الموجز
المقدار الجبري (Algebraic expression) من الركائز الرئيسة في علم الجبر، وهو تعبير رياضي يتكوّن من ثوابت ومتغيرات، مرتبطة بـعمليات جبرية مثل الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، والرفع إلى قوى، واستخراج الجذور. ويتألف المقدار الجبري من حدود، قد تكون أعدادًا ثابتة، أو متغيرات، أو حاصل ضرب بين عدد، ومتغير، أو أكثر. وتعمل إشارات الجمع، والطرح فواصل أساسية بين هذه الحدود، ويمكن أن يتخذ المقدار شكلًا نسبيًا أو جذريًا.
وكثيرًا ما يُخلط بين المقدار الجبري والمعادلة الجبرية، غير أن بينهما فرقًا جوهريًا في البنية والاستخدام، فالمقدار الجبري توصيف رياضي لا يتضمن علامة مساواة، ولهذا يمثل قيمة رياضية قابلة للتبسيط أو التحليل، لكن لا يمكن إيجاد قيم محددة لمتغيراته (حله)، إلا إذا وُضع في إطار معادلة. فمثلًا، التعبير
\(2x+4\) مقدار جبري يعبّر عن كمية، في حين المعادلة
\(2x+4=6\) تعبّر عن تطابق يمكن حلّه، لإيجاد القيمة المحددة للمتغير
\(x\).
نبذة تاريخية
للمقادير الجبرية تاريخ طويل ومتشعب في تطور علم
الرياضيات، إذ نشأت من مفاهيم حسابية بسيطة، وتطورت تدريجيًا لتصبح ركيزة رئيسة في نظريات الجبر الحديث. وقد أسهمت حضارات متعددة في بناء هذا المفهوم وتطويره، بدءًا من البابليين، مرورًا بالإغريق والعلماء المسلمين، وانتهاء بعلماء أوروبا في عصر النهضة وما تلاه[1].
استخدم البابليون (حوالي 2000 ق.م – 300 ق.م) أساليب عدديةً لحلّ معادلات من الدرجة الأولى والثانية، مستعينين بالجداول العددية والصياغة اللفظية بديلًا عن الرموز الجبرية. وعلى الرغم من افتقار أعمالهم إلى التجريد الرمزي، فإنها تُعد من أولى المحاولات المنهجية لحلّ المعادلات، ما أرسى أساسًا مبكرًا لما سيُعرف لاحقًا بعلم الجبر[2].
أمّا الإغريق فقد قدموا إسهامات بارزة في هذا الميدان إذ ركّز
إقليدس (حوالي 300 ق.م، Euclid) على الكشف عن العلاقة بين الهندسة والحساب، وأرسى بذلك قواعد التفكير المنطقي في الرياضيات. ومن بعده، جاء
ديوفانتوس (حوالي 200–284م، Diophantus) ليُقدم في كتابه أريثمتيكا (Arithmetica) خطوة محورية نحو الجبر العددي، إذ استخدم رموزًا أولية مبسّطة لتمثيل المجاهيل، وإن ظلّت بعيدة عن مستوى الرمزية الجبرية الحديثة[3].
وفي العصر الإسلامي، بلغ علم الجبر ذروة تأسيسية على يد العالم
محمد بن موسى الخوارزمي (حوالي 780–850 م)، الذي وضع في كتابه
الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة أول منهج علمي منظم لحلّ المعادلات من الدرجتين الأولى والثانية، واشتقت من اسمه كلمة خوارزمية (Algorithm) التي باتت ركيزة في علوم الحاسوب. وأسهم كذلك عمر الخيام (1048–1131 م) في دراسة المعادلات التكعيبية، ومحاولة حلّها بأساليب هندسية، ما مهّد الطريق لتطوير الحلول الجبرية التحليلية في مراحل لاحقة
[4].
فرانسوا فييت
حذف الصورة؟
سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.
