معادلة برنولي التفاضلية

الموجز

معادلة برنولي التفاضلية (Bernoulli Differential Equation) هي معادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الأولى، وهي من أشهر تلك المعادلات، وتأخذ الصورة:

\[y^{'}+p\left(x\right)y=q\left(x\right)y^{n}, n\neq 0,1\]

لكن يمكن أن تُحول إلى معادلة خطية عبر التعويض \(v=y^{1-n}\)، وهو ما يسهل حلها. إذ تتميز معادلة برنولي التفاضلية ببنية خاصة تسمح بتحويلها إلى معادلة خطية.

وتُعدّ المعادلات التفاضلية من أبرز الأدوات الرياضية استخدامًا في مختلف الفروع العلمية، نظرًا إلى دورها المحوري في نَمْذَجَة الظواهر الطبيعية، فهي تُقدّم وصفًا دقيقًا للعلاقة بين دالة غير معروفة ومعدَّلات تغيُّرها، وهو ما يجعلها أداة أساسية لدراسة تطور الكميات مع الزمن أو عبر متغيرات أخرى.

وقد سُمّيت المعادلة بهذا الاسم نسبةً إلى الرياضي السويسري جاكوب برنولي (Jakob Bernoulli، 1655-1705)، الذي درسها في القرن السابع عشر، وسرعان ما أصبحت نموذجًا مهمًا في الرياضيات التطبيقية، نظرًا إلى ما تقدمه من أمثلة على التحليل الرياضي الإبداعي وتقنيات الحل غير المباشرة.

تعريفها الرياضي

في عام 1696، طرح يوهان برنولي (Johann Bernoulli، 1667-1748) مسألة المنحنى المتساوي الزمن (Brachistochrone problem)، التي تسعى لإيجاد المسار الذي يهبط عليه جسمٌ تحت تأثير الجاذبية من أية نقطة إلى القاع في أقصر زمن ممكن. وقد لاقَت هذه المسألة اهتمامًا واسعًا في الأوساط العلمية، حيث شارك في حلّها كلٌّ من: إسحاق نيوتن (Isaac Newton، 1642-1727)، وغوتفريد لايبنتز (Gottfried Wilhelm Leibniz، 1646-1716)، وجاكوب برنولي (Jakob Bernoulli، 1655-1705)، وغيوم دو لوبيتال (Guillaume de l’Hôpital، 1661-1704).

وقد أظهر جاكوب برنولي أن حل هذه المسألة يقود إلى صياغة معادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الأولى يمكن التعامل معها باستخدام طريقة فصل المتغيِّرات. وتُعد هذه الإسهامات خطوة محورية في تاريخ حساب التفاضل والتكامل، إذ كانت مثالًا بارزًا على توظيف الأدوات الرياضية الحديثة لحل مسائل فيزيائية.

وفي السياق نفسه، نشر جاكوب برنولي في العام ذاته (1696) صياغته لما أصبح يُعرَف لاحقًا بـ "معادلة برنولي التفاضلية"، التي تُكتب على الصورة^[1]:

\[y^{'}+p\left(x\right)y=q\left(x\right)y^{n}\]

حيث إن \(n\) حقيقي لا يساوي الصفر و الواحد، أي \(n\neq 0,n\neq 1\).

حل المعادلة

تُحل معادلة برنولي باتباع الخطوات الآتية:

1. ضرب طرفي المعادلة بالمقدار \(y^{-n}\) لتصبح على الصورة:

\[y^{'}y^{-n}+p\left(x\right)y^{1-n}=q\left(x\right)\]

2. التعويض بقيمة المتغير الجديد \(w\):

\[w=y^{1-n} , w^{'}=\left(1-n\right)y^{-n}y^{'}\]

ومن ثم إعادة صياغة المعادلة:

\[y^{'}y^{-n}=\frac{w^{'}}{1-n}\]

3. الآن بتعويض المتغير الجديد في المعادلة، تصبح على الشكل التالي:

\[\frac{w'}{1-n}+p\left(x\right)w=q\left(x\right)\]

وبضرب هذه المعادلة بالمقدار \(1-n\) ، تصبح معادلة تفاضلية خطية على الشكل:

\[w^{'}+\left(1-n\right)p\left(x\right)w=\left(1-n\right)q\left(x\right)\]

ثم نكمل حل المعادلة التفاضلية الناتجة بوصفها معادلة خطية بالمتغيرات الجديدة، ثم يُعوَّض عن المتغير \(w\) في نهاية الحل.

