القيمة المطلقة

القيمة المطلقة، المعروفة أيضًا بالمقياس، هي مقدار عددي يُعبِّر عن المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد {{خط الأعداد:(Number Line) هو تمثيل خطي يُستخدم لعرض الأعداد بترتيبها الحقيقي. يكون خطًا مستقيمًا، ويُحدَّد عليه الصفر في المنتصف، وتزداد الأعداد نحو اليمين (موجبة) وتتناقص نحو اليسار (سالبة). يُساعد في فهم المقارنة والجمع والطرح، وتمثيل الأعداد النسبية والعشرية بصريًا ومنطقيًا.}} بغض النظر عن إشارته. تُستخدم القيمة المطلقة لقياس المسافة أو المقدار الكمي من دون الاهتمام بالاتجاه. من الناحية الهندسية، تمثل القيمة المطلقة المسافة الفعلية من الصفر، لذلك فهي دائمًا عدد غير سالب.

في الأعداد المركبة، تُعد القيمة المطلقة لعدد مركب المسافةَ بين النقطة التي تمثل العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى الديكارتي. في الهندسة والتحليل الرياضي، تُعبر القيمة المطلقة عن الطول أو المسافة بين نقطتين، من دون النظر إلى الاتجاه، وتستخدَم بشكل واسع في قياس المسافات في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد. وفي الفيزياء، تعبّر القيمة المطلقة عن كمية مادية، بغض النظر عن اتجاهها، مثل السرعة أو القوة أو التسارع، إذ إن التركيز على مقدار الكمية فقط، وليس على اتجاهها.

تعريفها

القيمة المطلقة من المفاهيم الأساسية في الرياضيات، وتعبر عن المسافة بين عدد معين والصفر، ويرمَز لها بالرمز | \(a\)|، وتقرأ القيمة المطلقة للعدد \(a\). وبما أن المسافة لا يمكن أن تكون مقدارًا سالبًا، فإن القيمة المطلقة لأي عدد إما أن تساوي الصفر وإما تكون مقدارًا موجبًا، فمثلًا \(\left|-3\right|=\left|3\right|=3\)، وهذا بسبب أن كلًّا من \(3\) و \(-3\) يبعدان عن الصفر مسافة مقدارها \(3\) وحدات (الشكل 1)[1].

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

القيمة المطلقة هي دالة متشعبة (Piecewise function)، وتُعرف رياضيًا على النحو الآتي:

\[\left|x\right|=\begin{cases} x, & x\leq 0, \\ -x, & x>0. \end{cases}\]

ويمكن كتابة القيمة المطلقة بالشكل الآتي:

\[\left|x\right|=\max\left\{x,-x\right\},\]

أو

\[\left|x\right|=\sqrt{x^{2}}\]

كذلك يمكن تمثيل دالة القيمة المطلقة على المستوى الديكارتي (الشكل 2).

​​[الشكل 2]

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

بمعنى آخر، القيمة المطلقة تحوّل الأعداد السالبة إلى موجبة، في حين أن الأعداد الموجبة تظل كما هي، ما يجعلها تعبّر عن المقدار فقط، من دون الاهتمام بالإشارة.

في الأعداد المركبة، تُعرف القيمة المطلقة بأنها المقدار أو القيمة العددية، من دون الاهتمام بالاتجاه (Magnitude). بمعنى آخر، تُعرف القيمة المطلقة لعدد مركب \(z\) بأنها المسافة بين النقطة التي تُمثل العدد المركب في المستوى المركب {{المستوى المركب:تمثيل هندسي للأعداد المركبة كنقاط في مستوى ثنائي الإحداثيات، إذ يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي، ويمثل المحور العمودي الجزء التخيلي. يُستخدم في التحليل المركب وتصوير التحويلات.}} ونقطة الأصل (0,0).

