العملية الثنائية

العملية الثنائية (Binary Operation) في الرياضيات هي عملية تجمع بين عنصرين من مجموعة معينة لإنتاج عنصر ثالث ينتمي إلى المجموعة نفسها. تُعدّ العمليات الثنائية جزءًا أساسيًا من كثير من البنى الجبرية، مثل الزمر والحلقات والحقول، إذ توفر أساسًا لتعريف العلاقات والخصائص الجبرية داخل هذه الهياكل.

مفهومها وتعريفها

العملية الثنائية في الرياضيات هي عملية تأخذ مدخلَيْن (عنصرين) من مجموعة معينة، وتعطي ناتجًا واحدًا في المجموعة نفسها، أي إن العملية الثنائية هي دالة رياضية \(f:A\times A\rightarrow A\) تعرف على أنها مجموعة غير خالية \(A\) ، إذ تأخذ زوجًا مرتبًا من العناصر \(\left(x, y\right)\) من المجموعة \(A\) ، وتنتج عنصرًا وحيدًا \(f(x, y)\) ينتمي أيضًا إلى \(A\) ، وهذا يعني أن تطبيق العملية على أي عنصرين من المجموعة، يجب أن يعطي ناتجًا محددًا ينتمي إلى المجموعة نفسها، ما يُحقّق خاصية الإغلاق {{خاصية الإغلاق: (Closure Property) خاصية تنصّ على أن نتيجة تطبيق عملية معينة على عناصر مجموعة ما تظل ضمن المجموعة نفسها.}}[1].

مثال: فيما يأتي نورد عمليتَيْن ثنائيتَيْن على مجموعة الأعداد الصحيحة:

1. \(a*b=a+b-1\)

للتحقق من كونها عملية ثنائية:

نحتاج إلى التأكد من أن \(a*b\) ينتمي إلى \(\mathbb{Z} \) لأي عددَيْن صحيحَيْن \(a\) ، \(b\) :

• بما أن \(a\) ، \(b\) عددان صحيحان، فإن مجموعهما \(a+b\) عدد صحيح.
• طرح 1 من عدد صحيح لا يغيّر من كونه عددًا صحيحًا، أي إن \(a+b-1\) عدد صحيح أيضًا.
• إذًا، \(a*b\) عدد صحيح.

النتيجة: العملية \(*\) المعرفة بـ \(a*b=a+b-1\) ثنائية على \(\mathbb{Z} \) .

2. \(a*b=ab+1\)

بشكل مختصر، للتحقّق من أن العملية \(*\) عملية ثنائية، فإن حاصل ضرب أي عددين صحيحين \(a\) ، \(b\) هو عدد صحيح، وذلك لأن \(\mathbb{Z} \) مغلقة تحت عملية الضرب. كذلك إضافة 1 إلى عدد صحيح لا يغير من كونه عددًا صحيحًا، أي إن \(ab+1\) عدد صحيح أيضًا. العملية \(*\) المعرفة بـ \(a*b=ab+1\) ثنائية على \(\mathbb{Z} \) .

مثال: تُعَدّ عملية التقاطع {{تقاطع المجموعات: (Intersection of Sets) عملية رياضية تُحدَّد فيها العناصر المشتركة فقط بين مجموعتين، لتكوين مجموعة جديدة تحتوي على العناصر جميعها التي تنتمي إلى كلتا المجموعتَيْن. يُرمَز إلى التقاطع بالرمز \(\cap \) ، ويُقرأ "تقاطع". ويُكتَب تقاطع المجموعتين \(A\) و \(B\) على النحو الآتي: \(A\cap B=\left\{x:x\in A and x\in B\right\}\) .}} ( \(\cap \) ) بين المجموعات عملية ثنائية على مجموعة القوة لأي مجموعة \(U\) ، إذ إن تقاطع أي مجموعتين من \(P(U)\) ينتج مجموعة تنتمي أيضًا إلى \(P\left(U\right)\) .

