللمحددات تطبيقات واسعة، خصوصًا في مجالات الميكانيكا والكهرباء والمغناطيسية والديناميكا الحرارية، فتُستعمل في تحليل أنظمة المعادلات التفاضلية التي تصف حركة الأجسام، وفي تمثيل التحويلات الخطية بين الأنظمة الإحداثية مثل التحويلات الدورانية، كذلك تُستخدم المحددات في حساب العزوم وقوى العزم والحقول المتجهة من خلال عمليات الجداء الاتجاهي والجداء الثلاثي.

وفي الإحصاء والاقتصاد، تُسهم المحددات في دراسة الاستقرارية في النماذج الرياضية والأنظمة الديناميكية، كما تدخل في حساب مصفوفات التباين والتغاير التي تُستخدم لتقدير العلاقات بين المتغيرات في التحليل الإحصائي. ويعتمد عليها كذلك في طرق تحليل الانحدار الخطي المتعدد لتحديد تأثير كل متغير في النتيجة النهائية[16].

المراجع

العربية

سمحان، معروف عبد الرحمن وعلي بن عبد الله السحيباني وفوزي بن أحمد الذكير. الجبر الخطي وتطبيقاته.ط 2. الرياض: العكيبان، 1427هـ/ 2006م.

الأجنبية

Anton, Howard. Elementary Linear Algebra. 11^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2013.

________ Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009.

Meher, Ramakant. Linear Algebra with Its Applications. Aalborg, Denmark: River Publishers, 2025.

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4^th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006.

[1] معروف عبد الرحمن سمحان وعلي بن عبد الله السحيباني وفوزي بن أحمد الذكير، الجبر الخطي وتطبيقاته، ط 2 (الرياض: العكيبان، 1427هـ/ 2006م)، ص 48.

[2] المرجع نفسه.

[3] Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 11^th ed. )Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2013(, pp. 105–118.

[4] Ibid.

[5] Ibid., pp. 110–111.

[6] Ibid., pp. 105–131; Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4^th ed. )Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006).

[7] سمحان والسحيباني والذكير، مرجع سابق.

[8] المرجع نفسه.

[9] المرجع نفسه.

[10] المرجع نفسه.

[11] Anton, pp. 105–131.

[12] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009), Chapter 11.

[13] Ibid.

[14] Anton, op. cit.

[15] Ibid.

[16] Ramakant Meher, Linear Algebra with Its Applications (Aalborg: River Publishers, 2025); Strang, op. cit.