الموجز
دالة ظلّ التمام (Cotangent Function) من
الدوال المُثلّثية الأساسية التي تحتلّ مكانة بارزة في الرياضيات. تقوم فكرتها على التعبير عن العلاقة بين
الزوايا ونِسَب أطوال الأضلاع في المُثلّث قائم الزاوية، وتُستخدَم في توصيف الحركات الدورية والظواهر الموجية. تنبع أهميّتُها من خصائصها التحليلية المميزة، علاوة على دَوْرها في إيضاح العلاقات بين الدوال المثلّثية الأخرى. تجد هذه الدالة تطبيقات واسعة في مجالات الفيزياء والهندسة، الأمر الذي يجعل الإلمام بها وفَهْم خصائصها خطوةً أساسيةً للتعمّق في التحليل الرياضي وتوسيع آفاق استخداماته النظرية والعملية.
[الشكل 1] - ظل تمام الزاوية \(\theta \)
[الشكل 2] - دائرة الوحدة
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
التعريف الرياضي
تُعَدّ دالة ظلّ التمام واحدة من الدوالّ المُثلّثية المستخدمة بكثرةٍ في الرياضيات والعلوم التطبيقية، إذ ترتبط بشكل أساسيٍّ بالمُثلّث قائم الزاوية ودالّتَي الجيب وجيب التمام. يُرمَز لدالة ظل تمام الزاوية
\(x\) بالرمز
\(\cot (x)\)، أي أن دالة ظل التمام هي الدالة
\(f\mathbb{:R-{} k\pi : k\mathbb{∈Z} \mathbb{}⟶R} \)، ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \)، باستثناء القِيَم
\(x=k\pi \) حيث
\(k\) عدد صحيح، ومداها جميع الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \). وتُعرَف وفق القاعدة[1]:
\[f\left(x\right)=\cot x\]
يرتبط تعريف دالة ظل التمام ارتباطًا وثيقًا بدالة الظل، وبالعلاقات المثلّثية في المثلث قائم الزاوية، ففي هذا السياق يُعرَّف ظلّ التمام لزاويةٍ ما على أنه النسبة بين طول الضلع المجاور لتلك الزاوية وطول الضلع المقابل لها. بذلك، يظهر بوضوحٍ ارتباطها المباشر بمفهوم النِّسَب المُثلّثية الأساسية (الشكل 1)[2].
لكنَّ هذا التعريف يقتصر على الزوايا الحادّة. وللتوسّع إلى جميع القِيَم الممكنة للزوايا، تم الاعتماد على دالتَي الجيب وجيب التمام في تعريفهما إلى
دائرة الوحدة، وهي دائرةٌ في المستوى الإحداثي، مركزها نقطة الأصل، وطول نصف قطرها واحد وحدة طول. يساعد هذا التعريف في توسيع حساب ظلّ تمام جميع الزوايا الأخرى (الشكل 2)، حيث تُعَرَّف دالة ظل التمام بأنها النسبة بين
دالة جيب التمام والجيب.
علاوة على العلاقة المهمّة بين دالة ظل التمام ودالتَي الجيب وجيب التمام، تظهر علاقة أخرى مع
دالة الظل، إذ تُمثِّل دالةُ ظلِّ التمامِ المقلوبَ الجبريَّ لدالة الظل. ولا بدّ من عرض أشهر الزوايا وحساب قيمة ظلّ التمام لها (الجدول 1)[3].
[الجدول 1] - قِيَم ظل تمام بعض الزوايا المشهورة
|
ظل تمام الزاوية |
قياس الزاوية بالراديان |
قياس الزاوية بالدرجات |
| غير معرفة | 0
| °0
|
|
\[\sqrt{3}\] |
\[\frac{\pi}{6}\] |
\[30^\circ\] |
|
\[1\] |
\[\frac{\pi}{4}\] |
\[45^\circ\] |
|
\[\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{\pi}{3}\] |
\[60^\circ\] |
|
\[0\] |
\[\frac{\pi}{2}\] |
\[90^\circ\] |
|
\[-\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{2\pi}{3}\] |
\[120^\circ\] |
|
\[-1\] |
\[\frac{3\pi}{4}\] |
\[135^\circ\] |
|
\[-\sqrt{3}\] |
\[\frac{5\pi}{6}\] |
\[150^\circ\] |
| غير معرفة |
\[\pi \] | 180° |
|
\[\sqrt{3}\] |
\[\frac{7\pi}{6}\] |
\[210^\circ\] |
|
\[1\] |
\[\frac{5\pi}{4}\] |
\[225^\circ\] |
|
\[\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{4\pi}{3}\] |
\[240^\circ\] |
|
\[0\] |
\[\frac{3\pi}{2}\] |
\[270^\circ\] |
|
\[-\frac{1}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{5\pi}{3}\] |
\[300^\circ\] |
|
\[-1\] |
\[\frac{7\pi}{4}\] |
\[315^\circ\] |
|
\[-\sqrt{3}\] |
\[\frac{11\pi}{6}\] |
\[330^\circ\] |
| غير معرفة |
\[2\pi \] |
\[360^\circ\] |
الخصائص الأساسية
تمتاز دالة ظل التمام بخصائص تُميّزُها عن غيرها من الدوال، ما يجعلها دالةً ذات أهمية كبيرة في المجالات العلمية والهندسية، فمن خلالها يمكن التعرف إلى شكل الدالّة وسلوكها في المستوى البياني، ما يُعَدّ خطوة أساسية لفَهْم أعمق للدوال المُثلّثية عمومًا. من هذه الخصائص ما يأتي[4]:
-
العلاقة مع دالتي الجيب وجيب التمام:
من أبرز سمات دالة ظل التمام علاقتها الوثيقة بدالتَي الجيب وجيب التمام، حيث إن تعريفها قائمٌ في الأساس على هاتَيْن الدالتَيْن؛ فمن خلال هذا الارتباط تَستمدّ خصائصها وسلوكها الرياضي، ويُعَبَّر عنها بوصفها النسبة بين جيب التمام إلى الجيب على النحو الآتي:
\[f\left(x\right)=\cot\left(x\right)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\]
-
المجال والمدى:
تمتاز دالة ظل التمام بأن مجالها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \)، باستثناء القِيَم
\(k\pi \) حيث
\(k\) عدد صحيح، ومداها هو كل مجموعة الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \).
