الزاوية مفهوم هندسي أساسي، وهي مقدار الدوران بين خطين أو شعاعين يلتقيان في نقطة مشتركة تُسمّى رأس الزاوية. يمثّل كل من هذين الخطين جانبي الزاوية، ويعبَّر عن قياسها عادةً بالدرجات (°) أو بالراديان في سياق التحليل الرياضي والدوال المثلثية.
تظهر الزوايا في مختلف فروع العلوم، فهي ركيزة المحاور في الهندسة الإقليدية، وعنصر جوهري في الهندسة التحليلية عند تمثيل الميل والتغيّرات الاتجاهية، وأساس في المثلثات لدراسة علاقات الأضلاع والزوايا، وبناء مفاهيم مثل دالة الجيب، وجيب التمام، والظل. وتُقسَّم الزوايا بحسب قياسها إلى: حادّة (أقل من 90°)؛ قائمة (90°)؛ منفرجة (بين 90° و180°)؛ مستقيمة (180°)؛ منعكسة (أكبر من 180° وأقل من 360°)؛ كاملة (360°).
وللزوايا أيضًا دور مهم في الفيزياء لفهم الحركة الدورانية والترددات واتجاه القوى، ولتحديد المواقع في الفضاء، بالإضافة إلى أنها أساسية في تطبيقات الحياة اليومية، مثل تصميم المباني، والملاحة، والأشعة المساحية، والتقنيات الرقمية. ويمثّل النظام الديكارتي إطارًا يعتمد على الزوايا في تحديد الاتجاهات والزوايا بين المتجهات.
تعريفها
الزاوية (Angle) مفهوم أساسي في الرياضيات والهندسة، يُستخدَم لفهم العلاقات الهندسية والمسافات والاتجاهات. عرَّفها الرياضي الإغريقي أقليدس، في الحدود أو التعريفات التي تفتتح المقالة الأولى من كتابه الشهير بـأصول الهندسة أو العناصر (Elements)، بقوله: "والزاوية البسيطة انحراف كل واحد من خطين مستقيمَيْن موضوعَيْن في بسيط واحد مستوٍ، متصلين على غير استقامة عن الآخر"[1]. ويفيد التفسير الحديث لهذا التعريف الوارد في الترجمة العربية القديمة لكتاب أقليدس في رفع الغموض، إذ يُبسّط الأمر مُعرّفًا الزاوية بأنها شكل هندسي ناتج من التقاء شعاعين {{الشعاع: (Ray) هو جزء من خط مستقيم يبدأ من نقطة محددة تُسمّى نقطة الأصل، ويمتد بلا نهاية في اتجاه واحد فقط.}} عند نقطة بداية مشتركة، تُعرَف باسم رأس الزاوية. ويُسمّى أحد الشعاعَيْن ضلع الابتداء، ويُسمى الآخر ضلع الانتهاء، وتُسمّى نقطة التقاء الشعاعَيْن رأس الزاوية. إذا دار ضلع الانتهاء عكس اتجاه عقارب الساعة، يكون قياس الزاوية موجبًا؛ وإذا دار في اتجاه عقارب الساعة، يكون القياس سالبًا[2].
مكوناتها
تتكون الزاوية من[3]:
- رأس الزاوية (Vertex): النقطة المشتركة التي يلتقي عندها الشعاعان.
- الأضلاع (Arms): الشعاعان الخارجان من الرأس اللّذان يُشكّلان الزاوية.
أنواعها
هناك أنواع عدة من الزوايا[4]:
- زاوية حادة (Acute Angle): أقل من 90 درجة.
- زاوية قائمة (Right Angle): تساوي 90 درجة.
- زاوية منفرجة (Obtuse Angle): أكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة.
- زاوية مستقيمة (Straight Angle): تساوي 180 درجة.
- زاوية كاملة (Full Angle): تساوي 360 درجة.
[الشكل 1]
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
عندما يكون الشعاعان اللّذان يُكوِّنان الزاوية في اتجاهين متعاكسين، تُسمى الزاوية زاوية مستقيمة، وعندما يقطع خط مستقيم خطًّا مستقيمًا آخر فيصنع زاويتين متجاورتين متساويتين، تكون كل واحدة منهما زاوية قائمة، ويُسمى الخط المستقيم الأول عموديًا على الخط المستقيم الآخر [الشكل 1][5].
تُقسم الزاوية المستقيمة إلى 180 درجة بسبب الطريقة التي تُقاس بها الزوايا في الهندسة، ففي الهندسة الأقليدية، تُعرَف الزاوية المستقيمة بأنها الزاوية التي تُشكل خطًّا مستقيمًا، وقيمتها 180 درجة. يعتمد هذا القياس على تقسيم الدورة الكاملة إلى 360 درجة، وهو نظام تقليدي يعود تاريخه إلى الرياضيات البابلية القديمة. يُعَدّ الخط المستقيم دورة نصف كاملة، ومن ثم فهو يقيس 180 درجة. يُتيح هذا التقسيم طريقة متّسقة وموحدة لقياس الزوايا، وهو أمر أساسي لدراسة الهندسة وعلم المثلثات[6].
