العدد الصحيح (Integer Number)

إقبال جبريل

كلمات مفتاحية

الأعداد الصحيحة، العدد الصحيح، الأعداد الطبيعية، الأعداد الحقيقية، الأعداد النسبية، الأعداد السالبة، الأعداد الموجبة، Integer number

---

يمكن وضع هذه الصورة في مكان البطاقة التعريفية

والتعليق أسفلها

مجموعة الأعداد الصحيحة وعلاقتها بمجموعات الأعداد الأخرى

---

تعريف خصائص الصفحة"

العدد الصحيح هو عدد لا يحتوي على أجزاء كسرية أو عشرية. وتشمل مجموعةُ الأعداد الصحيحة (Integer numbers)، ويرمز لها بالرمز \(\mathbb{Z} \)، مجموعةَ الأعداد الصحيحة الموجبة التي يرمز لها بالرمز \( \mathbb{Z}^{+}\)، ومجموعةَ الأعداد الصحيحة السالبة، التي يرمز لها بالرمز \(\mathbb{Z}^{-}\)، إضافةً إلى الصفر.

---

العدد الصحيح (Integer Number) هو عدد لا يحتوي على أجزاء كسرية {{الأجزاء الكسرية: تمثل الأعداد غير الكاملة، وهي القيم التي تقع بين الأعداد الصحيحة، وتُكتب عادة على شكل بسط ومقام، وتُستخدم للتعبير عن أجزاء من الكل، وتوظف في الحياة اليومية، مثل قياس الأطوال والوقت والمال.}}؛ أو عشرية {{الأجزاء العشرية: هي أعداد تكتب باستخدام الفاصلة العشرية لتمثيل أجزاء من الواحد، مثل 0.5 أو 3.75، وتُستخدم في القياسات والعمليات الحسابية، وتعتمد على النظام العشري الذي يقسم الواحد إلى عشرة أجزاء متساوية، أو مئة أو ألف.}}. بمعنى آخر، هو العدد الذي يمكن كتابته من دون استخدام الكسور {{الكسور: (Fractions) هي تعبير رياضي يمثل جزءًا من كل، وتتكون من بسط ومقام، يشير البسط إلى الأجزاء المأخوذة، والمقام إلى الأجزاء الكلية. تُستخدم لتمثيل الكميات غير الكاملة، ويمكن تبسيطها أو تحويلها إلى أعداد عشرية، كذلك تُجرى عليها عمليات حسابية متعددة}}، أو الفواصل العشرية. إن مجموعة الأعداد الصحيحة يطلق عليها اسم (Integer numbers)، ويرمز لها بالرمز \(\mathbb{Z} \)، وتشمل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة التي يرمز لها بالرمز \( \mathbb{Z}^{+}\) وتكون على الشكل:

\[\mathbb{Z}^{+}=\left\{1,2,3,...\right\}\]

كذلك مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة، التي يرمز لها بالرمز \(\mathbb{Z}^{-}\)، وتكون على الشكل:

\[\mathbb{Z}^{-}=\left\{-1,-2,-3,..\right\}\]

علاوة على الصفر \(0\)، ما يعني أنه يمكن التعبير عن مجموعة الأعداد الصحيحة \(\mathbb{Z} \) كما يلي:

\[\mathbb{Z=} \left\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\right\}\]

أي عن طريق اتحاد مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة مع العدد صفر، ومن ثم يمكن القول بأن العدد الصحيح هو أي عدد ينتمي إلى هذه المجموعة.

التعريف

سُمّيت الأعداد الصحيحة بهذا الاسم، لأنها تمثل وحدات كاملة غير مقسمة، على عكس الكسور أو الأعداد العشرية، التي تمثل أجزاءً من الوحدة. إن رمز مجموعة الأعداد الصحيحة \(\mathbb{Z} \)، أتى من الحرف الأول للكلمة الألمانية Zahlen، التي تعني الأعداد، وقد اختير هذا الرمز لتجنب الالتباس مع رموز أخرى، مثل الحرف \(I\) الذي يُستخدم غالبًا لتمثيل العنصر المحايد (Identity Element) في الرياضيات. أصبح استخدام الرمز \(\mathbb{Z} \) لتمثيل الأعداد الصحيحة معيارًا في أدبيات الرياضيات، إذ ظهر لأول مرة في كتاب الجبر (Algèbre)، الذي ألفه مجموعة من علماء الرياضيات الفرنسيين، المعروفين باسم مجموعة نيكولا بورباكي {{اسمٌ مستعار لمجموعة من علماء الرياضيات في القرن العشرين، ولا صلة لها بعالِم الحاسوب اليوناني نيكولاس بورباكيس [Nikolaos Bourbakis، 1950-].}} (Nicolas Bourbaki Group) عام 1947، ومنذ ذلك الحين، اعتُمد هذا الترميز على نطاق واسع لتمثيل مجموعة الأعداد الصحيحة[1].