وفي الفترة الممتدة من القرن السادس عشر حتى القرن التاسع عشر، شهد الجبر نقلة نوعية نحو الرمزية الحديثة، فقد أدخل
فرانسوا فييت (François Viète، 1540-1603) استخدام الحروف للتمييز بين الكميات المعلومة والمجهولة، ما أعطى الجبر طابعه التجريدي. ثم جاء رينيه ديكارت (René Descartes، 1596 –1650 م) ليربط الجبر بالهندسة من خلال تأسيس الهندسة التحليلية، مرسيًا بذلك البنية الرمزية التي مهدت لظهور الجبر الحديث بفروعه المتعددة، مثل الجبر التجريدي، ونظرية الحلقات، والمصفوفات[5].
وفي القرن العشرين، أصبح الجبر أحد الأعمدة الجوهرية للرياضيات الحديثة، وتوسعت فروعه لتشمل الجبر المجرد والجبر الخطي، فضلًا عن امتداد تطبيقاته إلى علوم الحاسوب، والفيزياء النظرية، والذكاء الاصطناعي، ما رسّخ مكانته علمًا رئيسًا لا غنى عنه في البحث النظري والتطبيقي على حدّ سواء[6].
الأنواع
يُعرف المقدار الجبري بنيويًا بأنه تكوين من
الحدود الجبرية (Algebraic Terms) . والحدّ الجبري هو لبنة البناء الرئيسة، ويتكون من حاصل ضرب عدد ثابت يسمى المعامل (Coefficient) في متغير أو أكثر مرفوع لقوة (أس) معينة
[7]. وبناء على ذلك، يمكن تصنيف المقادير الجبرية وفق معيارين رئيسين[8]:
التصنيف من حيث عدد الحدود
- أحادي الحد: (Monomial) هو المقدار الذي يتكون من حدّ جبري واحد فقط، مثل:
\(7x^{2}\) أو
\(-3abc\).
- متعدد الحدود: (Polynomial)وهو تعبير يتكون من حدين جبريين أو أكثر، تفصل بينها إشارات الجمع أو الطرح. ويصنف فرعيًا إلى:
أ. ثنائي الحد: (Binomial)مثل:
\(x+5\) .
ب. ثلاثي الحد: (Trinomial)مثل:
\(2x^{2}-3x+4\) .
التصنيف من حيث طبيعة المتغيرات والأسس (التصنيف النوعي)
هذا التصنيف هو الأهم، إذ يحدد المجال والخصائص الرياضية لكل مقدار:
- المقادير الحدودية: وهي المقادير التي تكون أسس متغيراتها أعدادًا صحيحة غير سالبة.
- المقادير النسبية: (Rational Expressions) وهي المقادير التي تظهر في صورة خارج قسمة مقدارين جبريين (بسط ومقام)، حيث يحتوي المقام على متغير واحد على الأقل، مثل:
\(\frac{x+1}{x^{2}-4}\) أو
\(x^{-3}\)
- المقادير الجذرية: (Radical Expressions) المقادير التي تتضمن متغيرات تحت الجذور، أو مرفوعة لأسس كسرية، مثل:
\(\sqrt{x^{2}+1}\) أو
\(y^{\frac{2}{3}}\) .
التصنيف من حيث الحالة العددية
المقدار الثابت (Constant): وهو الحدّ الذي لا يحتوي على متغيرات، وتظل قيمته ثابتة مهما تغير سياق المسألة، مثل الأعداد الحقيقية
\(\pi ,5,-\frac{1}{2} \).
- المقدار المتغير: وهو الذي يتضمن متغيرًا واحدًا أو أكثر، وتتغير قيمته الكلية بناء على القيمة العددية المعوض بها محليًا للمتغيرات.
تبسيط المقادير الجبرية
تبسيط المقادير الجبرية هو عملية تهدف إلى تقليص المقدار الجبري إلى أبسط صورة ممكنة من دون إجراء أي تغيير على قيمته الأصلية، وذلك لتسهيل إجراء العمليات الحسابية عليه، يُطبّق ذلك باستخدام القواعد الجبرية الأساسية التي يمكن تلخيصها وفق ما يلي:[9]
الجمع والطرح
يمكن تبسيط المقدار الجبري بجمع الحدود الجبرية المتشابهة (التي تتشابه في شكل التعبير الجبري)، ويوضح (الجدول1) الفرق بين الحدود المتشابهة وغير المتشابهة.
