العدد المؤلف

الموجز

العدد المؤلَّف (Composite Number) عددٌ صحيحٌ موجبٌ يمتلك أكثر من عاملَيْن، أي أنّ هناك على الأقل عددًا صحيحًا غير العدد 1 والعدد نفسه يُمكنه قسمة ذلك العدد من دون باقٍ. في الرياضيات، تُصنَّف الأعداد ضمن أنظمة مختلفة تهدف إلى دراسة خصائصها وتحليل بنيتها، وذلك بناءً على قواعد مُحدَّدة، ويُعَدّ العدد المؤلّف أحد هذه التصنيفات المهمّة. في المقابل، يوجد العدد الأولي (Prime Number)، وهو أيضًا عددٌ صحيح موجب، يتميّز بأنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد 1 فقط. بمعنًى آخر، لا توجد أعداد صحيحة بين العدد 1 والعدد الأوّلي يكون حاصل ضربها مُساويًا لذلك العدد.

أما العدد المؤلّف، فإنه يخالف هذه الخاصية، إذ يمكن كتابته على شكل حاصل ضرب عددَيْن صحيحَيْن أصغر منه، وليس بالضرورة أن يكون العددان مختلفَيْن. على سبيل المثال، العدد 9 هو عدد مؤلّف، إذ يمكن إيجاد عددَيْن بين 1 و9، بحيث يكون حاصل ضربهما مساويًا للعدد 9، وهما العددان 3 و3.

التعريف

يُعرَف العدد المؤلّف بأنه عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبر من واحد وليس أوليًا، أي أنه عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبر من 1، وله على الأقل قاسمٌ موجبٌ آخر غير 1 وغير نفسه. يُعَدّ هذا المفهوم أساسيًا في نظرية الأعداد التي تدرس خصائص الأعداد الصحيحة وعلاقاتها. يمكن التعبير عن الأعداد المؤلّفة كحاصل ضرب عوامل أولية، وذلك وفق مبدأ "المبرهنة الأساسية في الحسابيات"، التي تَنُصّ على أن كلَّ عددٍ صحيحٍ أكبر من واحد، سواء كان أوليًا أم مؤلّفًا، يمكن تمثيله حصرًا بوصفه حاصل ضرب أعداد أولية. ويمكن تعريف العدد المؤلّف باستخدام المبرهنة الأساسية كما يأتي[1]:

يُقال إن العدد \(n\) عددٌ مؤلّف إذا وُجد عددان صحيحان موجبان \(a\) و \(b\) يُحقّقان الشرط الآتي:

\[1\lt a\lt n,\;1\lt b\lt n,\;n=a\times b\]

يعني هذا أن العدد \(n\) يمكن كتابته على صورة حاصل ضرب عددَيْن صحيحَيْن موجبَيْن، كلاهما يقع بين العددَيْن \(1\) و \(n\).

وبصيغة رياضية أخرى، يُقال إن العدد الصحيح \(n\) عددٌ مؤلّفٌ إذا وُجِد عدد صحيح موجب \(m\) يُحقّق الشرط الآتي[2]:

\[1<m<n,\;m\mid n\]

يشير الرمز \(m|n\) إلى أن العدد \(m\) يقسم العدد \(n\) من دون باقٍ، أي أن العدد \(n\) يقبل القسمة على العدد \(m\). ويُعبِّر هذا التعريف الرياضي عن وجود عدد صحيح آخر يقع بين العددَيْن \(1\) و \(n\)، بحيث يكون قاسمًا للعدد \(n\) من دون أي باقٍ. غير أن العدد \(1\) لا يُعَدّ عددًا مؤلّفًا، ولا يُصنَّف أيضًا عددًا أوليًا، وذلك لعدم وجود عدد صحيح آخر، غير العدد 1 نفسه، يقسمه من دون باقٍ[3].

