أنظمة المعادلات الخطية الجبرية

الموجز

أنظمة المعادلات الخطية الجبرية (Systems of linear algebraic equations) من الموضوعات الأساسية في الجبر الخطي، إذ تمثل مجموعة من المعادلات الجبرية التي تتشارك في عدد من المجاهيل وتظهر جميعها بدرجة أولى. ويُنظر إلى هذه الأنظمة بوصفها أداة رياضية مركزية لوصف العلاقات الخطية بين المتغيرات، وتُشكّل الأساس الرياضي للتمثيل المصفوفي للمعادلات.

ترتبط بأنظمة المعادلات الخطية الجبرية مفاهيم مهمّة، مثل الصيغة الجبرية والصيغة المصفوفية للنظام، وطبيعة الحلول الممكنة له، سواء أكانت حلولًا فريدة أم متعددة أم منعدمة، وذلك بالاعتماد على مفاهيم الرتبة والاستقلال الخطي. تتعدد طرق الحل المعتمدة في الجبر الخطي، بين الطرق الجبرية المباشرة، وحذف غاوس، وقاعدة كرامر، وطريقة المصفوفة العكسية.

وتبرز أهمية دراسة أنظمة المعادلات الخطية الجبرية في تطبيقاتها الواسعة في الرياضيات والهندسة والعلوم التطبيقية، إذ تُستخدم في نمذجة الظواهر المختلفة، وحل المشكلات العملية، وبناء الخوارزميات العددية. وتمثل حجر أساس لفهم البنية الخطية للفضاءات المتجهية وتطبيقاتها النظرية والعملية.

التعريف

يُعرَّف نظام المعادلات الخطية الجبرية بأنه مجموعة من المعادلات الجبرية التي تحتوي على عدد من المجاهيل، وتظهر هذه المجاهيل في كل معادلة بصورة خطية (أي من الدرجة الأولى). وفي سياق الجبر الخطي، تُعتمد صيغ قياسية لتمثيل هذه الأنظمة مع مفاهيم أساسية تسهّل دراستها وتحليلها.

وبافتراض وجود \(m\) من المعادلات الخطية في \(n\) من المجاهيل، مثل \(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\) ، وكان \(a_{ij}\) عددًا يمثّل معامل المجهول \(x_{j}\) في المعادلة رقم \(i\)، وكانت \(b_{1},b_{2},\ldots , b_{m}\) ثوابت حقيقية، فإن نظام المعادلات الخطية يُكتب على الصورة[1]:

\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]

\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]

\[⋮\]

\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]

ويُقال إن مجموعة القيم ( \(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\)) تمثّل حلًا للنظام إذا حقّقت جميع معادلاته في آنٍ واحد.

فعلى سبيل المثال، النظام:

\[x_{1}-x_{2}=2\]

\[x_{2}=1\]

يمتلك حلًا وحيدًا هو \(x_{1}=3,x_{2}=1\) إذ إن هذه القيم تحقق معادلتي النظام معًا.

وليست جميع أنظمة المعادلات الخطية ذات حل وحيد؛ فمنها ما يمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول، ومنها ما لا يمتلك أي حل.

فمثلًا، النظام[2]:

\[2x_{1}+4x_{3}=6\]

\[x_{2}-3x_{3}=1\]

يمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول لوجود متغير حر.

بينما النظام:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

لا يمتلك حلًا، لأن المعادلتين غير متسقتين؛ إذ تمثلان مستقيمين متوازيين في المستوى الإحداثي، ما يؤدي إلى استحالة تحقق المعادلتين معًا لأي قيم حقيقية للمجاهيل.

في المراحل الأولى من دراسة الجبر، كانت أنظمة المعادلات الخطية تُحل بالطُرق الجبرية المباشرة، وأبرزها طريقة التعويض وطريقة الحذف، إذ يُتعامل مع النظام بصيغته الجبرية التقليدية. ومع تطور الجبر الخطي، ظهر التمثيل المصفوفي لأنظمة المعادلات الخطية، الذي أتاح إطارًا أكثر تنظيمًا وكفاءة في التحليل والحل.

