الموجز
دالة قاطع التمام (Cosecant Function) من
الدوال المثلثية المهمّة في الرياضيات، تقوم فكرتها على الربط بين قياسات
الزوايا ونسب أطوال الأضلاع في المثلث قائم الزاوية، حيث يُمثِّل قاطعُ تمامِ زاويةٍ ما في المثلث قائم الزاوية النسبةَ بين طول وتر المثلث إلى طول الضلع المقابل للزاوية. يمكن تفسير هذه الدالّة هندسيًا من خلال
دائرة الوحدة، حيث تُعرَف بوصفها مقلوب الإحداثي الرأسي للنقطة المقابلة للزاوية على المحور الرأسي، وبصيغة أبسط، فإن دالة قاطع التمام هي مقلوب
دالة الجيب. تبرز أهمية هذه الدالة في خصائصها الرياضية التي تساعد في دراسة السلوك الدوري للدوال المثلثية وتحليله، إلى جانب دَوْرها في فهم الدوال المرتبطة بها مثل الجيب والظل. تظهر تطبيقات دالة قاطع التمام في مجالات متعدّدة كالهندسة، والفيزياء، وعلوم الحاسوب، خصوصًا في النماذج التي تعتمد على الحركة الموجية أو الاهتزازية. من هنا، فإن الإلمام بدالة قاطع التمام وخصائصها يُعَدّ أساسًا لفهم أعمق لبنية الدوال المثلثية وتطبيقاتها النظرية والعملية.
التعريف الرياضي
[الشكل 1] - قاطع تمام الزاوية \(\theta \)
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
تُعَدّ دالة قاطع التمام واحدة من الدوال المثلثية الأساسية التي تُستخدَم كثيرًا في مجالات الرياضيات والعلوم التطبيقية، فهي ترتبط بشكل مباشر بالزوايا ودالة الجيب، حيث يُرمَز لدالة قاطع التمام للزاوية
\(x\) بالرمز
\(\csc (x)\)، أي أن دالة قاطع التمام هي الدالة
\(f\mathbb{:R} -{k\pi :k\mathbb{∈Z}} ⟶(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )\)، ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء القيم
\(k\pi \) حيث
\(k\) عدد صحيح، ومداها هو اتّحاد فترتَيْن منفصلتَيْن
\((-\infty ,-1]\cup [1,\infty )\). وهذا يوضح أن دالة قاطع التمام لا تأخذ أي قيمة بين
\(-1\) و
\(1\)، وتتميّز بكونها دالة دورية مثل بقية الدوال المثلثية الأخرى، وتُعرَّف وفق القاعدة[1]:
\[f\left(x\right)=\csc (x)\]
وقد ارتبط تعريف دالة قاطع التمام ارتباطًا وثيقًا بنِسَب أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية، إذ يُعرَّف قاطع التمام لزاويةٍ في مثلثٍ قائم الزاوية على أنه النسبةُ بين طول وتر المثلث القائم إلى الضلع المقابل لتلك الزاوية (الشكل 1)[2].
[الشكل 2] - دائرة الوحدة
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
لكنَّ هذا التعريف يقتصر على الزوايا الحادة فقط، أما ما تبقّى من القيم الممكنة للزوايا، فقد جرى الاعتماد على دالة الجيب في تعريف دالة قاطع التمام على
دائرة الوحدة، وهي دائرة في المستوى الإحداثي مركزُها نقطةُ الأصل، وطولُ نصفِ قطرِها يساوي وحدةً واحدة. ومن خلال هذا التعريف، ظهر ارتباطٌ جوهريٌّ بين دالة قاطع التمام ودالة الجيب، حيث إن دالة قاطع التمام تساوي مقلوب دالة الجيب. يساعد هذا التعريف الموسّع في حساب قيمة قاطع التمام لأي زاويةٍ كانت (الشكل 2).
في الجدول الآتي بعض أشهر الزوايا وحساب قيمة قاطع التمام لها[3].