أمثلة:

1. العدد 6 هو عدد مؤلّف؛ وذلك لوجود عدد صحيح آخر، مثل العدد 3، بحيث يقع العدد 3 بين العددَيْن 1 و6، ويَقسم العددَ 6 من دون باقٍ. بذلك، يمتلك العدد 6 أكثر من عاملَيْن.
2. العدد 13 لا يُعَدّ عددًا مؤلّفًا؛ لعدم وجود أي عدد صحيح آخر يقع بين العددَيْن 1 و13 يمكنه قسمة العدد 13 من دون باقٍ؛ إذ يمتلك العدد 13 عاملَيْن فقط، هُما العددان 1 و13.
3. العدد 18 هو عدد مؤلّف؛ وذلك لوجود عدد صحيح آخر، مثل العدد 2، بحيث يقع العدد 2 بين العددَيْن 1 و18، ويقسم العددَ 18 من دون باقٍ. ولذلك يمتلك العدد 18 أكثر من عاملَيْن.

الخصائص

تتمتّع الأعداد المؤلّفة بمجموعة من الخصائص التي تُميّزها عن غيرها من الأعداد، وهي خصائص أساسية لفَهْم بنيتها ودَوْرها في الرياضيات. تُستخدَم الأعداد المؤلّفة على نطاق واسع في الحساب والتحليل الرياضي، وفيما يأتي بعض أبرز خصائصها:[4]

1. جميع الأعداد المؤلّفة هي أعداد صحيحة موجبة أكبر من الواحد، إذ إن تعريف العدد المؤلّف ينطبق فقط على الأعداد الصحيحة التي تتجاوز الواحد.
2. العدد 1 لا يُعَدّ عددًا مؤلّفًا ولا عددًا أوليًا، لأنه لا يمتلك سوى قاسم موجب واحد هو نفسه.
3. العدد 4 هو أصغر عدد مؤلّف، لأنه يُساوي حاصل ضرب عددَيْن أوّليَّيْن متماثلَيْن، أي 2×2=4.
4. كل عدد زوجي أكبر من 2 هو عدد مؤلّف، لأنه يقبل القسمة على العدد 2 قسمةً تامة، بينما الأعداد الفردية قد تكون أولية أو مؤلّفة، تبعًا لوجود قواسم موجبة أخرى غير 1 ونفسها.
5. يمتلك العدد المؤلّف ثلاثة قواسم موجبة على الأقل، أي أنه يمتلك قاسمًا موجبًا يقع بين 1 والعدد نفسه، وهو ما يُميّزه عن العدد الأولي الذي له قاسمان موجبان فقط.
6. وفقًا للمبرهنة الأساسية في الحسابيات، فإن كل عدد صحيح أكبر من الواحد، بما في ذلك الأعداد المؤلّفة، يمكن تمثيلُه تمثيلًا وحيدًا (حتى ترتيب العوامل) على صورة حاصل ضرب أعداد أولية. ويتميّز العدد المؤلّف بأن تحليله الأولي يحتوي على أكثر من عامل أوّلي، أو على عامل أوّلي مرفوع لقوة أكبر من واحد.
7. الأعداد المؤلّفة غير منتهية، إذ يمكن تكوين عدد مؤلّف جديد من خلال ضرب عددَيْن أوليَّيْن. ومع كون الأعداد الأولية غير منتهية، فإن الأعداد المؤلّفة كذلك غير منتهية.

الأهمية

تُعَدّ الأعداد المؤلّفة من المفاهيم الأساسية في نظرية الأعداد، إذ تسهم في فَهْم البنية التركيبية للأعداد الصحيحة وتحليلها إلى عواملها الأولية، وهو ما يُمثّل حجر الأساس في كثيرٍ من التطبيقات الرياضية والنظرية[5].

تُستخدَم الأعداد المؤلّفة في عملية التحليل إلى العوامل الأولية، وهي خطوة أساسية في حساب القاسم المشترك الأكبر {{Greatest Common Divisor - GCD}}، والمضاعف المشترك الأصغر {{Least Common Multiple - LCM}}، وتبسيط الكسور الجبرية، إضافة إلى حلّ كثيرٍ من المسائل العددية. وفي إطار الجبر التجريدي، يُدرَس مفهوم العدد المؤلّف ضمن بنية حلقة الأعداد الصحيحة، حيث يُقابل مفهوم "العنصر القابل للاختزال"، ما يسهم في فهم خصائص التحليل الفريد في الحلقات الإقليدية والحلقات ذات التحليل الوحيد.