[الجدول 1]
أمثلة للحدود الجبرية المتشابهة وغير المتشابهة
| الحدود المتشابهة | الحدود غير متشابهة |
|
\[x, -2x, 29x\] |
\[y^{3},y^{8},3y^{4}\] |
|
\[xy, 5xy , -35xy\] |
\[14, xy^{3},-6ty\] |
|
\[x^{5}, 4x^{5},-45x^{5}\] |
\[w, 5xy,4z\] |
|
\[x^{-2}, \frac{3}{5}x^{-2},3x^{-2}\] |
\[x^{4}, \frac{3}{5}\sqrt{t},8x^{-2}\] |
|
\[\frac{x+1}{\sqrt{z}-4},3\left(\frac{x+1}{\sqrt{z}-4}\right),\pi \left(\frac{x+1}{\sqrt{z}-4}\right)\] |
\[\frac{x+1}{x-1}, \frac{x^{2}+3}{5}, 2y\] |
في الحدود المتشابهة، يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح عليها، وذلك بجمع أو طرح المعاملات فقط مع إبقاء المتغيرات من دون أي تغيير. أمّا في الحدود غير المتشابهة فتبقى مثلما هي، ولا يمكن إجراء عليها عمليات الجمع والطرح.
مثال1 لكتابة المقدار الجبري التالي بأبسط صورة
\(3xy^{3}+6xy^{3}\) .
الحل: بما أن الحدان
\(3xy^{3}\) و
\(6xy^{3}\)، فيمكن جمعهما بجمع المعاملات وفق ما يلي:
\[6+3=9\]
فيصبح المقدار الجبري في أبسط صورة وفق ما يلي:
\(9xy^{3}\).
مثال2 لكتابة المقدار الجبري التالي بأبسط صورة
\(7z\sqrt{x}+8t+t-2z\sqrt{x}\).
الحل: باستعمال الخاصية التبديلية على الجمع يصبح المقدار على الشكل التالي:
\[7z\sqrt{x}-2z\sqrt{x}+t+8t\]
الحدان
\(7zx\) و
\(-2zx\) متشابهان، بجمع المعاملات وفق ما يلي:
\[7+(-2)=5\]
فيصبح الحدّ الجبري في أبسط صورة:
\(5z\sqrt{x}\).
الحدان
\(t\) و
\(8t\) متشابهان، كذلك بجمع معاملي الحدين وفق ما يلي:
\[8+1=9\]
فيصبح الحدّ الجبري في أبسط صورة:
\(9t\).
ويكون المقدار الجبري في أبسط صورة:
\(5z\sqrt{x}+9t\).
الضرب والقسمة
في عمليات ضرب وقسمة المقادير الجبرية، يمكن تطبيق هذه العمليات بين الأعداد (أي الثوابت)، والحدود الجبرية، أو حتى بين الحدود الجبرية بعضها مع بعض[10].
الحالة الأولى: ضرب أو قسمة مقدار جبري بعدد
في هذه الحالة، عند ضرب مقدار جبري بعدد معين أو قسمة مقدار جبري على عدد، تُطبَّق العملية على معاملات الحدود فقط، مع بقاء المتغيرات كما هي، ثم يُكتب الناتج معاملًا جديدًا للحد[11].
مثال1 لكتابة المقدار الجبري التالي بأبسط صورة
\(4\times 5z^{2}\).
الحل: نضرب العدد
\(4\) مع المعامل
\(5\):
\[4\times 5=20\]
إذًا، يكون المقدار الجبري في أبسط صورة:
\(20z^{2}\).
مثال 2 لكتابة المقدار الجبري التالي بأبسط صورة
\(\frac{12\sqrt[3]{x^{2}+1}}{4}\).
الحل: نقسم المعامل
\(12\) على العدد
\(4\):
\[\frac{12}{4}=3\]
إذًا، يكون المقدار الجبري في أبسط صورة:
\(3\sqrt[3]{x^{2}+1}\).