ففي هذا التمثيل يُكتب النظام على الصورة المصفوفية التالية:

\[AX=b\]

إذ تمثل \(A\) مصفوفة معاملات المجاهيل، ويمثل \(X\)المتجه الرأسي للمجاهيل، في حين يمثل \(b\) المتجه الرأسي للثوابت في الطرف الأيمن من المعادلات. وقد أسهم هذا الأسلوب في تطوير طُرق حل جديدة تعتمد على العمليات المصفوفية، مثل الحذف الغاوسي، والضرب بالمصفوفة العكسية، وقاعدة كرامر، ما جعل التعامل مع الأنظمة الخطية أكثر عمومية ومرونة، خاصة في الأنظمة ذات الأبعاد الكبيرة. ولتوضيح ذلك، يمكن كتابة النظام[3]:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

\[x_{1}+x_{2}=0\]

على الصورة المصفوفية \(AX=b\) كما يلي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]

حيث إن:

\[A=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}\]

يلاحظ أن عدد صفوف المصفوفة \(A\) يساوي عدد معادلات النظام، وعدد أعمدتها يساوي عدد مجاهيله.

تعميمًا على طريقة كتابة أنظمة المعادلات هذه، فإن أي نظام خطي على الشكل:

\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\]

\[a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\]

\[⋮\]

\[a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\]

يمكن تمثيله بالمعادلة المصفوفية \(AX=b\) كما يلي:

\[A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{bmatrix}\]

حيث إن صفوف المصفوفة \(A\) تساوي عدد معادلاتها، وعدد الأعمدة فيها يساوي عدد المجاهيل[4].

توسع المصفوفة \(A\) بإضافة المصفوفة \(b\) بوصفها عمودًا جديدًا لنحصل على مصفوفة جديدة نرمز لها بالرمز \([A|b]\) وتسمى المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات (Augmented Matrix). إضافة إلى أن الأنظمة التي تكون فيها كل مدخلات المصفوفة \(b\) صفرًا، تسمى بالأنظمة المتجانسة (Homogeneous Systems)، عدا عن ذلك تسمى أنظمة غير متجانسة (Non-homogeneous Systems). ويسمى الحل \(x_{1}=x_{2}=\ldots =0\) في الانظمة المتجانسة بالحل البديهي (Trivial Solution). النظام الذي يحتوي على حل يسمى بنظام متسق أو متآلف (consistent)، ويسمى غير متسق (Nonconsistent) إذا لم يمتلك حلًا[5].

طرق حل أنظمة المعادلات الخطية

تتعدد طرق حل أنظمة المعادلات الخطية الجبرية، فمنها طرق مباشرة تُطبَّق على الصيغة الجبرية للنظام مثل طريقة الحذف وطريقة التعويض، ومنها طرق تعتمد على التمثيل المصفوفي للنظام مثل طريقة المصفوفة العكسية وقاعدة كرامر (Cramer’s Rule) وطريقة حذف غاوس (Gaussian Elimination) وطريقة حذف غاوس جوردان (Gauss-Jordan Elimination، تمثل هذه الطُرق مدخلًا أساسيًا لفهم طبيعة الحلول (حل وحيد، أو حلول لا نهائية، أو عدم وجود حل) وكيفية توصيفها بصورة منهجية.

طريقة الحذف

تُعَدّ طريقة الحذف (Elimination Method) من أبسط الطُرق لحل أنظمة المعادلات الخطية، وتعتمد على إجراء عمليات جبرية على المعادلات (جمعًا أو طرحًا أو ضربًا في ثابت غير صفري) بهدف إلغاء أحد المجاهيل وتقليل عددها تدريجيًا. ففي نظام مكوَّن من معادلتين، تُجرى عمليات مناسبة على المعادلتين لإلغاء أحد المتغيرين، فتنتج معادلة بمتغير واحد يمكن حلها، ثم تُستخدم القيمة الناتجة لإيجاد المتغير الآخر بالتعويض.

تبدأ هذه الطريقة عادةً بترتيب المعادلات بحيث تظهر المجاهيل بالترتيب نفسه في جميع المعادلات. ثم يُختار مجهول للحذف، وتُوحَّد معاملاته في معادلتين أو أكثر إمّا بجعلها متساوية ومختلفة الإشارة لتُحذف بعملية الجمع، وإما متساوية ومتماثلة الإشارة لتُحذف بعملية الطرح. وتتكرر العملية للوصول إلى معادلة يسهل حلها، ثم تُستعاد القيم الأخرى بالتعويض في المعادلات السابقة[6].