توجد أمثلة كثيرة على العمليات الثنائية، ومنها:

4. عملية الجمع (الاعتيادي) على مجموعة الأعداد الصحيحة هي عملية ثنائية، إذ إن \(x + y\) هو عدد صحيح لكل عددين صحيحين \(،x, y\) ما يجعل الجمع عملية ثنائية على مجموعة الأعداد الصحيحة.
5. عملية الضرب (الاعتيادي) على مجموعة الأعداد الحقيقية هي عملية ثنائية، إذ إن \(x\cdot y\) هو عدد حقيقي لكل عددين حقيقيين \(x, y\) .
6. عمليتا الطرح والقسمة ليستا بالضرورة عمليات ثنائية على المجموعات كلها، إذ إن القسمة مثلًا ليست مغلقة على مجموعة الأعداد الصحيحة، لأن ناتج قسمة عددين صحيحين قد لا يكون عددًا صحيحًا، والطرح أيضًا ليس مغلقًا على مجموعة الأعداد الطبيعية.

خصائص العملية الثنائية

للعمليات الثنائية عدة خصائص أساسية، منها[2]:

1. خاصية الإغلاق (Closure): لتكن \(*\) عملية ثنائية على مجموعة غير خالية \(A\) ، ولتكن \(B \subseteq A\) . إذا كان \(x*y\) عنصرًا في \(B\) لكل \(x,y \in B\) ، فإن \(B\) تكون مغلقة بالنسبة إلى العملية \(*\) .

على سبيل المثال، إذا كانت العملية \(*\) على مجموعة الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R} \) هي عملية الطرح (الاعتيادي)، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة مغلقة بالنسبة إلى \(*\) ، في حين مجموعة الأعداد الطبيعية ليست مغلقة على \(*\) .

2. الخاصية التجميعية (Associative): إن العملية \(*\) على المجموعة \(A\) عملية تجميعية إذا تحقق الشرط الآتي لـ \(x, y, z \in A\) جميعًا:

\[\left(x * y\right)* z = x * \left(y * z\right).\]

مثال: الجمع والضرب تجميعيّان، إذ إن:

\[\left(4+3\right)+2=4+\left(3+2\right).\]

3. الخاصية التبديلية (Commutative): يقال إن العملية \(*\) على المجموعة \(A\) عملية تبديلية، إذا كان تبديل (ترتيب) العنصرين لا يؤثر في النتيجة، أي إن:

\[x * y = y * x.\]

على سبيل المثال عملية الجمع على الأعداد الصحيحة هي عملية تجميعية تبديلية، وعملية الضرب أيضًا على مجموعة الأعداد الصحيحة (والحقيقية) تجميعية تبديلية.

مثال: الجمع والضرب إبداليّان في الأعداد الحقيقية، أي إن:

\[x+ y = y+ x,\]

\[x \times y = y \times x.\]

أما الطرح والقسمة فغير إبداليَّيْن، إذ إن:

\[x- y \neq y- x,\]

\[x \div y \neq y \div x.\]

ومن المفاهيم الأساسية المرتبطة بالعملية الثنائية، التي تنتج مباشرة من تعريفها، العنصر المحايد والعنصر المعاكس.

1. العنصر المحايد (Identity Element): لتكن \(*\) عملية ثنائية على مجموعة غير خالية \(A\) . يُسمّى العنصر \(e\in A\) عنصرًا محايدًا إذا كان \(x * e = e * x = x\) لكل عنصر \(x\) من \(A\) [3].

على سبيل المثال، الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع على الأعداد الصحيحة، ذلك لأنه لأي عدد صحيح \(a\) فإن:

\(a+0=0+a=a.\) .

والعدد 1 هو العنصر المحايد لعملية الضرب على الأعداد الحقيقية، ذلك لأنه لأي عدد حقيقي \(a\) فإن:

\(a\cdot1=1\cdot a=a.\) .

2. العنصر المعاكس (Inverse Element): بافتراض أن \(*\) عملية ثنائية على مجموعة غير خالية \(A\) ، وليكن \(e\in A\) العنصر المحايد في \(A\) ، و \( x\) عنصرًا في \(A\) ، فإذا وُجِد عنصر \(b\in A\) بحيث \(x *b = b * x = e\) ، فإن \(b\) يُسمّى عنصرًا معاكسًا للعنصر \(x\) [4].

على سبيل المثال، في عملية الجمع على الأعداد الصحيحة، يكون المعاكس الجمعي للعدد \(a\) هو \(-a\) إذ إن:

\(a+ -a=0.\) .