إذا كان العدد المركب \(z\) يُكتب بالشكل التالي \(z=x+iy\)، فإنه يُعرّف مقياس العدد المركب \(|z|\) على أنه المسافة التي يبتعدها عن نقطة الأصل، ويقاس كما يأي[2]:
\[\left|z\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

القيمة المطلقة للمتجه، التي تُعرف أيضًا باسم طول المتجه أو المقدار (Magnitude) من دون الاهتمام بالاتجاه، تُمثل طول المتجه في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد، وتُحسَب باستخدام الصيغة العامة لنظرية فيثاغورس. في الفضاء ثنائيالأبعاد، إذا كان هناك متجه في المستوى الديكارتي على الشكل \(v=\left(x,y\right)\)، فإن مقدار المتجه أو طوله يُحسبان وفق الصيغة:[3]

\[\left|v\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \]

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، إذا كان هناك متجه بالشكل \(v=\left(x,y,z\right)\)فإن طوله يُحسب بالصورة:[4]

\[\left|v\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \]

خصائصها

للقيمة المطلقة عدة خصائص رياضية مهمة، تجعلها أداة قوية في التحليل الرياضي لأي عددين حقيقيين \(x\)، \(y\)[5].

1. \(\left|x\right|\geq 0 \).
2. \(\left|-x\right|=\left|x\right|\)، ومنها يستنتج أن \(\left|x-y\right|=\left|y-x\right|\) .
3. \(\sqrt{x^{2}}=\left|x\right|\).
4. \(\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|\).
5. \(\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}\) بحيث إن \(y\neq 0\).
6. \(\left|x\right|=0\Rightarrow x=0\).
7. لتكن \( \left|x\right|=a\)فإن \(x=+a \) او \(x=-a\).
8. لتكن \( \left|x\right|=\left|y\right|\)فإن \(x=+y \) او \(x=-y\).
9. \(\left|x\right|\leq a\) إذا وفقط إذا \(-a\leq x\leq a\)، وهي متحققة في حالة عدم وجود مساواة.
10. \(\left|x\right|\geq a\) إذا وفقط إذا \(x\geq a\) او \(x\leq -a\)، وهي متحققة في حالة عدم وجود مساواة.
11. \(\left|x+y\right|\leq \left|x\right|+\left|y\right|\). (خاصية المتباينة المثلثية).

لبرهان خاصية المتباينة المثلثية، يُلحَظ أن:

\[\left(x+y\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\left|x\right|^{2}+2xy+\left|y\right|^{2},\]

وحيث إن \(xy\leq \left|x\right|\left|y\right|\) متحققة دائمًا، فإن:

\[\left|x\right|^{2}+2xy+\left|y\right|^{2}\leq \left|x\right|^{2}+2\left|x\right|\left|y\right|+\left|y\right|^{2}=\left|\left|x\right|+\left|y\right|\right|^{2}.\]

\[\left(x+y\right)^{2}\leq \left|\left|x\right|+\left|y\right|\right|^{2}.\]

وبأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المتباينة، تكون خاصية المتباينة المثلثية متحققة:

\[\left|x+y\right|\leq \left|x\right|+\left|y\right|.\]

دالة القيمة المطلقة من الممكن أن تحتوي على مقدار جبري معين مثل:[6]

\(f\left(x\right)=\left|2x -3\right|,\)\(g\left(x\right)=\frac{1}{2}\left|x\right|+1,\)\(h\left(x\right)=|\sin x|\).

مثال: لإيجاد قيم \(x\) التي تجعل \(\left|2x-1\right|=5\).

الحل: باستخدام الخاصية رقم (7) لأي عددين حقيقيين \(x\) و \(y\)، إذا كانت \( \left|x\right|=a\) فإن \(x=+a \) أو \(x=-a\). وبناء عليه، إذا كانت \(\left|2x-1\right|=5\) فإن \(2x-1=5\) أو \(2x-1=-5\)، وبحل المعادلتين تكون قيم \(x\) إما 3 وإما -2، كما هو موضح في الآتي:

\[2x-1=5 \Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3 \\ 2x-1=-5\Rightarrow 2x=-4\Rightarrow x=-2\Rightarrow x=3,-2 \]

مثال: لإيجاد قيم \(t\) التي تجعل \(\left|t-1\right|=\left|t^{2}-1\right|\).

