الموجز
قاعدة كرامر (Cramer’s rule) طريقةٌ كلاسيكيةٌ لحلِّ أنظمة المعادلات الخطية ذات عدد المجهولات المُساوي عددَ المعادلات، بشرط أن يكون محدّد المصفوفة المربّعة للنظام، التي تُمثِّل معاملات المجاهيل، غيرَ صفري.
تعتمد القاعدة على حساب المحدّدات، إذ يُستبدَل في كلّ مرة أحد أعمدة المصفوفة بعمود الثوابت للحصول على محدّد جديد. تُحسَب قيمة كل مجهول بقسمة هذا المحدّد الجديد على المحدّد الأصليّ للمصفوفة. تمتاز هذه الطريقة بالوضوح النظري والارتباط الوثيق بالمفاهيم الهندسية للمحدّدات، لكنها تُصبح غير عملية عند التعامل مع أنظمة كبيرة الحجم.
أنظمة المعادلات الخطية
يُعرَف نظام المعادلات الخطية بأنه مجموعةٌ من المعادلات التي تحتوي عددًا من المجاهيل التي تظهَر بصورة خطّية. وفي سياق الجبر الخطي، تُوضَع بعض الصياغات لأشكالِ المعادلات الخطّية مع مفاهيم أساسية ليسهُلَ التعامل معها. مثلًا، بافتراضِ وجود \(m\) من المعادلات الخطّية في \(n\) من المجاهيل، مثل \(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\)، وليكن \(a_{ij}\) عددًا يرمِز إلى معامل \(x_{j}\) في (المعادلة الأولى، والثانية، والثالثة، إلخ \(m \)(، ولتكن \(b_{1},b_{2},\ldots , b_{m}\) ثوابتَ أيضًا عددُها مساوٍ لعدد المعادلات، فعندئذٍ يمكن كتابة نظام المعادلات الخطّية وفق الصيغة الآتية[1]:
\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]
\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]
\[⋮ \]
\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]
ويُقال عن قِيَمٍ مُعيَّنة للمجاهيل السابقة إنها حَلٌّ لنظام المعادلات السابق إذا حقَّقت جميع معادلات النظام.
فمثلًا النظام الآتي:
\[x_{1}-x_{2}=2\]
\[x_{2}=1\]
يمكن القول إنَّ القيم الآتية للمجاهيل \(x_{1}=3 ، x_{2}=1\) هي حلٌّ للنظام، ذلك لأنها تُحقّق جميع معادلاته.
تختلف أنظمة المعادلات الخطية بعضها عن بعض في طبيعة حلولها، فمنها ما يمتلك حلًّا وحيدًا فقط، ومنها ما يمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول، ومنها ما لا يمتلك حلًّا من الأساس[2].
فمثلًا النظام الآتي:
\[2x_{1}+4x_{3}=6\]
\[x_{2}-3x_{3}=1\]
يمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول.
أما النظام الآتي فليس لديه حلّ:
\[3x_{1}-x_{2}=2\]
\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]
يمكن تمثيل نظام المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات، بحيث يصبح النظام على شكل معادلة مصفوفية \(AX=b\)، بحيث تكون \(A\) مصفوفة معاملات المجاهيل. أما \(X\) فهو المتجه الرأسي أو المصفوفة الرأسية التي تحتوي على المجاهيل، في حين \(b\) هو المتّجه الرأسي أو المصفوفة الرأسية التي تحتوي الثوابت الموجودة في الطرف الآخر لكل معادلة. ولتوضيح طريقة التمثيل هذه، يمكن ملاحظة النظام الآتي[3]:
\[3x_{1}-x_{2}=2\]
\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]
\[x_{1}+x_{2}=0\]
يمكن تمثيل هذا النظام على شكل معادلة مصفوفية \(AX=b\) كما يأتي:
\[\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]
بحيث إن:
\[A=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]
يُلحَظ أن عدد صفوف المصفوفة \(A\) يُساوي عدد معادلات النظام، وعدد أعمدتها يُساوي عدد مجاهيله.
تعميمًا على طريقة كتابة أنظمة المعادلات هذه، فإن أي نظام على الشكل:
\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]
\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]
\[⋮ \]
\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]
يمكن أن يُمثَّل بمعادلة مصفوفية \(AX=b\) كما يأتي:
\[A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{bmatrix}\]
حيث إن صفوف المصفوفة \(A\) تُساوي عدد المعادلات، وعدد الأعمدة فيها يُساوي عدد المجاهيل.