-
الدورية:
دالة ظل التمام دالة دورية، وفترتها الأساسية
\(\pi \)، أي أن:
\[\cot\left(x\right)=\cot\left(x+\pi \right)\]
-
التماثل:
تُصنَّف الدوال بالتماثُل إلى دوال زوجية وفردية، وتُعَدّ دالة ظل التمام دالة فردية، ذلك لأنها متماثلة حول نقطة الأصل، أي أنها تُحقّق العلاقة
\(f\left(-x\right)=-f(x)\) ، وذلك لجميع قِيَم
\(x\) في مجال الدالة، أي أن:
\[\cot\left(-x\right)=-\cot\left(x\right)\]
-
القيم القصوى للدالة:
على عكس معظم الدوال المُثلّثية الأخرى، فإن دالة ظل التمام لا تمتلك قِيَمًا عُظمى أو صُغرى، لأنها غير محدودة في أي فترة من فترات تعريفها.
-
الرتابة:
دالة ظل التمام
\(f\left(x\right)=\cot x\) هي
دالة رتيبة، ذلك لأنها متناقصة في كل فترة من شكل
\(\left(k\pi ,(k+1)\pi \right)\)،
\(k\mathbb{∈Z} \).
-
الأصفار:
تُساوي قيمةُ دالةِ ظلِّ التمامِ \(f\left(x\right)=\cot x\) الصفرَ عندما تكون قيمة \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi \)، حيث
\(k\) هو عدد صحيح. وهي جميع النقاط التي يقطع عندها منحنى الدالة المحور
\(x\).
-
الاتصال وقابلية الاشتقاق:
دالة ظل التمام
\(f\left(x\right)=\cot x\) متصلة وقابلة للاشتقاق على كل مجالها، وهو جميع الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \)، باستثناء القِيَم
\(k\pi \) حيث
\(k\) عدد صحيح.
-
المشتقة والتكامل:
دالة ظل التمام
\(f\left(x\right)=\cot x\) قابلة للاشتقاق على مجالها المتّصل، حيث تكون مشتقّتها كما يأتي:
\[\frac{d}{dx}\left(\cot x\right)=-\csc^{2}(x)\]
في حالة التكامل، فإن دالة ظل التمام قابلة للتكامل على كل مجالها عندما لا تحتوي حدودُ التكاملِ أيًّا من عناصر المجموعة المُستثناة
\({k\pi : k\mathbb{∈Z} }\)، فعندئذٍ يكون
التكامل مُعتَلًّا، وقد يكون تارّةً مُتباعِدًا وتارّةً أخرى مُتقارِبًا، وذلك بحسب الحالة. يكون تكامل دالة ظل التمام كما يأتي:
\[\int_{}^{} cotxdx=\ln \left|\sin x\right|+ C \]
التمثيل البياني
يُعَدّ التمثيل البياني لدالة ظل التمام من الأدوات المهمة لفَهْم طبيعة هذه الدالّة والتعرّف إلى سلوكها الدوري، فمن خلال ملاحظة منحناها البياني يمكن تتبّع التغيّر المستمرّ في قِيَمها، واستخلاص خصائص أساسية مثل الدورية، والتناظر، ومواقع التقاطع مع المحاور. يُظهِر الشكل المميّز لدالة ظل التمام كيفية ترابط قِيَم الزوايا مع نواتجها الجبرية، الأمر الذي يجعل الرسم البياني وسيلةً بصريةً فعّالة لدراسة الظواهر المُثلّثية وتطبيقاتها (الشكل 3)[5].