الحل: باستخدام الخاصية نفسها في المثال السابق، فإن:

\[\left|t-1\right|=\left|t^{2}-1\right|\Rightarrow \begin{cases} t^{2}-1=t-1 \Rightarrow t\left(t-1\right)=0 \Rightarrow t=0, & 1. \\ t^{2}-1=-\left(t-1\right)\Rightarrow \left(t+2\right)\left(t-1\right)=0\Rightarrow t=1, & -2. \end{cases}\]

وبذلك \(t=-2,0,1\)

في المثالَيْن الآتيين، المطلوب إيجاد فترات الحل باستخدام خصائص القيمة المطلقة، وذلك في حال كانت القيمة المطلقة أصغر من ثابت، وكذلك عندما تكون القيمة المطلقة أكبر من ثابت.

مثال: لإيجاد الفترات التي تنتمي إليها \(x\)، إذ \(\left|4x+3\right|\leq 9\).

الحل: باستخدام الخاصية رقم (9)، \(\left|x\right|\leq a\) إذا وفقط إذا \(-a\leq x\leq a\)، فإن:

\[\left|4x+3\right|\leq 9 \Rightarrow -9\leq 4x+3\leq 9 \]

\(\Rightarrow -12\leq 4x\leq 6\)

وبقسمة حدود المتباينة جميعها على العدد 4 يكون:

\[\Rightarrow -3\leq x\leq \frac{3}{2} \]

\(\Rightarrow x\in \left[-3,\frac{3}{2}\right]\).

مثال: لإيجاد الفترات التي تنتمي إليها \(y\) بحيث \(\left|y-1\right|>1\)

الحل: باستخدام الخاصية رقم (10)، \(\left|x\right|>a\) إذا وفقط إذا \(x>a\) او \(x<-a\)

\(\left|y-1\right|>1 \Rightarrow y-1>1 \lor y-1<-1\)

\(\Rightarrow y>2 ⋁_{}^{} y<0\)

\(\Rightarrow y<0 ⋁_{}^{} y>2\)

\(\Rightarrow y\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,\infty \right)\)

تُسمّى عملية تحويل دالة القيمة المطلقة إلى دالة متشعبة، بعملية إعادة تعريف دالة القيمة المطلقة، إذ إنها تساعد في دراسة خواص هذا الدالة، وإجراء العمليات المختلفة عليها، كالاشتقاق والتكامل وحساب النهايات وغيرها من العمليات. في حال أن القيمة المطلقة تحتوي على مقدار جبري، على سبيل المثال \(f\left(x\right)=\left|g(x)\right|\)، فإن عملية إعادة تعريف القيمة المطلقة على شكل دالة متشعبة، تكون باتباع الخطوات الآتية[7]:

1. تحديد أصفار الدالة {{أصفار الدالة: هي القيم التي تجعل ناتج الدالة مساويًا للصفر. إذا كانت \(f\left(x_{0}\right)=0\)، فإن \( x_{0}\)يُسمى صفرًا أو جذرًا للدالة. إيجاد الأصفار مهم في تحليل الرسوم البيانية وحل المعادلات ودراسة التغيرات في الإشارات.}} الداخلية \(g(x)\)، وذلك بحل المعادلة \(g\left(x\right)=0\) وإيجاد قيم \(x\) التي تُسمى نقاط التشعب أو أصفار الدالة\(g\left(x\right)\).
2. تعيين نقاط التشعب على خط الأعداد، وتحديد إشارة \(g\left(x\right)\) على الفترات الموجودة كلها، على خط الأعداد.
3. كتابة \(f\left(x\right)\) على شكل دالة متشعبة، وذلك بكتابة \(g\left(x\right)\) بإشارة موجبة، وتعريفه إلى الفترة التي يكون فيها \(g\left(x\right)\geq 0\)، وبإشارة سالبة على الفترة التي يكون فيها \(g\left(x\right)<0\).

مثال: إعادة تعريف الدالة \(f\left(x\right)=\left|2x -4\right|\).