مرّت الأعداد الصحيحة السالبة بمراحل طويلة من الشك والرفض، قبل أن تُقبل بوصفها مفهومًا رياضيًا أساسيًا، ففي العصور القديمة، لم تكن الأعداد السالبة معروفة أو مقبولة، والإغريق، مثل أفلاطون وأرسطو، كانوا يرون أن الأعداد تمثل أشياء ملموسة، مثل الكميات أو الأطوال، ولذلك لم يتقبلوا فكرة وجود عدد أقل من الصفر.

ظهرت فكرة الأعداد السالبة في الرياضيات الهندية، إذ استخدمها علماء مثل براهماغوبتا (Brahmagupta، 598-668) في القرن السابع الميلادي، للتعبير عن الديون أو الخسائر، ووصفها بأنها دين مقابل ملكية. ومع ذلك، كانت هذه الفكرة غامضة بعض الشيء، ولم تُستخدم بشكل واسع، ويعزى إلى الهنود أنهم من أوائل من تناولوا فكرة الصفر، بوصفه تمثيلًا رياضيًا لمفهوم العدم.

في القرن التاسع الميلادي، كان العرب على دراية بالأعداد السالبة {{الأعداد السالبة: هي عناصر من مجموعة الأعداد الصحيحة، تقع على يسار الصفر على خط الأعداد، إذ لكل عدد صحيح موجب عدد مقابل له سالب، وتُكتب بإشارة سالبة (−).}}، من خلال تعاملهم مع علماء الرياضيات في الهند، ورغم ذلك لم يقبل العالم محمد بن موسى الخوارزمي (نحو 164-235هـ/ 780-850م) الأعداد السالبة بشكل كامل، لكنه تعامل معها في بعض الحالات بوصفها ديونًا.

وفي أوروبا، كانت الأعداد السالبة تُعد عديمة المعنى أو أرقامًا خيالية لفترة طويلة، حتى في القرن السابع عشر، وصف بعض علماء الرياضيات، مثل رينيه ديكارت (René Descartes، 1596-1650) الأعداد السالبة بأنها زائفة[2]. بعد ذلك، بدأت الأعداد السالبة تُستخدم بشكل أكثر جدية، ولا سيما مع تطور الجبر، وإن علماء مثل ليونارد أويلر (Leonhard Euler، 1707-1783) وآخرين، بدؤوا في دمجها ضمن العمليات الرياضية، إذ أدركوا فائدتها في حل المعادلات[3].

خصائصها

تتميز الأعداد الصحيحة بكثير من الخصائص، منها:[4]

علاقة مجموعة الأعداد الصحيحة مع مجموعات الأعداد الأخرى من حيث الاحتوائية، إذ بالنسبة لمجموعات الأعداد كمجموعة الأعداد النسبية ( \(\mathbb{Q} \)) ومجموعة الأعداد الحقيقية ( \(\mathbb{R} \)) ومجموعة الأعداد المركبة ( \(\mathbb{C} \))، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة تعد مجموعة محتواة (Subset) في كل من هذه المجموعات. أما بالنسبة للمجموعات الأخرى، مثل مجموعة الأعداد الطبيعية ( \(\mathbb{N} \)) ومجموعة الأعداد الكلية ( \(\mathbb{W} \)) {{الأعداد الكلية: (Whole Numbers) هي مجموعة من الأعداد التي تبدأ من الصفر وتمتد إلى ما لا نهاية، وتشمل: \(0,1,2,3,\ldots \). يُرمز لها غالبًا بالرمز \(\mathbb{W} \)، وتُعد امتدادًا لمجموعة الأعداد الطبيعية بإضافة الصفر إليها.}}، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة تعد مجموعة شاملة {{المجموعة الشاملة: (Superset) في نظرية المجموعات هي مجموعة تحتوي جميع العناصر موضوع الدراسة، وتُستخدم كأساس لتحديد المجموعات الجزئية والعلاقات بينها ضمن سياق محدد.}} لها.