في علوم الحاسوب والتشفير، تكتسب الأعداد المؤلّفة أهمية خاصة، إذ تعتمد بعض أنظمة التشفير بالمفتاح العامّ مثل نظام RSA، على استخدام أعداد مؤلّفة كبيرة ناتجة من ضرب عددَيْن أوليَّيْن كبيرَيْن. يستند أمن هذه الأنظمة إلى الصعوبة الحسابية لتحليل هذا العدد المؤلّف إلى عوامله الأولية. كذلك، تظهر الأعداد المؤلّفة في تصميم بعض الخوارزميات العددية، وفي دراسة تعقيد المسائل الحسابية المتعلّقة بتحليل الأعداد والعلاقات القابلة للقسمة.

عمومًا، تُمثّل الأعداد المؤلّفة عنصرًا محوريًا في فَهْم البنية العددية للأعداد الصحيحة، وتُسهم في بناء كثيرٍ من النظريات الرياضية والتطبيقات التقنية المعاصرة.

علاقة الأعداد المؤلَّفة بالأعداد الأولية

ترتبط الأعداد المؤلّفة ارتباطًا وثيقًا بالأعداد الأولية، إذ يُكمِل كُلٌّ منهما الآخر في تصنيف الأعداد الصحيحة؛ فكل عدد صحيح أكبر من 1 لا يخرج عن كونه إمّا عددًا مؤلّفًا وإما عددًا أوّليًا، وذلك وفقًا لوجود قاسم صحيح موجب غير 1، والعدد نفسه يقسمه من دون باقٍ. ويستند هذا التقسيم إلى المبرهَنة الأساسية في الحسابيات. فإذا وُجد عددٌ صحيحٌ آخر يقسم العددَ من دون باقٍ، فإن العدد يكون مؤلّفًا؛ أما إذا لم يوجد مثل هذا العدد فإن العدد يكون أوليًا. يُستثنى من القواسم المقبولة العددُ 1 والعددُ نفسُه، لأن وجودَهما طبيعيٌّ لجميع الأعداد. انطلاقًا من هذه العلاقة، شكّلت الأعداد الأولية مع الأعداد المؤلّفة بنيةً أساسيةً في علم الأعداد، حيث تؤدي الأعداد الأولية دَوْر اللبنات الأساسية لبناء الأعداد المؤلّفة، إذ يمكن تحليل أي عدد مؤلّف إلى حاصل ضرب مجموعة من الأعداد الأولية، وهي عملية تُعرَف باسم التحليل إلى العوامل الأولية[6].

على سبيل المثال، العدد 30 هو عدد مؤلّف، ويمكن تحليله إلى عوامل أولية كما يأتي:

\[30=2\times 3\times 5\]

وجميع هذه العوامل أعداد أولية.

تتّبع عمليةُ التحليلِ إلى العواملِ الأوليّةِ خطواتٍ بسيطةً، تبدأ بقسمة العدد على أصغر عدد أوّلي ممكن، ثم تكرار العملية على الناتج حتى الوصول إلى أعداد أولية فقط. ويكون ناتج ضرب هذه الأعداد مساويًا للعدد الأصلي.

مثال: تحليل العدد المؤلّف 60 يتم كما يأتي:

البدء بأصغر عدد أوّلي يقسم 60، وهو العدد 2:

\[60\div 2=30\]

ثم التكرار مع العدد 30، وأصغر عدد أوّلي يقسمه هو أيضًا العدد 2:

\[30\div 2=15\]

ثم الانتقال إلى العدد 15، وأصغر عدد أوّلي يقسمه هو العدد 3:

\[15\div 3=5\]

العدد 5 هو عدد أولي.