أما شرط معادلة برنولي \(n\neq 0,n\neq 1\) ، فهو أساسًا الشرط الذي يميّزها من أن تكون معادلة تفاضلية خطية عادية. بصيغة أخرى، عندما تكون قيمة \(n\) صفرًا أو الواحد، فإن المعادلة تتحول إلى معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى، فعندما تكون \(n=0\) تصبح المعادلة على الشكل التالي:

\[y^{'}+p(x) y=q(x)\]

وهذه معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى.

وعندما تكون \(n=1\) فإن المعادلة تكون على الشكل التالي:

\[y^{'}+p(x) y=q(x) y  \Rightarrow   y^{'}+(p(x)-q(x))y=0\]

وهي أيضًا معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى.

مثال: جِدْ حل معادلة برنولّي التفاضلية:

\[y^{'}-\frac{3}{x}y=x^{2}y^{3}\]

الحل:

يُلاحظ أن المعادلة على شكل معادلة برنولي:

\[y^{'}+p\left(x\right)y=q\left(x\right)y^{n}\]

حيث: \(n\neq 0\) أو \(n\neq 1\)

1. نبدأ بضرب طرفي المعادلة بالمقدار \(y^{-3}\) لتصبح على الصورة:

\[y^{'}y^{-3}- \frac{3}{x}y^{-2}=x^{2}\]

2. ثم باستخدام التعويض، نفرض أن:

\[w=y^{-2}\]

وبالتالي:

\[w^{'}=-2y^{-3}y^{'}\]

ومنه:

\[y^{'}y^{-3}=\frac{-1}{2}w^{'}\]

3. الآن بتعويض المتغير الجديد في المعادلة تصبح على الشكل التالي:

\[\frac{-1}{2}w^{'}-\frac{3}{x}w= x^{2 } \implies w^{'}+\frac{6}{x}w=-2x^{2 }\]

4. نكمل حل المعادلة التفاضلية بوصفها معادلة خطية بالمتغيرات الجديدة، وذلك بإيجاد العامل التكاملي \(\mu \left(x\right)\):

\[\mu \left(x\right)= e^{\int_{}^{} \frac{6}{x}dx}=e^{6\ln \left|x\right|}= x^{6 }\]

5. نضرب طرفي المعادلة بمعامل التكامل \(\mu \left(x\right)\):

\[x^{6 }w^{'}+6x^{5 }w=-2x^{8 }\]

6. نعيد صيغة المعادلة مشتقة حاصل ضرب اقترانين:

\[\frac{d}{dx}\left(x^{6 }w\right)=-2x^{8 }\]

7. باجراء عملية التكامل لطرفي المعادلة، نحصل على الشكل التالي:

\[x^{6 }w= -\frac{2}{9}x^{9}+c \Rightarrow w= -\frac{2}{9}x^{3}+cx^{-6 }\]

حيث إن \(c\) هو ثابت التكامل، ثم نعوض قيمة الفرض \(w\) ليصبح الحل العام للمعادلة التفاضلية:

\[y^{-2}= -\frac{2}{9}x^{3}+cx^{-6 }\]

الذي يمكن تبسطيه ليصبح على الشكل:

\[y= \mp \frac{x^{3}}{\sqrt{-\frac{2}{9}x^{9}+C}}\]

تطبيقاتها

تظهر معادلة برنولي التفاضلية بوصفها نموذجًا خاصًا من المعادلات التفاضلية غير الخطية من الدرجة الأولى، وتمتاز بإمكانية تحويلها إلى معادلة خطية عبر تعويض مناسب، وهو ما يجعلها ذات قيمة تحليلية مهمة في دراسة بعض النظم غير الخطية. وتبرز أهميتها التطبيقية في الحالات التي يكون فيها معدل تغيّر كمية ما متناسبًا خطيًا مع الكمية نفسها، ومتناسبًا كذلك مع قوة غير خطية منها في آن واحد.