المجموعة الشاملة في نظرية المجموعات هي مجموعة تحتوي جميع العناصر موضوع الدراسة، وتُستخدم كأساس لتحديد المجموعات الجزئية والعلاقات بينها ضمن سياق محدد.

يمكن تمثيل مجموعة الأعداد الصحيحة على خط الأعداد {{خط الأعداد: (Number Line) هو تمثيل خطي يُستخدم لعرض الأعداد بترتيبها الحقيقي، يُرسم كخط مستقيم، ويُحدد عليه الصفر في المنتصف، وتزداد الأعداد نحو اليمين (موجبة)، وتتناقص نحو اليسار (سالبة). يُساعد في فهم المقارنة، والجمع والطرح وتمثيل الأعداد النسبية والعشرية بشكل بصري ومنطقي.}}، إذ يبتعد كل عدد صحيح عن العدد الصحيح الذي يليه مسافة ثابتة، وتقع الأعداد الصحيحة الموجبة على اليمين، وتقع الأرقام السالبة على الجانب الأيسر من الصفر، لأنها أصغر من الصفر، ويقع الصفر بالمنتصف وهو ليس موجبًا أو سالبًا (الشكل 1).

[الشكل 1] - تمثيل الأعداد الصحيحة على خط الأعداد

1. وجود العنصر المحايد لعملية الجمع، ألا وهو الصفر، أي أن \(a+0=0+a=a\)، لأي عدد صحيح \(a\).
2. وجود العنصر المحايد لعملية الضرب، ألا وهو الواحد، أي أن \(a\times 1=1\times a=a\)، لأي عدد صحيح \(a\).
3. مجموعة الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب، أي أنه لأي عددين صحيحين \(a,b\) فإن \( a+b\)، \(a\times b\) و \(a-b\) أعداد صحيحة ولكن ليس من الضروري ان تكون غير مغلقة تحت عملية القسمة ؛ فمثلًا \(1\div 3=0.\hat{3}\) وهو عدد غير صحيح.
4. مجموعة الأعداد الصحيحة غير منتهية.
5. مجموعة الأعداد الصحيحة غير محدودة: لا يوجد حد علوي {{الحد العلوي: لمجموعة عددية هو عدد يكون أكبر من عناصر المجموعة جميعها أو مساويًا لها. إذا كانت \(A\mathbb{⊆R} \)، فإن العدد \(u\) يُعد حدًا علويًا إذا تحقق \(u\geq a\) لكل \(a\in A\).}}، أو حد سفلي {{الحد السفلي: لمجموعة عددية هو عدد يكون أصغر من عناصر المجموعة جميعها أو مساويًا لها. إذا كانت \(A\mathbb{⊆R} \)، فإن العدد \(v\) يُعد حدًا سفليًا إذا تحقق \(v\leq a\) لكل \(a\in A\).}} للأعداد الصحيحة، بمعنى آخر، لا يوجد أكبر عدد صحيح ولا يوجد أصغر عدد صحيح.
6. الترتيب: أي عددين صحيحين \(a,b\) فإنه إما \(a>b\) أو \(a وإما \(a=b\).
7. وجود المعكوس الجمعي للعدد الصحيح، لكل عدد صحيح \(a\) يوجد عدد صحيح آخر هو \(-a\) إذ إن \(a+ -a=-a+a=0\). وبعبارة أخرى، يكون العددان متعاكسان إذا كان لهما البعد نفسه عن الصفر، ولكن على جهتين مختلفتين منه على خط الأعداد.

مثال: لإيجاد معكوس العدد \(3\).

الحل: العدد \(-3\) هو معكوس العدد \(3\).

القيمة المطلقة للعدد الصحيح

القيمة المطلقة للعدد الصحيح \(a \)هي بُعد ذلك العدد عن الصفر، ويرمز لها بالرمز \(| a|\)، فمثلًا مطلق العدد \(-3\) هو \(\left|-3\right|=3\) ومطلق العدد \(20\) هو \(\left|20\right|=20\) في حين \(\left|0\right|=0\)[5].