[الشكل 3] - التمثيل البياني لدالة ظل التمام \(f\left(x\right)=\cot x\)
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
المتطابقات
تؤدّي المتطابقات المثلّثية دَوْرًا محوريًا في تبسيط التعبيرات الرياضية وحَلِّ المعادلات المختلفة، فهي تُتيح إعادة صياغة الدوالّ المثلّثية بطرق متعدّدة تكشف عن خصائصها، وتُسهّل التعامل معها في مجالات الرياضيات والفيزياء والهندسة. من خلال هذه المتطابقات، يمكن استنتاج العلاقات بين ظل التمام والدوال المثلثية الأخرى مثل الجيب وجيب التمام، حيث تكون هذه المتطابقات صحيحة لكل قِيَم المجال، وحيثما تكون أطرافها معرّفة، ما يجعلها أدوات أساسية في
البرهان الرياضي والتطبيقات العملية (الجدول 2)[6].
[الجدول 2] - بعض متطابقات دالة ظل التمام المشهورة
|
اسم المتطابقة |
المتطابقة |
| متطابقة فيثاغورس المثلثية (المتطابقة الأم) |
\[1+\\cot^{2}\left(x\right)=\csc^{2}\left(x\right) \] |
| متطابقات متمّمة الزاوية |
\[\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x , \\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x\] |
| متطابقات جمع الزوايا وطرحها |
\[\cot\left(a+b\right)=\frac{\cot\left(a\right)\cot\left(b\right)-1}{\cot\left(a\right)+\cot (b)}\]
\[\cot\left(a-b\right)=\frac{\cot\left(a\right)\cot\left(b\right)+1}{\cot\left(a\right)-\cot (b)}\] |
| متطابقة ضعف الزاوية |
\[\cot\left(2x\right)=\frac{\cot^{2}\left(x\right)-1}{2\cot (x)}\] |
| متطابقة نصف الزاوية |
\[\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\left(x\right)}{1-\cos\left(x\right)}}\]
\[\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\cos (x)}{\sin (x)}\]
\[\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1-\cos (x)}\] |
التطبيقات
تُعَدّ دالة ظل التمام من الدوال المثلّثية الأساسية التي تكتسب أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم التطبيقية، بفضل ارتباطها المباشر بالزوايا والعلاقات المثلثية. ففي مجال الهندسة والتحليل الرياضي، تُستخدَم هذه الدالّة في دراسة المثلّثات وحَلّ مسائل تتعلّق بالمُماسّ والمَيل، وتسهم في فَهم العلاقات بين الخطوط المستقيمة والزوايا. أما في الفيزياء، فلها دورٌ بارزٌ في توصيف الظواهر المرتبطة بالحركة الدائرية والتوافقية، فضلًا عن أهميّتها في تحليل قوى الاتزان الميكانيكي والأنظمة ذات الطابع الدَّوْري. وفي الهندسة المدنية والإنشائية، تُستَخدم دالة ظل التمام في تطبيقات عملية، مثل حساب الارتفاعات والمسافات غير المباشرة بالاعتماد على القياس المثلثي[7].
يظهر حضورُ دالة ظل التمام أيضًا في الرياضيات التطبيقية، لا سيما في دراسة المعادلات التفاضلية والنماذج الرياضية التي تعتمد على الدوال الدورية. إلى جانب ذلك، فإن لها تطبيقات مهمّة في علم الفلك والملاحة، إذ تُستخدَم لتحديد الاتجاهات ورسم المسارات استنادًا إلى قياسات الزوايا. وبذلك، يتّضح أن دالة ظل التمام ليست مجرد مفهوم نظري، بل هي أداة رياضية محورية تصل بين الأُسس النظرية والتطبيقات العملية في مجالات متعدّدة[8].
المراجع
العربية
وليون مايا والعلاقات المثلثية. فأبو غليون، عمر محمد [وآخرون].
الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول. عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج- وزارة التربية والتعليم الأردنية، 2023.
حمدان، فتحي خليل.
أساسيات التفاضل والتكامل. ط 4. عمّان: دار وائل للنشر، 2008.
الأجنبية
Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009.
Thomas, George B., Maurice D. Weir & Joel R. Hass.
Thomas’ Calculus. 14th ed. Boston, MA: Pearson, 2018.
Stewart, James.
Calculus. 9th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2015.
[1] George B. Thomas, Maurice D. Weir & Joel R. Hass,
Thomas’ Calculus, 14th ed. (Boston, MA: Pearson, 2018), pp. 21-33.
[2] وليون مايا والعلاقات المثلثية. ف عمر محمد أبو غليون [وآخرون]،
الرياضيات: الصف الثاني عشر-
الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول (عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج- وزارة التربية والتعليم، 2023)، ص 180.
[3] Thomas, Weir & Hass.
[4] James Stewart,
Calculus, 9th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2015), chapters 2, 3, 5; Thomas, Weir & Hass, chapters 1, 2, 3, 5; فتحي خليل حمدان،
أساسيات التفاضل والتكامل، ط 4 (عمّان: دار وائل للنشر، 2008)، وحدة 1، 2، 3، 5.
[5] Thomas, Weir & Hass, pp. 21-33.
[6] أبو غليون [وآخرون].
[7] Thomas, Weir & Hass,
op. cit.; Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009).
[8] Ibid.