من ثَم، يمكن كتابة العدد 60 على صورة حاصل ضرب أعداد أولية كما يأتي:

\[60=2\times 2\times 3\times 5\]

أهمية التحليل إلى العوامل الأولية

تُعَدّ عملية تحليل الأعداد المؤلّفة إلى عواملها الأولية أداة قوية ومهمّة في كثيرٍ من المجالات داخل الرياضيات، مثل:[7]

1. تبسيط الكسور.
2. حساب القاسم المشترك الأكبر.
3. إيجاد المضاعف المشترك الأصغر.
4. التشفير الحديث، إذ تستند بعض الخوارزميات، مثل أنظمة التشفير بالمفتاح العامّ، إلى استخدام أعداد مؤلّفة كبيرة جدًّا، ناتجة من ضرب عددَيْن أوليَّيْن كبيرَيْن. ويستند أمن هذه الأنظمة إلى صعوبة تحليل هذا العدد المؤلّف إلى عوامله الأولية.

الأعداد المؤلَّفة في الحضارات

تعود الجذور الأولى لدراسة الأعداد إلى الحضارات القديمة، حين طوّرَ المصريّون والبابليّون أنظمةً عددية متقدّمة استُخدمت في الحسابات العملية المرتبطة بالتجارة والهندسة والفلك. وقد تضمَّنت هذه الأنظمة جداولَ للضرب والقسمة، وبعض المعالجات العددية التي مكّنت من التعامل مع العوامل والقواسم في سياقات تطبيقية. غير أن هذه الجهود لم تتبلور آنذاك في إطارٍ نظريٍّ مستقلٍّ لنظرية الأعداد، أو في صياغةٍ مجرَّدةٍ لمفهوم العدد المؤلّف كما يُفهَم في الرياضيات الحديثة[8].

أما التقنين النظري المنهجي لمفاهيم الأعداد فقد بدأ في اليونان القديمة، ولا سيما في أعمال إقليدس نحو عام 300ق.م؛ ففي كتابه العناصر، ولا سيما في الكتابَيْن السابع والتاسع، وضعَ الأُسسَ النظريةَ لدراسة الأعداد الصحيحة، وعرّفَ العدد الأوّلي والعدد المركّب (المؤلّف)، وبيّنَ نتائجَ جوهريةً تتعلّق بقابلية القسمة وخوارزمية إيجاد القاسم المشترك الأكبر. أثبت كذلك أنَّ كل عدد غير أوّلي يمكن تحليله إلى أعداد أولية، ووضعَ الأساسَ لِما يُعرَف اليوم بالمبرهنة الأساسية في الحسابيات. إلا أن الصياغة الحديثة الكاملة لهذه المبرهنة، التي تَنُصّ على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد يمكن تمثيله تمثيلًا وحيدًا -باستثناء ترتيب العوامل- كحاصل ضرب أعداد أولية، قد تبلورت لاحقًا ضمن الإطار الجبري في العصور اللاحقة[9].

في العصر الإسلامي الوسيط، بين القرنَيْن الثامن والثالث عشر الميلاديَّيْن، أسهم عُلماء الرياضيات في توسيع دراسة خصائص الأعداد، فبحثوا في الأعداد الزوجية والفردية، والأعداد الكاملة والناقصة، والأعداد المتحابّة، فضلًا عن تطوير تقنيات حسابية وجبرية دعمت فَهْم العلاقات العددية. وقد شكّلت هذه الإسهامات امتدادًا وتطويرًا للتراث اليوناني، وأسهمت في نقل المعرفة العددية إلى أوروبا[10].

ومع بدايات العصر الحديث، برزت نظرية الأعداد تدريجيًا بوصفها مجالًا مستقلًّا للبحث الرياضي، وإن لم تكن قد اتَّخذت بَعْدُ طابعًا مؤسَّسيًا واضحًا. وفي القرنَيْن السابع عشر والثامن عشر، تناول عُلماء مثل بيير دي فيرما {{Pierre de Fermat، 1607-1665}} وليونهارد أويلر {{Leonhard Euler، 1707-1783}}، مسائلَ عدديةً عميقةً أسهمت في ترسيخ هذا الفرع. أمّا التحوُّل الحاسم فقد تحقّق في القرن التاسع عشر، مع أعمال كارل فريدريش غاوس {{Carl Friedrich Gauss، 1777-1855}}، الذي يُعَدّ مؤسّس نظرية الأعداد الحديثة، من خلال كتابه بحوث حسابية (Disquisitiones Arithmeticae)، حيث قدّم معالجةً منهجيةً دقيقةً لبنية الأعداد الصحيحة والعلاقات بينها[11].