تطبيقات العملية الثنائية

تُعَدّ العملية الثنائية من المفاهيم المهمة التي تمتدّ تطبيقاتها في كثير من الفروع العلمية المختلفة، فمثلًا[5]:

1. في الرياضيات: تُستخدَم في عدد من الفروع، مثل: الجبر (الزمر، والحلقات، والحقول)، ونظرية المجموعات {{نظرية المجموعات: (Set Theory) فرع من فروع الرياضيات، يُعنى بدراسة المفهوم المجرد للمجموعة، ويهتمّ بوصف المجموعات وتصنيفها، وتحليل العلاقات والعمليات التي تتمّ بينها، مثل الانتماء، والاحتواء، والاتحاد، والتقاطع، والفرق.}}، والاتحاد {{اتحاد المجموعات: (Union of Sets) عملية دمج مجموعتين معًا لتكوين مجموعة جديدة تحتوي على العناصر جميعها التي تنتمي إلى أي من المجموعتين أو كلتيهما، من دون تكرار العناصر المشتركة. ويُرمَز إلى الاتحاد بالرمز \(\cup \) ، ويُقرأ "اتحاد". ويُكتَب اتحاد المجموعتين \(A\) و \(B\) على النحو الآتي: \(A\cup B=\left\{x:x\in A or x\in B\right\}\) .}}، والتقاطع (Intersection of Sets)، ونظرية الأعداد {{نظرية الأعداد: فرع من الرياضيات يختصّ بدراسة خصائص الأعداد الصحيحة والعلاقات بينها، مثل القواسم، والأعداد الأولية، والمربعات الكاملة. وتهدف النظرية إلى فهم بنية الأعداد واكتشاف أنماطها، ولها تطبيقات في التشفير وعلوم الحاسوب.}}، والتوافيق، والتباديل، والمصفوفات، والتحويلات، ونظرية الرسوم البيانية {{نظرية الرسوم البيانية: (Graph Theory) فرع من الرياضيات يدرس الكائنات التي تُعرف باسم الرسوم البيانية، والتي تتكوّن من رؤوس (عُقد) وأضلاع (حواف) تربط بينها. تُستخدَم في نمذجة العلاقات والاتصالات، وتطبيقاتها واسعة في الشبكات، والخوارزميات، والعلوم الاجتماعية.}}، والتحليل العددي {{التحليل العددي: فرع من الرياضيات يُركّز على إيجاد حلول تقريبية للمسائل الرياضية التي يصعب حلّها بدقة أو يستحيل. ويتضمّن هذا الفرع تصميم الخوارزميات العددية وتحليلها لحساب الجذور، والتكامل، والمشتقات، وحلول المعادلات التفاضلية، إضافة إلى دراسة الخطأ، والاستقرار، وكفاءة الحساب.}}، والمنطق الرياضي. تؤدي هذه العمليات دورًا أساسيًا في حل المسائل الرياضية وتحليل الأنظمة المعقّدة[6].
2. في علوم الحاسوب: تستخدم العمليات الثنائية في الحسابات المنطقية والبرمجة، مثل العمليات المنطقية في الدوائر الرقمية والذكاء الاصطناعي، والتشفير في أمن المعلومات[7].
3. في الفيزياء والهندسة: تُستخدَم العمليات الثنائية في تحليل الأنظمة الديناميكية، والمعادلات التفاضلية، ونمذجة الأنظمة الفيزيائية، مثل التيار الكهربائي والموجات الصوتية[8].

المراجع

Bhattacharya, P. B., S. K. Jain & S. R. Nagpaul. Basic abstract algebra. 2^nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1994.

Dummit, David Steven & Richard M. Foote. Abstract Algebra. 3^rd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2004.

Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra, 8^th ed. Boston, MA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012.

Sibley, Thomas Q. Thinking Algebraically: An Introduction to Abstract Algebra. 2^nd ed. Providence: American Mathematical Society, 2021.

[1] P. B. Bhattacharya, S. K. Jain & S. R. Nagpaul, Basic Abstract Algebra, 2nd ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 1994), pp. 21-22.

[2] Ibid.

[3] Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 8th ed. (Boston, MA: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012), pp. 44-49.

[4] Ibid.

[5] Ibid.

[6] Ibid.

[7] Thomas Q. Sibley, Thinking Algebraically: An Introduction to Abstract Algebra, 2nd ed. (Providence: American Mathematical Society, 2021).

[8] David Steven Dummit & Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2004).