تسمية الأشكال الهندسية وفقًا لها
تدخل الزوايا في تسمية الأشكال الهندسية، فعلى سبيل المثال[7]:
- المثلّث قائم الزاوية هو المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة.
- المثلث منفرج الزاوية هو المثلث الذي يحتوي على زاوية منفرجة.
- المثلث حاد الزاوية هو المثلث الذي يحتوي على ثلاث زوايا حادة.
- المربع هو شكل رباعي زواياه قائمة، وأضلاعه متطابقة.
نتائج متعلقة بها
تعتمد كثير من الخصائص الهندسية الأساسية على الزوايا، ومن أبرز النتائج[8]:
- مجموع زوايا المثلث: يبلغ مجموع زوايا أي مثلث 180 درجة.
- مجموع زوايا الشكل الرباعي: يبلغ مجموع زوايا أي شكل رباعي 360 درجة.
وحدات قياسها
تنقسم الوحدات المستخدمة في قياس الزوايا إلى الأنواع الآتية[9]:
- الدرجة (Degree): تُعد وحدة الدرجة الأكثر شيوعًا واستخدامًا، وتُعرَف الدرجة ( \(^\circ\) ) بأنها وحدة قياس لزاوية مركزية تقابل قوسًا طوله يساوي \(\frac{1}{360}\) من محيط الدائرة {{محيط الدائرة: (Circumference) المسافة الكلية حول الدائرة، ويُعد من المفاهيم الأساسية في الهندسة الأقليدية، ويُعرف رياضيًا بأنه طول الخط المحيط بنقطة مركزية تبعد نقاطها جميعًا مسافة ثابتة تُسمّى نصف القطر (radius)، ويُحسب باستخدام العلاقة الآتية: \(C=2\pi r\) .}}، ومن ثَمَّ فإن دوران ضلع انتهاء الزاوية دورة كاملة يُشكّل زاوية قياسها 360 درجة، تنقسم كل درجة إلى 60 دقيقة، وكل دقيقة تنقسم بدورها إلى 60 ثانية.
2. الراديان (Radian): تُستخدَم وحدة الراديان في التطبيقات الرياضية والفيزيائية المتقدّمة، وتُعرَّف بناءً على نصف قطر الدائرة {{نصف قطر الدائرة: (Radius) هو القطعة المستقيمة الواصلة بين مركز الدائرة وأي نقطة على محيطها.}}.
- يُشير 1 راديان إلى الزاوية المركزية التي تقابل قوسًا طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة.
- يُرمز إلى هذه الوحدة بالرمز rad.
- يبلغ مقدار الدورة الكاملة (الدائرة) π2 راديان.
مثال: الزاوية القائمة تُساوي \(\frac{\pi}{2}\) راديان.
3. الغراد (Gradians):وحدة الغراد أقل شيوعًا مقارنةً بالدرجة والراديان، وتُستخدم في بعض التطبيقات الهندسية والجغرافية، ولا سيما في أوروبا. تُقسَم الدائرة الكاملة إلى 400 غراد، ما يجعل الغراد أكثر دقة في الحسابات التي تتطلّب تقسيمات صغيرة.
مثال: الزاوية القائمة تُساوي 100 غراد.
المراجع
“Euclid's Elements Book I, Definition 8.” Clark University. at: https://acr.ps/1L9BPVh
“Gradian.” Wolfram MathWorld. at: https://acr.ps/1L9BPcS
Kiselev, A. P. Kiselev's Geometry: Book I. Planimetry. Alexander Givental (trans.). El Cerrito, CA: Sumizdat, 2006.
Lang, Serge. Geometry. New York: Springer, 1987.
“Trigonometry: Principles of trigonometry – Angles, triangles, sines.” Britannica. at: https://acr.ps/1L9BOWP
[1] “Euclid's Elements Book I, Definition 8,” Clark University, accessed on 16/10/2025, at: https://acr.ps/1L9BPVh
[2] A. P. Kiselev, Kiselev's Geometry: Book I. Planimetry, Alexander Givental (trans.) (El Cerrito, CA: Sumizdat, 2006), pp. 9-15.
[3] Serge Lang, Geometry (New York: Springer, 1987), pp. 13-29.
[4] Ibid.
[5] Kiselev, pp. 9-25.
[6] Lang, pp. 13-36.
[7] Ibid., pp. 36-62.
[8] Kiselev, pp. 64-68.
[9] “Trigonometry: Principles of trigonometry – Angles, triangles, sines,” Britannica, accessed on 16/10/2025, at: https://acr.ps/1L9BOWP; “Gradian,” Wolfram MathWorld, accessed on 16/10/2025, at: https://acr.ps/1L9BPcS