مثال توضيحي، في النظام الآتي:

\[x+2y=4\]

\[3x-y=5\]

الحل بطريقة الحذف:

بداية، يُختار مجهول لحذفه، وليكن \(y\) مثلًا. توحد معاملات المجهول \(y\) في المعادلتين بضرب المعادلة الثانية بالعدد \(2\) :

\[x+2y=4\]

\[6x-2y=10\]

يلاحظ أن المعاملات متساوية في القيمة غير أنها مختلفة في الإشارة، لذا يمكن تطبيق عملية الجمع على هاتين المعادلتين لحذف المجهول \(y\) كما يلي:

\[\left(x+2y\right)+\left(6x-2y\right)=\left(4\right)+\left(10\right)\implies 7x=14\]

وبالتالي أصبح بالإمكان إيجاد حل هذه المعادلة البسيطة للمجهول \(x\) ، وتكون قيمته \(x=2\) .

وبتعويض هذه القيمة الناتجة بأي معادلة من المعادلات المعطاة، ينتج ما يلي:

\[2+2y=4\implies y=1\]

وهي قيمة المجهول \(y\) ، لذا فإن حل هذا النظام هو \(x=2, y=1\) .

طريقة التعويض

تتميز طريقة التعويض (Substitution Method) ببساطتها ووضوح خطواتها، إذ تعتمد على التعبير عن أحد المجاهيل بدلالة مجهول آخر في إحدى المعادلات، ثم تعويض هذا التعبير في المعادلات الأخرى لتقليل عدد المجاهيل تدريجيًا. فعلى سبيل المثال، في نظام مكوّن من معادلتين خطيتين، يمكن حل إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة أحد المجاهيل بدلالة الآخر، ثم تعوض هذه القيمة في المعادلة الثانية، ما ينتج معادلة جديدة تحتوي على مجهول واحد فقط يمكن حله بسهولة. بعد إيجاد قيمة هذا المجهول، تستخدم هذه القيمة لإيجاد المجهول الآخر بالتعويض في المعادلة الأصلية.

تبدأ طريقة التعويض باختيار معادلة مناسبة للعزل فقط وتحديد المجهول الأنسب لأن يعزل عن غيره من المجاهيل، ويحدد ذلك بناء على طبيعة المعاملات، بعد ذلك يُعوّض في باقي المعادلات للحصول على معادلات أبسط. وفي حال أن النظام يجب أن يكون قابلًا للحل تُكرر هذه العملية حتى تُحدد جميع قيم المجاهيل[7].

ففي المثال السابق نفسه:

\[x+2y=4\]

\[3x-y=5\]

الحل:

يبدأ باختيار المجهول المراد عزله، وليكن \(x\) مثلًا في المعادلة الاولى، ثم يُعزل هذا المجهول بوضعه موضعًا للقانون كما يلي:

\[x+2y=4 \implies x=4-2y\]

بعد ذلك تُعوض قيمة هذا المجهول في المعادلة الثانية كما يلي:

\[3x-y=5\implies 3\left(4-2y\right)-y=5\implies 12-7y=5\]

ثم تُحل المعادلة الناتجة بالطرق التقليدية، فيكون حلها هو \(y=1\) ، ونعوّض هذه القيمة في أي من معادلات النظام لإيجاد قيمة المجهول الآخر كما يلي:

\[x+2y=4\implies x+2\left(1\right)=4\implies x=2\]

لذا يكون حل النظام هو \(x=2, y=1\) .

طريقة المصفوفة العكسية

عند تمثيل النظام الخطي بصيغة مصفوفية، يمكن كتابة النظام على شكل مصفوفة معاملات مضروبة في متجه المجاهيل تساوي متجه الثوابت. وإذا كانت مصفوفة المعاملات مربعة (أي عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل) وكانت قابلة للعكس، فيمكن ضرب طرفي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات للحصول على متجه الحل مباشرة.

ويشترط لتطبيق الطريقة:

1. أن تكون مصفوفة المعاملات مربعة (عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل).
2. أن تكون مصفوفة المعاملات قابلة للعكس، ومحددها غير صفري.