علاوة على أسلوبَي الحذف والتعويض التقليديَّيْن، فإن الجبر الخطي يتعامل مع عدة طرق أساسية لحلِّ أنظمة المعادلات الخطية التي يُرمَز لها اختصارًا بالتعبير المصفوفي \(AX=b\). تُعَدّ قاعدة كرامر من أهمّ هذه الطرق التي تُقدِّم حلولًا سريعة في الأنظمة التي يكون فيها عدد المعادلات مُساويًا لعدد المجاهيل.
طريقة القاعدة لحلّ أنظمة المعادلات الخطية
اشتُهر غابرييل كرامر (Gabriel Cramer، 1704-1752)، عالِم الرياضيات السويسري، بقاعدة كرامر لحلّ أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المحدّدات. وقد أسهم في تطوير الجبر الخطي والهندسة الجبرية، وترك أثرًا بارزًا في طُرُق التحليل الرياضي. تعتمد قاعدة كرامر على المحدّد في حلّ أنظمة المعادلات الخطية، أي إنها كذلك طريقةٌ تُستخدَم في الأنظمة التي يكون عدد المعادلات فيها مُساويًا لعدد المجاهيل، ويكون شكل حلول النظام \(AX=b\) الذي فيه عدد المعادلات مُساويًا لعدد المجاهيل كما يأتي[4]:
\[x_{1}=\frac{\det\left(A_{1}\right)}{\det\left(A\right)}, x_{2}=\frac{\det\left(A_{2}\right)}{\det\left(A\right)}, \ldots , x_{n}=\frac{\det\left(A_{n}\right)}{\det\left(A\right)},\]
بحيث إن \(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\) هي مجاهيل النظام المُراد معرفة قِيَمها. أما \(A_{1}\) فهي مصفوفة المعاملات، لكن بعد تبديل العمود الأول فيها بالمصفوفة الرأسية \(b\)، والأمر نفسه لـ \(A_{2}\)، أي إن \(A_{j}\) هي مصفوفة المعاملات لكن بعد وضع المصفوفة \(b\) عمودًا بدلًا من العمود \(j\)، وتُسمّى بمحدّدات كرامر الجزئية؛ أي إن قاعدة كرامر تضمن وجود حلٍّ وحيدٍ لنظام المعادلات الخطية، بمجرّد التحقّق من أن محدّد مصفوفة معاملات النظام لا يساوي صفرًا.
بتوسيع منطق قاعدة كرامر قليلًا، يمكن القول إن الأنظمة التي يكون فيها محدّد مصفوفة المعاملات صفرًا، ويكون واحدٌ على الأقلّ من المحدّدات الجزئية غيرَ صفري، تُعَدّ أنظمةً غير متّسقة، ولا تمتلك حلولًا. أمّا إذا كان محدّد المصفوفة وجميع المحدّدات الجزئية يساوي صفرًا، فإن ذلك لا يعني بالضرورة وجود عدد لا نهائي من الحلول، إذ قد يكون النظام مُتّسِقًا فيمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول، أو غير متّسق فلا يمتلك أيّ حَلّ. وهذه الحالة من أدقّ النقاط المرتبطة بقاعدة كرامر وحدود تطبيقها.[5]
أمثلة
كما ذُكر سابقًا، لاستعمال قاعدة كرامر يجب بدايةً التحقّق من أن عدد معادلات النظام يساوي عدد مجاهيله، ومن ثم يُحسَب محدّد مصفوفة المعاملات. إذا كان صفريًا، وبعض محدّدات كرامر تساوي الصفر أيضًا، فإن النظام لا يمتلك حَلًّا؛ أما إذا لم يكن صفرًا فعندئذٍ يمتلك النظام حلًّا وحيدًا؛ لكن إذا كان المحدّد صفرًا وجميع محدّدات كرامر تساوي الصفر أيضًا، فعندئذٍ يظل النظام في حيْرة عدم وجود حلٍّ له، أو وجود عدد لا نهائي من الحلول. في ما يأتي بعض الأمثلة لتوضيح آلية عمل هذه الطريقة:[6]
مثال (1): إيجاد حلّ نظام المعادلات الخطية الآتية:
\[3x_{1}-5x_{2}=-2\]
\[-6x_{1}+2x_{2}=-4\]
الحل:
يتّضح جليًّا أن محدّد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\) لا يساوي الصفر. إذًا، فالنظام له حلٌّ وحيد، يكون كما يأتي:
\[x_{1}=\frac{\det\left(A_{1}\right)}{\det\left(A\right)}, x_{2}=\frac{\det\left(A_{2}\right)}{\det\left(A\right)}\]
\[x_{1}=\frac{\begin{vmatrix} -2 & -5 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}}, x_{2}=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -6 & -4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}}\]
\[x_{1}=\frac{-4-20}{6-30}, x_{2}=\frac{-12-12}{6-30}\]
\[x_{1}=1, x_{2}=1 .\]
وهو الحلّ الوحيد للنظام.