ولهذه القيمة المطلقة بعض الخصائص، وهي[6]:

• القيمة المطلقة للعدد الموجب هي العدد نفسه، مثلًا: \(|5| = 5\)
• القيمة المطلقة للعدد السالب تساوي معكوسه، مثلًا: \(|-5| = 5\)
• القيمة المطلقة للصفر تساوي صفرًا. أي: \(|0| = 0\)
• إذا كان \(a\) و \(b\) أعدادًا صحيحة، وكان \(|a| = |b|\) فإن \(a = \pm b\)
• \(|a \times b| = |a| \times |b|\)
• \(|a + b| \leq |a| + |b|\) (المتباينة المثلثية (Triangle inequality).

ومن ثم، فإن القيمة المطلقة تمنح دائمًا قيمة موجبة أو صفرية، ولا تؤثر في الأعداد الموجبة، ولكنها تحول الأعداد السالبة إلى أعداد موجبة.

العمليات الحسابية على الأعداد الصحيحة

الجمع

توجد ثلاث حالات رئيسة لجمع الأعداد الصحيحة وهي:

• جمع عددين صحيحين موجبين: مجموع عددين صحيحين موجبين هو عدد صحيح موجب.

مثال: \(23+34=57\).

• جمع عددين صحيحين سالبين: ناتج جمع عددين صحيحين سالبين، هو معكوس ناتج جمع مطلقيهما، ومن ثم فإن مجموع أي عددين صحيحين سالبين، هو عدد صحيح سالب.

مثال: \(\left(-31\right)+\left(-27\right)=-58\).

• جمع عدد صحيح سالب عدد صحيح موجب: ناتج مجموع عدد صحيح سالب مع عدد صحيح موجب، هو الفرق بين مطلقيهما مع إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر.

مثال: \(\left(-30\right)+15=-15\)

مثال: \(\left(-10\right)+\left(25\right)=15\)

ولعملية جمع الأعداد الصحيحة كثير من الخصائص، منها[7]:

• تجميعية (Associative):

\[a + (b + c) = (a + b) + c\]

عند جمع ثلاثة أعداد صحيحة \(a,b,c\)، فإن جمع العددين الأول والثاني \(a\) و \(b\) ثم جمع النتيجة مع العدد الثالث \(c\)، يعطي نتيجة جمع العددين الثاني والثالث \(b\) و \(c\) نفسها ثم جمع النتيجة مع العدد الأول \(a\).

• تبديلية (Commutative):

\[a + b = b + a\]

ناتج جمع العدد الأول \(a\) مع الثاني \(b\) يساوي ناتج جمع العدد الثاني \(b\) مع الأول \(a\)، إذ إن \(a,b\) أعداد صحيحة.

• وجود العدد المحايد:

\[a + 0 = 0+a=a\]

العدد المحايد هو الذي يجمع مع أي عدد صحيح ويعطي العدد نفسه، وهو الصفر في مجموعة الأعداد الصحيحة.

النظير الجمعي{{النظير الجمعي (Additive Inverse) لعنصر \(a\) في مجموعة مزودة بعملية جمع هو العنصر \(-a\) على النحو الذي يكون فيه: \(a+\left(-a\right)=\left(-a\right)+a=0\)، إذ \(0\) هو العنصر المحايد الجمعي}} (المعكوس):

\[a + (-a) = 0\]

المعكوس الجمعي لعدد صحيح ما هو العدد الذي إذا أضيف إليه يكون الناتج صفرًا، وهو معكوس العدد.

الطرح

إن عملية طرح الأعداد الصحيحة في الأصل جمع المعكوس، أي أن

\[a - b = a + (-b)\]

مثال: \(6+\left(-9\right)=-3\)

مثال: \(-8+\left(-2\right)=-10\)

مثال: \(2-\left(-4\right)=2+\left(4\right)=6\)

مثال: \(-6-\left(-3\right)=-6+\left(3\right)=-3\)

الضرب والقسمة

عند ضرب عددين صحيحين متشابهين في الإشارة أو قسمتهما، يكون الناتج موجبًا.