الحالة الثانية: ضرب أو قسمة مقدارين جبريين:
في هذه الحالة، عند ضرب أو قسمة حدود جبرية مع بعضها البعض، تُستخدم قوانين الأسس عند التعامل مع حدود جبرية، لكن تُستخدم القسمة الطويلة والتركيبية في كثيرات الحدود فقط[12]. يوضح (الجدول2) أهم خصائص الأسس التي تساعد في عمليات الضرب والقسمة بين الحدود الجبرية[13].
[الجدول 2]
قوانين الأسس
| التعبير اللفظي | الرموز |
| ضرب القوى: عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه، نجمِع الأُسس |
\[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\] |
| قسمة القوى: عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه، نطرح أُس المقام من أُس البسط |
\[\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} , a\neq 0\] |
| قوة القوة: نضرب الأُسس عند رفع قوة إلى قوة أخرى |
\[(a^{m})^{n}=a^{m\times n}\] |
| قوة حاصل ضرب: لإيجاد قوة حاصل ضرب، توزع القوة على كل عدد ثم أضرب |
\[(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\] |
| قوة ناتج قسمة: لإيجاد قوة ناتج قسمة، توزع القوة على كل عدد في البسط والمقام، ثم نقسّم |
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}} , b\neq 0\] |
مثال1: لكتابة المقدار الجبري التالي بأبسط صورة
\(4y\times 3y\).
الحل: نقوم بضرب المعاملات معًا، ثم نضرب المتغيرات معًا، مع تطبيق خاصية ضرب القوى وفق ما يلي:
\[\left(4\times 3\right)\left(y^{1}\times y^{1}\right)=12y^{2}\]
إذًا، يكون المقدار الجبري في أبسط صورة هو:
\(12y^{2}\).
مثال 2: لكتابة المقدار الجبري التالي بأبسط صورة
\(2a^{-\frac{3}{2}}(4a+b)\).
الحل: نستخدم الخاصية التوزيعية وفق ما يلي:
\[2a^{-\frac{3}{2}}\times 4a+2a^{-\frac{3}{2}}\times b\]
نضرب المعاملات والمتغيرات، ونطبق قوانين الأسس:
\[8a^{-\frac{1}{2}}+2a^{-\frac{3}{2}}b\]
إذًا، يكون المقدار الجبري في أبسط صورة هو:
\(8a^{-\frac{1}{2}}+2a^{-\frac{3}{2}}b\).
التحليل
التحليل (Factorization) هو عملية تفكيك المقدار الجبري إلى عوامل أبسط، بحيث يكون حاصل ضرب هذه العوامل مساويًا للمقدار الأصلي. بمعنى آخر، يُعد التحليل أداة مركزية في الجبر، ويُستخدم لحلّ المعادلات، تبسيط التعابير الجبرية، وتحديد جذور الدوال.
التحليل بإخراج عامل مشترك
تحليل المقدار الجبري بإخراج
العامل المشترك الأكبر لحدوده، وهي عملية عكسية لخاصية التوزيع وضرب حدّ جبري في مقدار جبري[14].
مثال1 : حلل المقدار التالي تحليلًا كاملًا
\(6kx^{2}+8k^{3}x^{5}+12k^{2}\) .
الحل: نبدأ بإيجاد العامل المشترك الأكبر للحدود التي يتكون منها المقدار الجبري، وتحليل كل حدّ إلى
عوامله الأولية وهو
\(2k \).
ثم نكتب كل حدّ على صورة ناتج ضرب العامل المشترك الأكبر في بقية العوامل:
\[6x^{2}k+8k^{3}x^{5}+12k^{2}=2k\left(3x^{2}\right)+2k\left(4k^{3}x^{5}\right)+2k\left(6k\right)\]
بإخراج العامل المشترك خارج القوس نحصل على:
\[2k\left(3x^{2}+4k^{3}x^{5}+6k\right)\]
وهو التحليل المطلوب.
تحليل ثلاثي الحدود على صورة\(x^{2}+bx+c\).
يُحلل ثلاثي الحدود على الشكل
\(x^{2}+bx+c\) بإيجاد عددين صحيحين
\(n,m\) بحيث مجموعهما يساوي
\((b)\) وحاصل ضربهم يساوي
\((c)\)[15].
\[m+n=b\]
\[m\times n=c\]
ثم كتابة
\(x^{2}+bx+c\) على شكل
\((x+m)(x+n)\).