في الفيزياء التطبيقية، تظهر معادلة برنولي في بعض نماذج الحركة التي تتضمن مقاومة غير خطية، مثل مقاومة الوسط المتناسبة مع قوة من السرعة، حيث يمكن في حالات معينة إعادة صياغة معادلة الحركة إلى صورة من صور معادلة برنولي. كذلك تظهر في بعض مسائل انتقال الحرارة أو الانتشار عندما يكون معدل التغيّر تابعًا لقوة غير خطية من المتغير المدروس.

وفي الكيمياء الفيزيائية، قد تنشأ صيغ مكافئة لمعادلة برنولي عند دراسة بعض التفاعلات من الدرجة غير الصحيحة (Non-Integer Order Reactions)، حيث يعتمد معدل التفاعل (Reaction rate) على تركيز المادة مرفوعًا إلى أسّ غير واحد. وفي هذه الحالات، يمكن تحويل النموذج الناتج إلى صورة خطية تسمح بتحليل الحلول ودراسة سلوكها النوعي.

أما في البيولوجيا الرياضية، فتَظهر بنيتُها في بعض نماذج النمو غير الخطي، خاصة عندما يجتمع تأثير نمو يتناسب والحجم الحالي مع تأثير مثبط يعتمد على قوة من المتغير نفسه، وهو ما يسمح بدراسة الاستقرار والسلوك طويل المدى للحلول.

وفي الرياضيات البحتة، تُعدّ معادلة برنولي مثالًا كلاسيكيًا على المعادلات غير الخطية القابلة للاختزال إلى معادلات خطية. ولذلك فهي تُستخدم على نطاق واسع في تدريس تقنيات الحل والتحويل، كما عُمِّمَت في أبحاث حديثة إلى صيغ تتضمن مشتقات كسرية أو معاملات متغيرة، وهو ما وسَّع مجالَ تطبيقها في نمذجة الأنظمة ذات الذاكرة الزمنية.

وبوجه عام، لا تكمن أهمية معادلة برنولي في كونها تصف نظامًا فيزيائيًا بعينه، بل في أنها تمثل نموذجًا بنيويًا مهمًا للمعادلات غير الخطية التي يمكن معالجتها تحليليًا، وهو ما يجعلها أداة تعليمية وتطبيقية مهمة في دراسة النظم الديناميكية من الدرجة الأولى^[2].

إسهامات برنولي​ الأخرى

يُعد جاكوب برنولي أحد أبرز علماء الرياضيات في القرن السابع عشر، وهو من عائلة سويسرية شهيرة أنجبت عددًا من العلماء البارزين. وُلد برنولي في مدينة بازل السويسرية في 6 كانون الثاني/ يناير عام 1655، وتُوفي في 16 آب/ أغسطس عام 1705. بدأ مسيرته الأكاديمية بدراسة الفلسفة، لكنه سرعان ما اتّجه إلى الرياضيات والفلك مدفوعًا بشغفه بالعلوم[3].

بين عامي 1676-1682، تنقّل برنولي في عدد من الدول الأوروبية، باحثًا عن أحدث ما توصّل إليه العلم، ومطلعًا على أعمال العلماء في الرياضيات والفيزياء. وبعد عودته إلى سويسرا، تولّى تدريس الرياضيات في جامعة بازل، حيث لعب دورًا مهمًا في ترسيخ المفاهيم الرياضية الحديثة[4].