[الجدول 1] - قيم قاطع تمام بعض الزوايا المشهورة
|
قاطع تمام الزاوية |
قياس الزاوية بالراديان |
قياس الزاوية بالدرجات |
غير معرّفة
| 0
|
\[0^\circ\] |
|
\[2\] |
\[\frac{\pi}{6}\] |
\[30^\circ\] |
|
\[\sqrt{2}\] |
\[\frac{\pi}{4}\] |
\[45^\circ\] |
|
\[\frac{2}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{\pi}{3}\] |
\[60^\circ\] |
|
\[1\] |
\[\frac{\pi}{2}\] |
\[90^\circ\] |
|
\[\frac{2}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{2\pi}{3}\] |
\[120^\circ\] |
|
\[\sqrt{2}\] |
\[\frac{3\pi}{4}\] |
\[135^\circ\] |
|
\[2\] |
\[\frac{5\pi}{6}\] |
\[150^\circ\] |
| غير معرّفة |
\[\pi \] |
\[180^\circ\] |
|
\[-2\] |
\[\frac{7\pi}{6}\] |
\[210^\circ\] |
|
\[-\sqrt{2}\] |
\[\frac{5\pi}{4}\] |
\[225^\circ\] |
|
\[-\frac{2}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{4\pi}{3}\] |
\[240^\circ\] |
|
\[-1\] |
\[\frac{3\pi}{2}\] |
\[270^\circ\] |
|
\[-\frac{2}{\sqrt{3}}\] |
\[\frac{5\pi}{3}\] |
\[300^\circ\] |
|
\[-\sqrt{2}\] |
\[\frac{7\pi}{4}\] |
\[315^\circ\] |
|
\[-2\] |
\[\frac{11\pi}{6}\] |
\[330^\circ\] |
| غير معرّفة |
\[2\pi \] |
\[360^\circ\] |
الخصائص الأساسية
تتّسم دالة قاطع التمام بخصائص تجعلها مميّزةً عن غيرها من الدوال المثلثية، الأمر الذي يمنحها أهمية خاصة في كثير من التطبيقات الرياضية والهندسية، فمن خلال دراسة هذه الخصائص يمكن التعرف إلى شكل الدالة وتمثيلها البياني وسلوكها على
المستوى الإحداثي، وهو ما يُشكّل خطوة ضرورية لفهم أعمق للدوال المثلثية الأخرى وتكامُل العلاقات بينها. من هذه الخصائص ما يأتي[4]:
-
العلاقة مع دالة الجيب: من أبرز سمات دالة قاطع التمام علاقتها الوثيقة بدالة الجيب، فتعريفها قائمٌ في الأساس على هذه الدالة، فمن خلال هذا الارتباط تَستمدّ دالة قاطع التمام خصائصها وسلوكها الرياضي، ويُعَبَّر عنها بوصفها المقلوب الجبري لدالة الجيب على النحو الآتي:
\[f\left(x\right)=\csc\left(x\right)=\frac{1}{\sin (x)}\]
-
المجال والمدى: تمتاز دالة قاطع التمام بأن مجالها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية
\(\mathbb{R} \)، باستثناء القيم
\(k\pi \) حيث
\(k\) عدد صحيح، ومداها هو اتحاد الفترتَيْن
\((-\infty ,-1]\cup [1,\infty )\) .
-
الدورية: دالة قاطع التمام هي إحدى الدوال المثلثية التي تتميّز بشكل عامٍّ بخاصية الدورية، وهي تُكرِّر نفسها بعد دورة كاملة، أي أن:
\[\csc\left(x\right)=\csc\left(x+2\pi \right)\]
-
التماثل: تُصنَّف الدوال بالتماثل إلى دوال زوجية وفردية. وتُعَدّ دالة قاطع التمام دالة فردية، ذلك لأنها متماثلة حول نقطة الأصل، أي أنها تُحقّق العلاقة
\(f\left(-x\right)=-f(x)\) ، وذلك لجميع قيم
\(x\) في مجال الدالة، أي أن:
\[\csc\left(-x\right)=-\\csc\left(x\right)\]
-
القيم القصوى المحلية للدالة: تمتلك دالة قاطع التمام في تمثيلها البياني قممًا وقيعانًا تكون عندها للدالة
قيمٌ قصوى محلية، حيث إن
القيمة العظمى المحلية لدالة قاطع التمام
\(f\left(x\right)=\csc x\) هي السالب الواحد، وتكون عند قيمة
\(x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \) في مجال الدالة، حيث
\(k\) هو عدد صحيح. أما
القيمة الصغرى المحلية للدالة فهي الواحد، وتكون عند قيمة
\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \) في مجال الدالة، حيث
\(k\) هو عدد صحيح.