مثال: \(6\times 5=30\)

مثال: \(-4\times -20=80\)

مثال: \(5\times -3=-15\)

ولعملية ضرب الأعداد الصحيحة بعض الخصائص، منها[8]:

• تجميعية:

\[a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\]

عند ضرب ثلاثة أعداد \(a,b,c \)، فإن ضرب العددين الأول والثاني \(a\) وb ثم ضرب النتيجة مع العدد الثالث \(c\)، يعطي نتيجة ضرب العددين الثاني والثالث \(b\) و \( \)c، ثم ضرب النتيجة مع العدد الأول \(a\) نفسها، لأي ثلاثة أعداد صحيحة \(a,b,c\).

• تبديلية:

\[a \times b = b \times a\]

ناتج ضرب العدد الأول \(a\) مع الثاني \(b\) يساوي ناتج ضرب العدد الثاني \(b\) مع الأول \(a\)، لأي عددين صحيحين \(a,b\).

• وجود العدد المحايد:

\[a\times 1=a\]

العدد المحايد هو الذي إذا ضرب مع أي عدد صحيح يعطي العدد نفسه، وهو الواحد في مجموعة الأعداد الصحيحة، إذ ضرْب الواحد مع أي عدد صحيح يعطي العدد نفسه، وذلك لأي عدد صحيح \(a\).

• عدم وجود قواسم للصفر (zero divisors):

إذا كان \(a \times b = 0\), فإن \(a = 0\) أو \(b = 0\) (أو كلاهما معًا يساوي الصفر).

• توزيع الضرب على الجمع:

\[a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c\]

لأي ثلاثة أعداد صحيحة \(a,b,c\).

الترتيب

عند تمثيل الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، فإن قيمتها تزداد كلما اتجهنا إلى اليمين، وتتناقص كلما اتجهنا إلى اليسار.

مثال: لترتيب الأعداد التالية تصاعديًا:

\[5, -9 ,0 ,10,-3 ,3 ,-6.\]

الحل: تُمثَّل الأعداد الصحيحة على خط الأعداد.

وتُرتَّب الأعداد حسب نتيجة موقع العدد على خط الأعداد، من العدد الأكبر جهة اليمين، إلى العدد الأصغر جهة اليسار كما يلي:

\(-9< -6< -3< 0 <3 <5 <10\).

استخداماتها

تؤدي الأعداد الصحيحة دورًا أساسيًا في كثير من التطبيقات الرياضية والعملية، فمثلًا[9]:

• تُستخدم في نظرية الأعداد لدراسة القواسم{{القواسم: لعدد صحيح \(n\) هي جميع الأعداد الصحيحة التي تقسم \(n\) من دون باقي، أي كل \(d\) حيث \(d|n\) ، ويعني الرمز \(|\) أن \(d\) يقسم \(n\). مجموعة القواسم تشمل دائمًا \(1\) و \(n\) نفسها.}}، والأعداد الأولية، والخصائص العددية مثل المربعات الكاملة{{المربعات الكاملة: هي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل \(n^{2}\) إذ إن n عدد صحيح. تمثل المربعات عددًا صحيحًا، مثل 1,4,9,16، وتستخدم في كثير من النظريات الرياضية والتحليلية}}، والمتتاليات الحسابية.
• تُستخدم في الجبر لحل المعادلات الجبرية البسيطة والمعقدة.
• تُستخدم في الهندسة لتحديد الإحداثيات على المستوى الديكارتي، إذ تُستخدم الأعداد الصحيحة السالبة لتحديد النقاط على المحاور السالبة في النظام الإحداثي{{النظام الإحداثي: (Coordinate System) هو إطار مرجعي يُستخدم لتمثيل النقاط في الفضاء بوساطة أزواج (أو مجموعات) من الأعداد، تُسمى إحداثيات. في النظام الإحداثي الديكارتي ثنائي الأبعاد، تُحدد النقطة بوساطة \((x,y)\)، إذ يمثل \(x\) الموضع الأفقي و \(y\)الموضع العمودي.}}، ما يسهل تمثيل النقاط والأشكال.

• القياس والتوقيت: تُستخدم الأعداد الصحيحة لقياس الساعات والأيام والسنوات.
• درجات الحرارة: تُستخدم الأعداد السالبة لتمثيل درجات الحرارة الأقل من الصفر، فمثلًا، إذا كانت درجة الحرارة -5 مئوية، فهذا يعني أن الجو أقل بخمس درجات من نقطة التجمد.