يمكن الملاحظة في النظام المكتوب على الصيغة المصفوفية \(AX=b\) ، أنه إذا ضُرب طرفا المعادلة في المصفوفة العكسية \(A^{-1}\) من اليسار، نحصل على الشكل \(X=A^{-1}b\) ، ما يتيح إيجاد قيم المجاهيل بسهولة عبر حساب حاصل الضرب الموجود في يمين المعادلة ثم مساواة العناصر المتناظرة. إلا أن تطبيق هذه الطريقة يتطلب التأكد أولًا من وجود المصفوفة العكسية \(A^{-1}\)، والتي لا تكون موجودة إلا إذا كانت المصفوفة \(A\) غير مفردة، أي أن محددها لا يساوي الصفر. وبما أن المحدد يُعرّف فقط للمصفوفات المربعة، فإن هذه الطريقة تصلح فقط عندما تكون المصفوفة \(A\) مربعة (أي عندما يكون عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل) ومحددها غير صفري[8].

وبناءً عليه، فإن طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية تستخدم فقط في الأنظمة التي تحقق هذين الشرطين، وهو ما يشكّل الأساس لتحديد إمكانية تطبيقها في حل أنظمة المعادلات الخطية.

فمثلًا النظام الآتي:

\[3x_{1}-5x_{2}=-2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=-4\]

الشرط الأول فيه لمعرفة إمكانية استعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية متحقق، وهو أن عدد معادلاته مساو لعدد المجاهيل فيه، أما الشرط الثاني فهو دراسة محدد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\) كما يلي:

\[\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}=6-30=-24\neq 0\]

وبما أنه غير صفري، يمكن استعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية.

أما النظام الآتي:

\[3x_{1}-x_{2}=2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

\[x_{1}+x_{2}=0\]

فهو مباشرة غير قابل للحل باستعمال طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية، وذلك لأن عدد معادلاته لا يساوي عدد المجاهيل فيه.

غير أنه في النظام الآتي:

\[3x_{1}-x_{2}=5\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=3\]

على الرغم من أن عدد معادلاته يساوي عدد المجاهيل فيه، فإنه أيضًا غير قابل للحل باستخدام طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية، وذلك لأن محدد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\) يساوي الصفر:

\[\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}=6-6=0\]

وبعد توضيح المبدأ التي تعمل عليه طريقة الضرب بالمصفوفة العكسية، يمكن عرض المثال الآتي لإظهار تفاصيل تطبيق هذه الطريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية:

مثال: لإيجاد حل نظام المعادلات الخطية الآتي:

\[3x_{1}-5x_{2}=-2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=-4\]

الحل:

بداية يُكتب النظام على شكل معادلة مصفوفية كما يلي:

\[\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}\]

من الواضح ان عدد معادلات النظام مساو لعدد مجاهيله. أما بالنسبة لمحدد مصفوفة المعاملات فهو كما يلي غير مساوٍ للصفر:

\[\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}=6-30=-24\]

لذا فيمكن تطبيق طريق الضرب بالمصفوفة العكسية. بداية تحسب معكوس مصفوفة المعاملات فتكون على الشكل:

\[\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}^{-1}=-\frac{1}{24}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{12} & -\frac{5}{24} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}\]

وتكون المعادلة المصفوفية \(X=A^{-1}b\) التي تمثل الحل هي:

\[\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{12} & -\frac{5}{24} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

وبتساوي العناصر المتقابلة يكون حل النظام هو \(x_{1}=x_{2}=1\).

قاعدة كرامر

اشتهر عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (Gabriel Cramer، 1704-1752)، بهذه القاعدة التي تستخدم المحددات لحل أنظمة المعادلات الخطية. وقد ساهم في تطوير الجبر الخطي والهندسة الجبرية، وترك أثرًا بارزًا في طرق التحليل الرياضي.