[الشكل 3] - القيم القصوى المحلية والتمثيل البياني لدالة قاطع التمام \(f\left(x\right)=\csc x\)
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
-
الأصفار: منحنى دالة قاطع التمام
\(f\left(x\right)=\csc x\) لا يقطع المحور
\(x\)، وهذا يعني أنه ليست للدالة أصفار.
-
الاتصال وقابلية الاشتقاق: دالة قاطع التمام
\(f\left(x\right)=\csc x\) متصلة وقابلة للاشتقاق على جميع الأعداد الحقيقية، باستثناء القيم التي لا تكون الدالة معرفة إليها.
-
المشتقة والتكامل: دالة قاطع التمام
\(f\left(x\right)=\csc x\) قابلة للاشتقاق على مجالها، حيث تكون مشتقّتها كما يأتي:
\[\frac{d}{dx}\left(csccx\right)=-cscxcotx\]
أما في حالة التكامل، فإن دالة قاطع التمام قابلة للتكامل على كل مجالها عندما لا تحتوي حدود التكامل إحدى القيم غير المعرفة إليها الدالة، فعندئذٍ يكون
التكامل مُعتلًّا، فقد يكون تارّةً مُتباعِدًا وتارة أخرى مُتقارِبًا، وذلك بحسب الحالة. يكون تكامل دالة قاطع التمام كما يأتي:
\[\int_{}^{} cscxdx=-\ln \left|\csc x+\cot x\right| + C\]
التمثيل البياني
يُعَدّ التمثيل البياني لدالة قاطع التمام من الوسائل الأساسية لفهم طبيعة هذه الدالة وسلوكها، فمن خلال الرسم البياني يمكن ملاحظة التغيّر المستمرّ في قِيَمها، والتعرّف إلى خصائصها المهمّة مثل الدورية والتناظر. إذ يظهر منحنى دالة قاطع التمام بشكل متكرّر كل
\(2\pi \)، مع فترات انفصال عند القيم التي يُساوي فيها الجيب صفرًا، ما يجعل التمثيل البياني أداةً بصريةً فعّالةً لفهم بعض الظواهر المثلثية والفيزيائية المرتبطة بالحركة الموجية والذبذبات[5].
المتطابقات
تؤدي المتطابقات المثلثية دورًا أساسيًا في تبسيط كثيرٍ من التعبيرات الرياضية وحلّ أنواع متعدّدة من المعادلات. وتُعَدّ المتطابقات المرتبطة بدالة قاطع التمام من أبرز هذه العلاقات وأكثرها توظيفًا في التطبيقات؛ فهي تساعد على إعادة كتابة الدوال المثلثية بصور مختلفة تكشف عن خصائصها وتُسهّل التعامل معها في الرياضيات والفيزياء والهندسة. كذلك تُبرِز هذه المتطابقات الارتباطَ الوثيق بين دالة قاطع التمام والدوال المثلثية الأخرى، إذ تصحّ المتطابقات لجميع قِيَم المجال المسموح به، ما يجعلها من الأدوات المهمة في عمليات
البرهان الرياضي والاستخدامات التطبيقية. ينبغي التنبيه أيضًا إلى أن هذه المتطابقات معرّفة فقط عندما يكون المقام غير صفري، إذ إن انعدامه يجعل المتطابقة غير معرِّفة إلى تلك القيم[6].