• تُستخدم الأعداد الصحيحة لوصف الكميات التي لا تأخذ قيمًا كسرية، مثل عدد الجسيمات في نظام معين، كذلك فإن أرقام الكميات الكمية (مثل مستويات الطاقة) غالبًا ما تكون أعدادًا صحيحة.
• الإزاحة والاتجاه: تُستخدم الأعداد السالبة لتحديد الاتجاهات العكسية.
• الشحنة الكهربائية: الشحنات الكهربائية السالبة (مثل الإلكترونات) تُعبّر عن نوع مختلف من الشحنة.

مثال: البروتونات تحمل شحنة +1، في حين أن الإلكترونات تحمل شحنة −1.

• الأبعاد السالبة: تُستخدم لوصف العمق أو الانخفاض تحت مستوى معين، فإذا كان ارتفاع مبنى-10 أمتار بالنسبة لمستوى سطح الأرض، فهذا يعني أن المبنى يقع تحت سطح الأرض بعشرة أمتار.
• في الألعاب الرياضية: النقاط السالبة تُستخدم لتوصيف الخسائر أو الأخطاء في الألعاب، فإذا خسر اللاعب نقاطًا بسبب خطأ، يمكن أن تكون نتيجته -5.

المراجعالعربيةأبو زينة، فريد وسميلة الصباغ وخالد الخطيب. الأعداد وتطبيقاتها الرياضية والحياتية. عمان: دار المسيرة للنشر والتوزيع والطباعة، 2007.الأجنبيةBartle, Robert G. & Donald R. Sherbert. Introduction to Real Analysis. 3rd ed. New York: John Wiley & Sons, 2000.Hefendehl-Hebeker, Lisa. “Negative numbers: Obstacles in their evolution from intuitive to intelle​ctual constructs.” For the Learning of Mathematics. vol. 11, no. 1 (1991). pp. 26-32. at: https://acr.ps/1L9F310Jebril, Iqbal H., Hemen Dutta & Ilwoo Cho (eds.) Concise Introduction to Logic and Set Theory. Boca Raton: CRC Taylor & Francis Group, 2021.Johnson, Norman W. “Integers.” The Mathematical Intelligencer. vol. 35, no. 2 (2013) pp. 52-59.Rabouin, David. “Negatives as fictions in 16th and 17th century mathematics.” Historia Mathematica. vol. 69 (2024). pp. 41-61.Strayer, James K. Elementary Number Theory. Illinois: Waveland Press, 2013.

• تمثيل الأرباح والخسائر: تُستخدم الأعداد الصحيحة الموجبة لتمثيل الأرباح، مثل 100 دولار تمثل الربح، وتُستخدم الأعداد الصحيحة السالبة لتمثيل الخسائر، مثل -500 دولار تمثل الخسارة.
• حساب الديون والمدخرات: يُعبَّر عن المدخرات بالأعداد الموجبة، في حين يُعبَّر عن الديون بالأعداد السالبة.
• المخزون والإنتاج: إذا كان الإنتاج أكبر من الطلب، قد يظهر الفائض بوصفه مخزونًا زائدًا (+)، وإذا كان الإنتاج أقل من الطلب، قد يظهر العجز (-).

[1] Norman W. Johnson, “Integers,” The Mathematical Intelligencer, vol. 35, no. 2 (2013), pp. 13-22.

[2] David Rabouin, “Negatives as fictions in 16^th and 17^th century mathematics,” Historia Mathematica, vol. 69 (2024), pp.41-61.

[3] Lisa Hefendehl-Hebeker, “Negative numbers: Obstacles in their evolution from intuitive to intellectual constructs,” For the Learning of Mathematics, vol. 11, no. 1 (1991), pp. 26-32, accessed on 3/9/2025, at: https://acr.ps/1L9F310

[4] Iqbal H. Jebril, Hemen Dutta & Ilwoo Cho (eds.) Concise Introduction to Logic and Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2021), pp. 1-2, 29.

[5] Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3^rd ed. (New York: John Wiley & Sons, 2000), pp. 31-34.

[6] Ibid.

[7] James K. Strayer, Elementary Number Theory (Illinois: Waveland Press, 2013).

[8] Ibid.

[9] فريد أبو زينة وسميلة الصباغ وخالد الخطيب، الأعداد وتطبيقاتها الرياضية والحياتية (عمّان: دار المسيرة للنشر والتوزيع والطباعة، 2007)؛ Strayer, op. cit.