تُستخدم قاعدة كرامر في الأنظمة التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المجاهيل، بحيث تكون مصفوفة المعاملات مربعة. ويكون شكل حل النظام الخطي \(AX=b\) كما يلي[9]:

\[x_{1}=\frac{\det\left(A_{1}\right)}{\det\left(A\right)}, x_{2}=\frac{\det\left(A_{2}\right)}{\det\left(A\right)}, \ldots , x_{n}=\frac{\det\left(A_{n}\right)}{\det\left(A\right)}\]

إذ إن \(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\) هي مجاهيل النظام المراد معرفة قيمهم. أما \(A_{1}\) هي مصفوفة المعاملات، بعد تبديل العمود الأول فيها بالمصفوفة الراسية \(b\)، والأمر نفسه لـ \(A_{2}\) . أي أن \(A_{j}\) هي مصفوفة المعاملات، بعد وضع المصفوفة \(b\) عمودًا بدلًا من العمود \(j\) . وتسمى بمحددات كرامر الجزئية.

أي إن قاعدة كرامر تضمن وجود حل وحيد لنظام المعادلات الخطية بمجرد التحقق من أن محدد مصفوفة معاملات النظام لا يساوي الصفر. ولذلك، إذا كان \(\det\left(A\right)=0\)، فإن قاعدة كرامر لا تُستخدم لإعطاء حل ولا يعني أن النظام لا يملك حلًا.

يمكن القول إن الأنظمة التي يكون فيها محدد مصفوفة المعاملات صفرًا ( \(\det\left(A\right)=0\))، وواحد على الأقل من المحددات الجزئية غير صفري، تعد أنظمة غير متسقة ولا تمتلك حلولًا. أما إذا كان محدد المصفوفة وجميع المحددات الجزئية يساوي الصفر، فقد يكون النظام متسقًا بحلول لا نهائية أو غير متسق بلا حل، ويُحسم الأمر بالرتبة أو بالحذف الغاوسي[10].

فمثلًا، لحل نظام المعادلات السابق بطريقة قاعدة كرامر تُتبع الخطوات الآتية:

\[3x_{1}-5x_{2}=-2\]

\[-6x_{1}+2x_{2}=-4\]

الحل:

محدد مصفوفة المعاملات \(\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{bmatrix}\) لا يساوي الصفر، إذًا النظام له حل وحيد، ويكون كما يلي:

\[x_{1}=\frac{\det\left(A_{1}\right)}{\det\left(A\right)}, x_{2}=\frac{\det\left(A_{2}\right)}{\det\left(A\right)}\]

\[x_{1}=\frac{\begin{vmatrix} -2 & -5 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}}, x_{2}=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -6 & -4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}}\]

\[x_{1}=\frac{-4-20}{6-30}, x_{2}=\frac{-12-12}{6-30}\]

\[x_{1}=1, x_{2}=1 \]

وهو حل النظام الوحيد.

طريقة حذف غاوس

تُنسب طريقة حذف غاوس (Gaussian Elimination)، إلى عالم الرياضيات كارل فريدريش غاوس (Carl Friedrich Gauss، 1777-1855)، وهي من أهم الطرق المنهجية لحل أنظمة المعادلات الخطية.

تعتمد هذه الطريقة على معالجة أنظمة المعادلات الخطية بصيغتها العامة، سواء أكان عدد المعادلات أكبر من عدد المجاهيل، أو أقل منه، أو مساويًا له. وتقوم هذه الطريقة على تحويل النظام إلى صيغة أبسط مكافئة له باستخدام مفاهيم أساسية في الجبر الخطي، من أبرزها العمليات الصفية الأولية، والتكافؤ الصفي للمصفوفات، والشكل الصفي المتدرج[11]:

1. العمليات الصفية الأولية (Elementary Row Operations)

العمليات الصفية الأولية هي مجموعة من العمليات الجبرية التي تُجرى على صفوف المصفوفات بهدف تحويلها إلى شكل أبسط مع الحفاظ على مجموعة حلول النظام. وتشمل هذه العمليات ما يلي:

أ. تبديل صفّين من صفوف المصفوفة، ويُرمز لها بالصيغة \((R_{i}⟷R_{j})\).

ب. ضرب صفّ من صفوف المصفوفة بعدد غير صفري، ويُرمز لها بالصيغة \((R_{i}⟷kR_{i})\).

ج. جمع أو طرح مضاعف صف من صف آخر، ويُرمز لها بالصيغة \((kR_{i}+R_{j})\).

إذ يرمز \(R_{i}\) الى الصف رقم \(i\) ، و \(k\) عددًا حقيقيًا غير صفري.