[الجدول 2] -
بعض متطابقات دالة قاطع التمام المشهورة
|
اسم المتطابقة |
المتطابقة |
|
متطابقة فيثاغورس المثلثية (المتطابقة الأم) |
\[1+\cot^{2}(x)(=\csc^{2}(x))\] |
|
متطابقات متمّمة الزاوية |
\[\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\csc x , \csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sec x\] |
|
متطابقات جمع الزوايا وطرحها |
\[\csc\left(a+b\right)=\frac{\csc\left(a\right)\csc (b)}{\cot\left(a\right)+\cot (b)}\]
\[\csc\left(a-b\right)=\frac{\csc\left(a\right)\csc (b)}{\cot\left(b\right)-\cot (a)} \] |
|
متطابقة ضعف الزاوية |
\[\csc\left(2x\right)=\frac{1}{2}secxcscx\] |
|
متطابقة نصف الزاوية |
\[\csc\left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{2}{1-\cos (x)}}\] |
|
متطابقة تحويل حاصل الضرب إلى جمع |
\[\csc\left(a\right)\csc\left(b\right)=\frac{2}{\left(\cos\left(a-b\right)-\cos (a+b)\right)}\] |
التطبيقات
تُعَدّ دالة قاطع التمام
\(f\left(x\right)=\csc x\) من الدوال المثلثية المشتقّة من دالة الجيب، وتظهَر أهميتها في السياقات التحليلية والجبرية أكثر من كونها دالة أساسية في النماذج التطبيقية المباشرة. في معظم التطبيقات الفيزيائية والهندسية، تُستخدم الدوال الأساسية مثل
\(\sin x\) و
\(\cos x\) و
\(\tan x\) لوصف الظواهر الدورية كالموجات والذبذبات والحركة التوافقية، إذ تُمثِّل هذه الدوال البنية الأولية للنماذج المثلثية[7].
ومع ذلك، تظهر دالة قاطع التمام في كثير من المعالجات الرياضية المرتبطة بهذه التطبيقات، خصوصًا عند إعادة صياغة العلاقات المثلثية، أو عند حلّ معادلات تتضمّن مقلوب الجيب، ففي التحليل الرياضي، تبرز
\(\csc x\) في حساب بعض التكامُلات غير المباشرة، وفي اشتقاق المتطابقات ودراسة السلوك القريب من نقاط الانقطاع. قد تظهر أيضًا في بعض مسائل الهندسة التحليلية، وعند التعامل مع نسب مثلثية معكوسة في النماذج الحسابية[8].
في سياق التحليل المتقدّم، يمكن أن تظهر دالة قاطع التمام في بعض صِيَغ المتسلسلات أو التحويلات الرياضية التي تعتمد على إعادة تمثيل الدوال المثلثية بصِيَغ مكافِئة، وإن كانت الدوال الأساسية مثل
\(\sin x\) و
\(\cos x\) تظلّ هي الركيزة المحورية في تلك التطبيقات. بذلك، يمكن القول إن أهمية دالة قاطع التمام تكمُن غالبًا في دَوْرها التكميلي والتحليلي ضمن الإطار الأوسع للدوال المثلثية، لا في كونها الدالة الأولى المُستخدَمة في النماذج التطبيقية المباشرة[9].
المراجع
العربية
أبو غليون، عمر محمد [وآخرون].
الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول. عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم، 2023.
حمدان، فتحي خليل.
أساسيات التفاضل والتكامل. ط 4. عمّان: دار وائل للنشر، 2008.
الأجنبية
Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009.
Thomas, George B., Maurice D. Weir & Joel R. Hass.
Thomas’ Calculus. 14th ed. Boston, MA: Pearson, 2018.
Stewart, James.
Calculus. 9th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2015.
[1] George B. Thomas, Maurice D. Weir & Joel R. Hass,
Thomas’ Calculus, 14th ed. (Boston, MA: Pearson, 2018), pp. 21-33.
[2] عمر محمد أبو غليون [وآخرون]،
الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي، الفصل الدراسي الأول (عمّان: المركز الوطني لتطوير المناهج، وزارة التربية والتعليم، 2023)، ص 180.
[3] Thomas, Weir & Hass,
op. cit.
[4] James Stewart,
Calculus, 9th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2015), chapters 2, 3, 5; Thomas, Weir & Hass, chapters 1, 2, 3, 5; فتحي خليل حمدان،
أساسيات التفاضل والتكامل، ط 4 (عمّان: دار وائل للنشر، 2008)، الوحدة 1، 2، 3، 5.
[5] Thomas, Weir & Hass, pp. 21-33;
[6] أبو غليون [وآخرون]، ص 181.
[7] Thomas, Weir & Hass,
op. cit.; Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009).
[8] Ibid.
[9] Ibid.