مثال1 حلل المقدار الجبري التالي
\(x^{2}+9x+14\).
الحل: بما أن
\(c=14\) هو عدد موجب، إذا العددان
\(n,m\) لهما نفس الإشارة، إمّا كلاهما موجب، أو كلاهما سالب، وبما أن مجموعهما هو عدد موجب
\(b=9\) إذا هما عددان موجبان، لذا يمكن إنشاء جدول يبين فيه معاملات العدد
\(14\) واختزال العوامل السالبة منها مع إبقاء الموجبة، ثم اختيار العوامل التي مجموعها يساوي
\(b=9\).
[الجدول 3]
المعاملات الموجبة للعدد
\(14\)
| أزواج عوامل العدد
\(14\)الموجبة | مجموع العددين |
|
\[1,14\] |
\[15\] |
|
\[2,7\] |
\[9\] |
يوضح (الجدول3) السابق أن العاملين المعنيين هما 2,7 لأن ناتج ضربهما يساوي
\(c=14\) ، وجمعهما يساوي
\(b=9\) .
بكتابة القاعدة
\(x^{2}+9x+14=(x+m)(x+n)\) وتعويض
\(m=7\) و
\(n=2\) نحصل على:
\[x^{2}+9x+14=(x+7)(x+2)\]
وهو التحليل المطلوب.
مثال: حلل المقدار الجبري التالي
\(x^{2}+2x- 8\) .
الحل: بما أن
\(c=-8\) هو عدد سالب، إذًا العددان
\(n,m\) متعاكسان في الإشارة، وبما أن مجموعهما هو عدد موجب
\(b=2\) إذًا العدد الأكبر له الإشارة الموجبة والأصغر الإشارة السالبة، ويمكن إنشاء جدول ينظم معاملات العدد
\(-8\)، ثم اختيار العوامل التي مجموعها يساوي
\(b=2\) .
يوضح الجدول 4 السابق أن العاملين المعنيين هما
\(-2,4\)، لأن ناتج ضربهما يساوي
\(c=-8\) ،
وجمعهما يساوي\(b=2\) .
[الجدول 4]
معاملات العدد -8
|
أزواج عوامل العدد
\(- 8\) | مجموع العددين |
|
\[-1,8\] |
\[7\] |
|
\[1,-8\] |
\[-7\] |
|
\[-2,4\] |
\[2\] |
|
\[2,-4\] |
\[-2\] |
يتضح أن العاملين المناسبين هما
\(4\) و
\(-2 \).
إذًا:
\[x^{2}+9x+14=\left(x+4\right)\left(x-2\right)\]
مثال 3: حلل المقدار الجبري التالي
\(x^{2} -10x+ 16\) .
الحل: بما أن
\(c=16\) موجب، إذًا العددان
\(n,m\) لهما نفس الإشارة، إمّا كلاهما موجب أو كلاهما سالب، وبما أن مجموعهما هو عدد سالب
\(b=-10\) فإن العددين كلاهما سالب، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما
\(16\) ومجموعهم
\(-10\) .
[الجدول 5]
المعاملات السالبة للعدد
\(16\)
| أزواج عوامل العدد
\(16\) السالبة | مجموع العددين |
|
\[-1,-16\] |
\[-17\] |
|
\[-2,-8\] |
\[-10\] |
|
\[-4,-4\] |
\[-8\] |
يتضح أن العاملين المناسبين هما
\(-2,-8\)، إذًا:
\[x^{2}-10x+16=\left(x-8\right)\left(x-2\right)\]
ينتج الفرق بين مربعين من ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما، ويُكتب على الصورة:
\[a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\]
مثال1: حلل المقدار التالي
\(x^{2}- 25\).