والمصفوفة التالية مثالٌ على ذلك:

\[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 6 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{R_{1}⟷R_{3}}\begin{bmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 5 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{5R_{2}}\begin{bmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 30 & 25 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-2R_{3}+R_{1}}\begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 \\ 0 & 30 & 25 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\]

2. التكافؤ الصفي للمصفوفات (Row Equivalent)

يقال إن مصفوفتين \(A,B\) متكافئتين صفيًا إذا أمكن الحصول على إحداهما من الأخرى بإجراء عدد منتهٍ من العمليات الصفية الأولية. ويُرمز لهذا التكافؤ بالرمز \(A~B\).

3. الشكل الصفي المتدرج (Row Echelon Form)

يقال عن مصفوفة ما إنها ذات شكل صفي متدرج (Row Echelon Form) إذا حققت ما يلي:

أ. أن يكون أول عنصر غير صفري في كل صف غير صفري، مساويًا للعدد 1، ويُسمّى العنصر القيادي.

ب. أن تكون الصفوف الصفرية (إن وُجدت) في أسفل المصفوفة.

ج. إذا وُجد صفّان غير صفريين، فإن موقع العنصر القيادي في الصف الأعلى يكون إلى يسار موقع العنصر القيادي في الصف الذي يليه.

وتُعد هذه الشروط معيارًا أساسيًا لتحديد ما إذا كانت المصفوفة في الصيغة المطلوبة لتطبيق حذف غاوس.

فمثلًا، جميع المصفوفات الآتية هي مصفوفات على صيغة درجية صفية:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -7 & 5 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

أما المصفوفات الآتية فهي ليست على صيغة درجية صفية:

\[\begin{bmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

تعتمد طريقة حذف غاوس في حل أنظمة المعادلات الخطية على تمثيل النظام في صورة مصفوفة موسعة تضم معاملات المتغيرات والثوابت، ثم إجراء عمليات صفية أولية لتحويلها إلى شكل صفي متدرج. بعد ذلك يعاد كتابة النظام المكافئ للمصفوفة الناتجة، إذ تُصنَّف المتغيرات إلى قيادية وحرة تبعًا لمواقع العناصر القيادية في الصفوف. فالمتغيرات التي تقابل عناصر قيادية تُسمّى متغيرات قيادية (Leading Variables)، أما الباقية فتُعدّ متغيرات حرة (Free Variables) لأنها يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية. وقد تُستخدم هذه القيم الحرة في تحديد قيم المتغيرات الأخرى عبر التعويض، ما يتيح وصف مجموعة الحلول الممكنة للنظام بدقة ومنهجية واضحة[12].

والمثال الآتي يُوضح منهجية عمل هذه الطريقة:

\[s_{1}+s_{2}+s_{3}=2\]

\[2s_{1}-s_{2}+s_{3}=3\]

الحل:

بكتابة المصفوفة الموسعة وإجراء عمليات الصف الاولية:

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-2R_{1}+R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-\frac{1}{3}R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\]

وهي مصفوفة ذات شكل صفي متدرج، وبكتابة النظام المكافئ:

\[s_{1}+s_{2}+s_{3}=2\]

\[0s_{1}+s_{2}+\frac{1}{3}s_{3}=\frac{1}{3}\]

العنصر القيادي في الصف الأول في المصفوفة السابقة يكافئ موقعه موقع المجهول \(s_{1}\) ، لذا فان هذا المجهول يسمى مجهولًا قياديًا (Leading Variable)، وكذلك الأمر بالنسبة للمجهول \(s_{2}\) . أما المجهول الأخير الذي لا يحل موقع العنصر القيادي في صف لوحده في المصفوفة فإنه يسمى مجهولًا حرًا (Free Variable). يأخذ المتغير الحر جميع القيم الحقيقية، لذا يفرض بمتغير عام ينتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، وليكن \(t\)، إذا:

\[s_{3}=t⟶s_{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t⟶s_{1}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}t\]

لذا فإن النظام يمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول، وتكون حلوله على الشكل:

\[s_{3}=t, s_{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}t, s_{1}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}t, t\mathbb{∈R} \]