مثال (2): إيجاد حلّ نظام المعادلات الخطية الآتية:
\[\frac{1}{2}x_{1}-2x_{2}=0\]
\[3x_{1}-x_{2}=0\]
الحلّ:
من الواضح أن النظام يمتلك حلًّا وحيدًا، ذلك لأن محدّد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}\) لا يساوي الصفر، ومن ثم فإن حلّ النظام كما يأتي:
\[x_{1}=\frac{\det\left(A_{1}\right)}{\det\left(A\right)}, x_{2}=\frac{\det\left(A_{2}\right)}{\det\left(A\right)}\]
\[x_{1}=\frac{\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}}, x_{2}=\frac{\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}}{2}\]
\[x_{1}=\frac{0}{-\frac{1}{2}-(-6)}, x_{2}=\frac{0}{-\frac{1}{2}-(-6)}\]
\[x_{1}=0, x_{2}=0 .\]
وهو حلّ النظام الوحيد.
مثال (3): إيجاد حلّ النظام الآتي:
\[x_{1}-4x_{2}=3\]
\[-2x_{1}+8x_{2}=-6\]
الحل:
يُلحَظ أنّ محدّد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا:
\[\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 8 \end{vmatrix}=8-8=0,\]
وكذلك بالنسبة لمحدّدات كرامر الجزئية:
\[\det\left(A_{1}\right)=\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -6 & 8 \end{vmatrix}=24-24=0\]
\[\det\left(A_{2}\right)=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix}=-6-(-6)=0\]
علاوة على أن محدّد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا، فإن جميع محدّدات \(A_{j}\) تُساوي الصفر أيضًا، لذا فإن النظام قد يمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول، أو لا يمتلك حلًّا أصلًا.
مثال (4): إيجاد حلّ النظام الآتي:
\[x+y+3z=2\]
\[2x+2y+6z=3\]
\[-x+2y-4z=0\]
الحل:
محدّد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا:
\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix}=2\left(0\right)=0\]
يُلحَظ أن المحدّد السابق عُرفت قيمته مباشرةً من دون حسابه بالطريقة التقليدية، وذلك باستعمال خواصّ المحدّدات. ويُلحَظ كذلك أن بعض محدّدات كرامر الجزئية لا تساوي الصفر:
\[\det\left(A_{1}\right)=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & -4 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -4 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=-10\]
بما أن محدّد مصفوفة المعاملات يساوي الصفر، وأحد محدّدات كرامر الجزئية لا يساوي الصفر، فالنظام إذن لا يمتلك حلًّا.
[1] عبد الرحمن محمد معروف وأحمد بيزوف، الجبر الخطي وتطبيقاته، ط 2 (القاهرة: مكتبة النهضة المصرية، 2006)، الفصل الثالث.
[2] المرجع نفسه.
[3] المرجع نفسه.
[4] Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 11th ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2013), Chapters 2, 4; Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th ed. (Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006), pp. 207-208.
[5] “Solve Systems of Equations Using Determinants,” Pressbooks, accessed on 5/4/2026, at: https://acr.ps/hBy0Mja
[6] Ibid.
المراجع
العربية
معروف، عبد الرحمن محمد وأحمد بيزوف. الجبر الخطي وتطبيقاته. ط 2. القاهرة: مكتبة النهضة المصرية، 2006.
الأجنبية
Anton, Howard. Elementary Linear Algebra. 11th ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2013.
Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006.
“Solve Systems of Equations Using Determinants.” Pressbooks. at: https://acr.ps/hBy0Mja