تعمّق برنولي في البحث الرياضي بعد اطّلاعه على أعمال كريستيان هوغنس (Christiaan Huygens، 1629-1695) في الاحتمالات، لا سيما كتابه عن التفكير في لعبة النرد (De Ratiociniis in Ludo Aleae, 1657). واطّلع على كتاب الهندسة (La Géométrie) لرينيه ديكارت (René Descartes، 1596-1650)، المنشور ملحقًا بكتاب مقال عن المنهج (Discours de la méthode, 1637)[5].

كذلك تعمّق في أعمال كل من: إسحاق بارو (Isaac Barrow، 1630-1677) وجون واليس (John Wallis، 1616-1703). وقد أسهم في تطوير حساب التفاضل والتكامل متابعًا ما أنجزه إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز وهو ما دفعه إلى دراسة مسائل المنحنيات وحساب التفاضل والتكامل. كتب برنولي نتائج أبحاثه خلال الفترة بين عامي 1684-1689، والتي جمعها لاحقًا في كتابه الشهير فن التخمين (Ars Conjectandi)، الذي نُشر بعد وفاته في عام 1713. وقد تناول الكتاب موضوعات رائدة، من أبرزها[6]:

1. نظرية الاحتمالات

2. أعداد برنولي في سياق المتسلسلات والقيم الخاصة للدوال.

3. تجربة برنولي المتعلقة بحساب مقدار الفوز المتوقع في ألعاب الحظ.

كذلك درس برنولي مفهوم الفائدة المركبة، حيث توصل من خلال دراسته إلى قيمة العدد النيبيري 𝑒، وعرّفه باستخدام النهايات كما يلي[7]:

\[e=\lim_{n\rightarrow \infty } \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\]

وتُعد هذه الصيغة من أوائل الاستخدامات الدقيقة لمفهوم النهايات في الرياضيات، وقد مثّلت أساسًا مهمًا لاحقًا في حساب التفاضل والتكامل ونظرية النمو الأسي.

لم تقتصر إنجازات برنولي الرياضية على هذا، بل قدّم العديد من النماذج التي حملت اسمه، مثل: كثيرات حدود برنولي، وأعداد برنولي، وغيرها من الإسهامات العلمية التي أصبحت مصدر إلهام للعلماء الذين تبعوه، وهو ما جعله شخصية محورية في تطور الرياضيات في أواخر القرن السابع عشر وبدايات القرن الثامن عشر[8].

[1] عبد الشافي فهمي عبادة وحسن مصطفى العويضي وعفاف أبو الفتوح صالح، المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها (القاهرة: دار الفكر العربي، 2010)، ص 77-80.

[2] Dennis. G. Zill & Michael R. Cullen, Differential equations with boundary-value problems, 7^th ed. (Belmont, CA: Cengage Learning, 2009).

[3] John J. O’Connor & Edmund F. Robertson, “Jacob Bernoulli (1655-1705),” MacTutor, accessed on 17/4/2026, at: https://acr.ps/hByaQIz

[4] Ibid.

[5] Ibid.

[6] Ibid.

[7] J. L. Coolidge, “The Number e,” The American Mathematical Monthly, vol. 57, no. 9 (1950), pp. 591-602.

[8] F. W. Olver et al. (Eds.), NIST Digital Library of Mathematical Functions (Gaithersburg, MD: National Institute of Standards and Technology, 2010).

المراجع

العربية

عبادة، عبد الشافي فهمي وحسن مصطفى العويضي وعفاف أبو الفتوح صالح. المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها. القاهرة: دار الفكر العربي، 2010.ي′=ص(س)ي+س(س)ين.

الأجنبية

Coolidge, J. L. “The Number e.” The American Mathematical Monthly. vol. 57. no. 9 (1950).

O’Connor, John J. & Edmund F. Robertson. “Jacob Bernoulli (1655-1705).” MacTutor.at: https://acr.ps/hByaQIz

Olver, F. W. et al. (eds.). NIST Digital Library of Mathematical Functions. Gaithersburg, MD: National Institute of Standards and Technology, 2010.

Zill, Dennis. G. & Michael R. Cullen. Differential equations with boundary-value problems. 7^th ed. Belmont, CA: Cengage Learning, 2009.