الحل:

1. إيجاد أصفار الدالة الموجودة داخل القيمة المطلقة:

\[2x -4=0\Rightarrow x=2. \]

2. تعيين نقاط التشعب على خط الأعداد، وتحديد إشارة الدالة الداخلية على الفترات الموجودة (الشكل 3) عند تعويض العدد 0، وهو أقل من 2. في المقدار الجبري \(2x -4\) يُحصَل على العدد 4- وهو عدد سالب، لذلك عند إعادة التعريف يُضرَب بإشارة السالب للحصول على فكرة القيمة المطلقة، وهي الحصول على جواب موجب وليس سالبًا. وعند تعويض عدد، على سبيل المثال 3 في المقدار الجبري \(2x -4\)، يُحصَل على العدد 2 وهو عدد موجب، لذلك الأعداد جميعها فوق العدد 2 موجبة، ولا يوجد أي داعٍ لضربه بإشارة سالب، فيظل كما في الشكل الآتي (الشكل 3):
   

​​[الشكل 3]​

حذف الصورة؟

سيؤدي هذا إلى نقل الصورة إلى سلة المهملات.

حذف إلغاء

3. كتابة الدالة على شكل دالة متشعبة:

\[f\left(x\right)=\begin{cases} +\left(2x-4\right), & x\geq 2 \\ -\left(2x-4\right), & x<2 \end{cases}\]

استخداماتها

تُستخدم القيمة المطلقة في حل بعض أنواع المعادلات والمتباينات، إذ تساعد في تحديد الحلول الممكنة للمعادلات التي تتضمن تعبيرات مطلقة. وفي الفيزياء، تؤدي القيمة المطلقة دورًا مهمًا في حساب المسافة بين نقطتين، بغض النظر عن الاتجاه. كذلك تظهر في تحليل القوى المؤثرة، إذ تُستخدَم في تحديد مقادير السرعة والتسارع والقوى من دون الاهتمام بالاتجاه. أما في مجال الاقتصاد والإحصاء، فتُستخدم القيمة المطلقة في قياس الفروقات في الأسعار أو الطلب خلال أوقات زمنية مختلفة. كذلك تدخل في حساب مقاييس التشتت، مثل متوسط الانحراف المطلق، الذي يُعبّر عن مدى تشتت القيم حول المتوسط. وفي الهندسة وعلوم الحاسوب، يُعتمَد على القيمة المطلقة في برمجة الألعاب والمحاكاة الرقمية، إذ تُستخدَم في حساب الفروقات بين مواقع الكائنات. كذلك تُستخدَم في هندسة البرمجيات لحساب الأخطاء أو الفروقات في القيم الرقمية، ما يجعلها أداة أساسية في كثير من التطبيقات التكنولوجية.[8]

[1] Ajit Kumar & S. Kumaresan, A basic course in real analysis (Boca Raton: CRC Press, 2014), pp. 20-27; الرياضيات: الصف الأول الثانوي، الفرع العلمي، الفصل الأول (عمّان: وزارة التربية والتعليم، 2023)، ص 12-18.

[2]الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي، الفصل الأول (عمّان: وزارة التربية والتعليم، 2023)، ص 134-164.

[3]الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي، الفصل الثاني، ص 110-143.

[4] المرجع نفسه.

[5] Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3^rd ed. (New York: John Wiley & Son, 2000), pp. 31-34.

[6]الرياضيات: الصف الأول الثانوي.

[7] المرجع نفسه.

[8] Howard Anton, Irl Bivens & Stephen Davis, Calculus, 10^th ed. (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012).

المراجع

العربية

الرياضيات: الصف الأول الثانوي، الفرع العلمي. عمّان: وزارة التربية والتعليم، 2023.

الرياضيات: الصف الثاني عشر، الفرع العلمي. عمّان: وزارة التربية والتعليم، 2023.

الأجنبية

Anton, Howard, Irl Bivens & Stephen Davis. Calculus. 10^th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012.

Bartle, Robert G. & Donald R. Sherbert. Introduction to Real Analysis. 3^rd ed. New York: John Wiley & Son, 2000.

Kumar, Ajit & S. Kumaresan. A Basic Course in Real Analysis. Boca Raton: CRC Press, 2014.