في الفترة نفسها، أدخلَ برنارد ريمان {{Bernhard Riemann، 1826-1866}} أدوات التحليل الرياضي إلى دراسة مسائل عددية، ولا سيما من خلال دالته الشهيرة التي ترتبط بدراسة توزيع الأعداد الأولية. وقد أدّى ذلك إلى نشوء نظرية الأعداد التحليلية التي تدمج بين التحليل الرياضي ونظرية الأعداد، وتتناول بنية الأعداد الطبيعية وسلوكها من خلال أدوات تحليلية متقدّمة. في هذا السياق، تُدرَس الأعداد المؤلّفة ضمن الإطار العامّ لبنية الأعداد الصحيحة، بوصفها الأعداد التي تقبل التحليل إلى عوامل أوّلية، وهو ما يجعلها جزءًا أساسيًا من البنية الضَّرْبيّة للنظام العددي.

وهكذا، فإن مفهوم العدد المؤلّف تطوّرَ عبر مسارٍ تاريخيٍّ طويل، انتقل من المعالجات الحسابية العملية في الحضارات القديمة إلى البناء النظري الصارم في الرياضيات اليونانية، ثم إلى التوسُّع والتعمُّق في العصور الإسلامية، وصولًا إلى الصياغة الجبرية والتحليلية الحديثة التي جعلت من دراسة بنية الأعداد أحد أهمّ فروع الرياضيات المعاصرة[12].

المراجع

العربية

الحسيني، دعد ومحمد بشير قابيل. نظرية الأعداد. دمشق: منشورات جامعة دمشق، 2006.

الدوسري، فالح بن عمران بن محمد. مقدمة في نظرية الأعداد. مكة المكرمة: جامعة أم القرى، 2007.

الأجنبية

Boyer, Carl B. & Uta C. Merzbach. A History of Mathematics. 3^rd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2011.

Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra. 9^th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2016.

Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. 3^rd ed. Boston, MA: Addison-Wesley, 2009.

Rosen, Kenneth H. Elementary Number Theory and Its Applications. 5^th ed. Boston, MA: Addison-Wesley, 2005.

Strayer, James K. Elementary Number Theory. Boston, MA: PWS Publishing Company, 1994.

[1] James K. Strayer, Elementary Number Theory (Boston, MA: PWS Publishing Company, 1994), pp. 10-18.

[2] Ibid.

[3] دعد الحسيني ومحمد بشير قابيل، نظرية الأعداد (دمشق: منشورات جامعة دمشق، 2006)، ص 49-51.

[4] الحسيني وقابيل، مرجع سابق؛ فالح بن عمران بن محمد الدوسري، مقدمة في نظرية الأعداد (مكة المكرمة: جامعة أم القرى، 2007)؛ Kenneth H. Rosen, Elementary Number Theory and Its Applications, 5^th ed. (Boston, MA: Addison-Wesley, 2005). pp. 68-77.

[5] Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9^th ed. (Boston, MA: Cengage Learning, 2016); Rosen, op. cit.

[6] الدوسري، الفصل الثاني؛ الحسيني وقابيل، مرجع سابق.

[7] الدوسري، مرجع سابق؛ Strayer, op. cit.

[8] Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, 3^rd ed. (Boston, MA: Addison-Wesley, 2009), chapter 1; Carl B. Boyer & Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, 3^rd ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2011), chapters 2-3.

[9] Katz, chapter 3.

[10] Ibid., chapter 9; Boyer & Merzbach, chapter 12.

[11] Katz, chapter 12.

[12] Ibid., chapter 25; Boyer & Merzbach, chapter 23.