طريقة حذف غاوس جوردان

تُعَدّ طريقة حذف غاوس جوردان امتدادًا طبيعيًا لطريقة حذف غاوس، إذ تعتمد على المفاهيم نفسها المستخدمة في الحذف الغاوسي، مثل العمليات الصفية الأولية والتكافؤ الصفي للمصفوفات، غير أنّها تتميّز عنها بالسعي إلى الوصول إلى الشكل الصفي المتدرج المبسّط بدلًا من الاكتفاء بالشكل الصفي المتدرج العادي. ويصاغ هذا المفهوم رياضيًا كما يلي[13]:

تصل المصفوفة إلى الشكل الصفي المتدرج المبسط (Reduced Row Echelon Form) إذا تحققت الشروط الآتية:

أ. أن تكون المصفوفة في الشكل الصفي المتدرج.

ب. أن يكون كل عنصر قيادي مساويًا للعدد 1.

ج. أن تكون جميع العناصر الأخرى في العمود الذي يحتوي على عنصر قيادي مساوية للصفر، عدا العنصر القيادي نفسه.

وبناءً على هذه الشروط، فإن المصفوفات الآتية في الشكل الصفي المتدرج المبسّط:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\]

أما المصفوفات الآتية فليست في الشكل الصفي المتدرج المبسّط:

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

آلية عمل الطريقة

تعتمد طريقة حذف غاوس جوردان على تمثيل النظام في صورة مصفوفة موسعة تضم معاملات المتغيرات والثوابت، ثم إجراء عمليات صفية أولية لتحويلها إلى شكل صفي متدرج مبسط. بعد ذلك يُعاد تطبيق الخطوات نفسها في طريقة حذف غاوس العادي، إذ يكتب النظام المكافئ للمصفوفة الناتجة، وتُصنَّف المتغيرات إلى قيادية وحرّة تبعًا لمواقع العناصر القيادية في الصفوف. فالمتغيرات التي تقابل عناصر قيادية تُسمّى متغيرات قيادية (Leading Variables)، أما الباقية فتُعدّ متغيرات حرة (Free Variables) لأنها يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية. وقد تُستخدم هذه القيم الحرة في تحديد قيم المتغيرات الأخرى عبر التعويض، ما يتيح وصف مجموعة الحلول بشكل دقيق وواضح.

ولتوضيح آلية عمل هذه الطريقة، يُحل نظام المعادلات الخطية الآتي:

\[a+b=1\]

\[a+b=2\]

\[2a-b=0\]

بكتابة المصفوفة الموسعة وتحويلها إلى شكل صفي متدرج بعمليات الصف الأولية:

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-R_{1}+R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-2R_{1}+R_{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{R_{2}⟷R_{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\[\underset{\rightarrow}{-\frac{1}{3}R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-R_{2}+R_{1}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-\frac{1}{3}R_{3}+R_{1}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\underset{\rightarrow}{-\frac{2}{3}R_{3}+R_{2}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

وعند كتابة النظام المكافئ:

\[a+0b=0\]

\[0a+b=0\]

\[0a+0b=1\]

بما أن قيم \(a,b\) في أول معادلتين هي صفر، وفي المعادلة الثالثة غير صفرية، فإن النظام غير متسق ولا يملك أي حل.

لا تقتصر طرق حل أنظمة المعادلات الخطية على الطُرق الجبرية والمصفوفية المباشرة، بل توجد العديد من الطرق الأخرى التي تُستخدم على نطاق واسع في الجبر الخطي التطبيقي والتحليل العددي. من أبرز هذه الطُرق: تحليل LU (LU Decomposition)، وتحليل QR (QR Decomposition)، والتحليل الطيفي (Spectral Decomposition)، إضافة إلى الطرق التكرارية مثل طريقة جاكوبي (Jacobi Method)، وطريقة غاوس زايدل (Gauss-Seidel Method)، وطريقة التدرج المترافق (Conjugate Gradient Method) وتُستخدم هذه الطرق بكثرة في حل الأنظمة الكبيرة أو المتناثرة، وفي التطبيقات العلمية والهندسية التي تتطلب كفاءة حسابية عالية.