بكتابة المقدار على صورة
\(a^{2}-b^{2}\) وفق ما يلي:
\[x^{2}-5^{2}\]
ثم تحليل الفرق بين المربعين:
\[x^{2}-5^{2}=(x+5)(x-5)\]
مثال 2: أحلل المقدار التالي
\(4x^{2}- 9y^{2}\):
بكتابة المقدار على صورة
\(a^{2}-b^{2}\) وفق ما يلي:
\[(2x)^{2}-(3y)^{2}\]
ثم تحليل الفرق بين المربعين:
\[(2x)^{2}-(3y)^{2}=(2x+3y)(2x-3y)\]
هناك طرق تحليل أخرى، تتضمن هذه الطرق القسمة التركيبية، القسمة المطولة، والتحليل باستخدام المربع الكامل، وتُستخدم عادة في تحليل المقادير الأكثر تعقيدًا التي لا تنطبق عليها الطرق المباشرة.
الاستخدامات
تُستخدم المقادير الجبرية في العديد من المجالات العلمية والعملية، حيث تُعد أداة فعالة في التعبير عن العلاقات الرياضية وتحليل النماذج المختلفة. ففي مجال الفيزياء والهندسة، تُوظف المقادير الجبرية لوصف حركة الأجسام وتحليل الدوائر الكهربائية، وتُستخدم أيضًا في تصميم الهياكل والأنظمة الإنشائية المختلفة.
أمّا في علوم الحاسوب فتؤدي المقادير الجبرية دورًا رئيسًا في تطوير الخوارزميات، ومعالجة الصور الرقمية، وتدريب نماذج الذكاء الاصطناعي، ما يسهم في تحسين أداء الأنظمة الذكية وتوسيع قدراتها. وفي مجال الاقتصاد والتمويل، تُستخدم هذه المقادير لتحليل أداء الأسواق، وحساب الفوائد المالية، والتنبؤ بالاتجاهات الاقتصادية المستقبلية.
وفي علم الأحياء والطب، تساعد المقادير الجبرية على تحليل الأنماط الوراثية، ونمذجة انتشار الأمراض، وتُستخدم في معالجة الصور الطبية لتحسين تشخيص الحالات. وتمتد تطبيقاتها، بل استخداماتها أيضًا إلى الفلك وعلوم الفضاء، حيث تُستخدم في حساب مدارات الكواكب، وتحليل الإشارات الفلكية، والمساهمة في تصميم المركبات الفضائية وتحديد مساراتها بدقة.
المراجع
العربية
حمدان، فتحي خليل. أساسيات التفاضل والتكامل. عمّان: دار وائل للنشر والتوزيع،2008.
الأجنبية
Blitzer, Robert F.
Algebra and Trigonometry. 7th (ed.). NJ: Pearson, 2022.
Corry, Leo. "Algebra."
The Stanford Encyclopedia of Philosophy. at:
https://acr.ps/hBy5OoA
Hosch, William L. "History of Algebra."
Encyclopædia Britannica. 2023. at:
https://acr.ps/hBy5P9f
O'Connor, John J. & Edmund F. Robertson. "The Development of Algebra."
MacTutor History of Mathematics Archive. at:
https://acr.ps/hBy5OPQ
Sullivan, Michael.
Algebra and Trigonometry. 11th (ed.). NJ: Pearson, 2020.
[1] Leo Corry, "Algebra,"
the Stanford Encyclopedia of Philosophy, accessed on 7/9/2026, at:
https://acr.ps/hBy5OoA
[2] Ibid.
[3] William L Hosch, "History of Algebra,"
Encyclopædia Britannica, 2023, accessed on 7/9/2026, at:
https://acr.ps/hBy5P9f
[4] Ibid.
[5] John J O'Connor & Edmund F. Robertson, "The Development of Algebra,"
MacTutor History of Mathematics Archive, accessed on 7/9/ 2026, at:
https://acr.ps/hBy5OPQ
[6] Ibid.
[7] Michael Sullivan,
Algebra and Trigonometry, 11th (ed.) (NJ: Pearson, 2020), Chapters R &1.
[8] Ibid.
[9] Robert F. Blitzer,
Algebra and Trigonometry, 7th (ed.( (NJ: Pearson, 2022), Chapters P &1.
[10] Ibid.
[11] Ibid.
[12] Sullivan,
op. cit.
[13] فتحي خليل حمدان،
أساسيات التفاضل والتكامل (عمّان: دار وائل للنشر والتوزيع، 2008).
[14] Sullivan,
op. cit.
[15] Ibid.