تطبيقات

تُعَدّ أنظمة المعادلات الخطية الجبرية أداةً رياضيةً أساسيةً تُستخدم على نطاقٍ واسع في العديد من مجالات العلوم التطبيقية والنظرية. ففي الرياضيات، تُستَخدم هذه الأنظمة في حل المشكلات الجبرية والهندسية، مثل تحديد نقاط تقاطع المستقيمات والمستويات في الفضاءات المختلفة، ودراسة علاقات الاعتماد والاستقلال الخطي بين المتغيرات.

أما في الفيزياء والهندسة، فتؤدي أنظمة المعادلات الخطية الجبرية دورًا محوريًا في تحليل الدوائر الكهربائية ذات التيارات المستقرة، وحساب القوى المؤثرة على الأجسام في حالات التوازن السكوني، وحل مسائل التراكيب الإنشائية، حيث تُفترَض العلاقات الخطية بين المتغيرات. وفي الاقتصاد والإحصاء، تُستخدم هذه الأنظمة في نمذجة العلاقات الخطية بين المتغيرات الاقتصادية، وتقدير معاملات نماذج الانحدار الخطي الجبري، وتحليل التوازن في النماذج الاقتصادية الساكنة.

وتظهر تطبيقات أنظمة المعادلات الخطية الجبرية في علوم الحاسوب، لا سيّما في الخوارزميات العددية، ومعالجة الصور، وتحليل البيانات، إذ تُستخدم لحل مشكلات جبرية ذات أبعاد كبيرة بكفاءة حسابية عالية. وتمتد هذه التطبيقات كذلك إلى العلوم البيئية لوصف العلاقات التقريبية الخطية بين العوامل الطبيعية في النماذج الساكنة.

وبذلك تُشكّل أنظمة المعادلات الخطية الجبرية لغةً رياضيةً موحّدة تربط بين مختلف التخصصات العلمية، وتُعَدّ من الركائز الأساسية في النمذجة الجبرية، والتحليل الكمي، وحل المشكلات متعددة المتغيرات في العلوم الحديثة[14].

[1] معروف عبد الرحمن سمحان، وعلي بن عبد الله السحيباني، وفوزي بن أحمد الذكير، الجبر الخطي وتطبيقاته، ط 2 (الرياض: مكتبة العبيكان، 2006)، الفصل 3.

[2] المرجع نفسه.

[3] المرجع نفسه.

[4] المرجع نفسه.

[5] Howard Anton & Chris Rorres, Elementary Linear Algebra, 11^th ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2013), ch. 1.

[6] “The Elimination Method,” Mathematics LibreTexts, accessed on 13/10/2025, at: https://acr.ps/hBxSoIc

[7] “Solving Systems of Linear Equations by Substitution,” Mathematics LibreTexts, accessed on 13/10/2025, at: https://acr.ps/hBxSoG9

[8] Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, 4^th ed. (Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006), ch 2.

[9] Anton & Rorres, ch. 2, 4; Gilbert, op. cit.

[10] “Kronecker-Capelli Theorem,” Encyclopedia of Mathematics, accessed 22/7/2026, at: https://acr.ps/hByaR6G; Anton & Rorres, pp. 118-131, 248-259; Lynn Marecek, Intermediate Algebra (Houston, TX: OpenStax, 2019), pp. 446-459.

[11] Anton & Rorres, op. cit.; Gilbert, op. cit.

[12] Ibid.

[13] Ibid.

[14] R. Meher, Linear Algebra with Its Applications (New York: River Publishers, 2025).

المراجع

العربية

سمحان، معروف عبد الرحمن، وعلي بن عبد الله السحيباني، وفوزي بن أحمد الذكير. الجبر الخطي وتطبيقاته. ط 2. الرياض: مكتبة العبيكان، 2006.

الأجنبية

Anton, Howard, & Chris Rorres. Elementary Linear Algebra. 11^th ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2013.

“Kronecker-Capelli Theorem.” Encyclopedia of Mathematics. at: https://acr.ps/hByaR6G

Marecek, Lynn. Intermediate Algebra. Houston, TX: OpenStax, 2019.

Meher, Ramakant. Linear Algebra with Its Applications. New York: River Publishers, 2025.

“Solving Systems of Linear Equations by Substitution.” Mathematics LibreTexts. at: https://acr.ps/hBxSoG9

Strang, Gilbert. Linear Algebra and its Applications. 4^th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006.

“The Elimination Method.” Mathematics LibreTexts. at: https://acr.ps/hBxSoIc